Delerfunctie en bump function

[Professor Puntje]

Kennelijk is een groot probleem in je theorie om de pulsjes smal te houden zodat de fouten in de uitkomsten van je divisorfunction niet uit de hand lopen. Je zou dat probleem in één klap uit de wereld kunnen helpen door te werken met bump-functies. Dat is - voor zover je die nodig hebt - niet zo heel ingewikkeld.

 

Groot probleem puls breedte? In part II toon ik aan dat het model stabiel is. Voor zeer ruime pulse breedte: L=0.5, dx=0.4 is error in divisor count <0.1 in 99% in geval normale verdeling.

Bump functie? Zoals ik eerder aangegeven heb in dit topic zie ik niet dat deze functie periodiek is. Ik ben benieuwd hoe jij dit model omschrijft (liefst in een ander draadje) zodat deze niet vervuild.Ik kijk erop vooruit!

 

Dat is waar dit topic over gaat. Voor het oorspronkelijke topic zie: https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/206464-divisor-functie-priem-getallen-als-golffunctie/ 

 

Als bump function wil ik de onderstaande functie gebruiken:

bump 2872 keer bekeken

(Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function)

 

 

Hier hebben we er een plaatje van:

 

plaatje 2872 keer bekeken

(Bron: https://www.slideshare.net/Alexdfar/a-historical-note-on-schwartz-space-and-test-or-bump-functions)

[Professor Puntje]

Op grond van het vorige berichtje levert de onderstaande functie f een eenmalige puls met hoogte "1", breedte "1" en positie van de top T.
 

\( f(x) = e \cdot \Psi( 2 (x - \mbox{T}) ) \)

 
Een pulstrein met pulsjes op de posities N, 2N, 3N, etc. kan dan worden geschreven als een functie g met:
 

\( g(x) = e \cdot \sum_{i=1}^{\infty} \Psi( 2 (x - \mbox{i} \cdot \mbox{N}) ) \)

 
De delerfunctie D (die voor ieder positief natuurlijk getal x het aantal delers inclusief het getal 1 en het getal x zelf oplevert) kan dan geschreven worden als:
 

\( \mbox{D}(x) = e \cdot \sum_{j=1}^{\infty} \left ( \sum_{i=1}^{\infty} \Psi( 2 (x - \mbox{i} \cdot \mbox{j}) ) \right ) \)

 
 
Zo lijkt het me mogelijk, maar misschien zie ik nog iets over het hoofd...
 
 

[OOOVincentOOO]

Hallo PP,
 
Leuk aanpak, maar ik heb toch enige opmerkingen. Ik heb de formules even grafisch weergegeven. Ik ben namelijk meer visueel ingesteld. Hopelijk plakt hij het plaatje in de post! Anders probeer ik met een reply.
 
Top:
Ik heb in de bovenste grafiek een Bump weekgeven op periode 5. 
 
Middle:
Middelste grafiek: 7 Bumps van periode 5 (niet gesommeerd).
 
Bottom:
7 bumps gesommeerd met periode 5.
 
Op een aantal punten liggen uitdagingen.
 

1. De bumpfunctie bestaat alleen tussen twee limieten (-∆1 en ∆1). De data tussen de Bumps verstoren uiteindelijk de sommatie tussen verschillende periode Bumps (T=4 of T=67). Je zou dan eigenlijk de limieten moeten definieeren per Bump.
2. Wanneer ik de bumps optel met periode 5 worden de bumps steeds hoger (in het voorbeeld sommatie 7 bumps met periode T=5) worden de de bumps ook 7 hoog. Men zou kunnen overwegen te vermenigvuldigen met 1/i. Daar de limit naar oneindig gaat weet ik niet hoe dit uitpakt getallen worden erg klein indien je wil simuleren met PC.
3. Bij de sommatie zal steeds de tailing van bumps opgesteld worden. Ik weet niet of dit stabiel gaat uitpakken.
4. De bump functie is van nature niet periodiek. Mijn inziens kan je net zo goed de Divisor functie discreet kunnen noteren als a mod b of iets dergelijks. Maar dit is mijn eigen smaak!

Erg leuk concept. Sorry, voor mijn commentaar maar kritiseren is makkelijker dan creeeren,
 
Groeten,
 
Vincent Preemen

[Professor Puntje]

Daar klopt iets niet: de door mij gebruikte bump function is voor alle waarden van x gedefinieerd en ziet er ook anders uit dan op je plaatjes. Probeer eerst eens y = Ψ(x), hoe dat eruit ziet. 

[OOOVincentOOO]

Hallo PP,
 
De bumps bevinden zich tussen de twee spikes in. Let op excel heeft de spike afgevlakt maar dat gebeurt automatisch.
 
Het ingezoomde plaatste komt de bump precies overeen als jouw voorbeeld (tussen: -∆1 en +∆1.). Mijn fout (moet zijn 0.5 volgens jouw definitie heb gecheck en grafiek klopt). Precies tussen de limieten waar de bump gedefineerd is.
 
IK ben ook maar eens mens maar de grafieken kloppen volgens mijn beste weten! 
 
De data buiten deze limieten kan ik niet weglaten volgens jouw formules.
 
Groeten,
 
Vincent 

[Professor Puntje]

Let op dat de definitie van Ψ uit twee componenten bestaat: een formule voor -1 < x < +1 en "0" daarbuiten!

[OOOVincentOOO]

Let op dat de definitie van Ψ uit twee componenten bestaat: een formule voor -1 < x < +1 en "0" daarbuiten!

 
Dat is wat ik jouw adviseer in mijn eerste reply:
 
"1) De bumpfunctie bestaat alleen tussen twee limieten (-∆1 en ∆1). De data tussen de Bumps verstoren uiteindelijk de sommatie tussen verschillende periode Bumps (T=4 of T=67). Je zou dan eigenlijk de limieten moeten definieeren per Bump.
 
Als je wil werken met de intervallen kan je net goed alles discreet bekijken. Dan hoef je helemaal geen bump of andere functie te gebruiken.
 
Groeten,
 
VIncent

[Professor Puntje]

De bump function bestaat voor alle x is continu en oneindig vaak differentieerbaar. Kortom een keurige functie.
 
Inderdaad kun je ook alles discreet bekijken. Of je nu met goniometrische functies of met bumb functions werkt maakt wat dat betreft geen verschil. Een voordeel van bump functions is wel dat je voor positieve natuurlijke waarden van x op eenvoudige wijze de exact juiste uitkomst krijgt.

[Professor Puntje]

Voor een spin-off van dit topic zie:
 
https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/206769-is-dit-een-continue-functie/