Vereenvoudiging differentiaal vergelijking met nieuwe variabelen

[Bryan1995]

Beste forumleden,
 
 
Ik zit met het volgende wiskundige vraagstuk: zie bijlage.
 
Hopelijk kan iemand mij verder helpen.
 
 
Alvast Bedankt!
 
Bryan

[TD]

Dat is inderdaad de kettingregel. In de oude variabelen is u functie van x en t, dus u(x,t); in de nieuwe van ξ en η, dus u(ξ,η). De transformatieformules ξ = x-at en η = x+at bepalen hoe ξ en η functie zijn van x en t, en omgekeerd. Volgens de kettingregel geldt dan voor u(ξ(x,t),η(x,t)):
 

\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}\)

 
In jouw notatie laat men u (voorlopig) nog weg; uit de transformatieformules volgt bovendien onmiddellijk dat:
 

\(\frac{\partial \xi}{\partial x}=\frac{\partial \eta}{\partial x}=1\)

 
zodat je krijgt:
 

\(\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial \eta}\)

 
Op dezelfde manier volgt:
 

\(\frac{\partial}{\partial t}=-a\frac{\partial}{\partial \xi}+a\frac{\partial}{\partial \eta}\)

[Bryan1995]

Hartelijk dank voor je duidelijke antwoord! Met u ingevuld in de partiële afgeleide is het inderdaad makkelijker om te zien dat de kettingregel moet worden toegepast. Ik wist trouwens niet dat ik x en t direct vervangen mochten worden door de transformatie formules van xi en èta (dus daar ging het al mis).
 
Nogmaals dank. 

[TD]

Ik wist trouwens niet dat ik x en t direct vervangen mochten worden door de transformatie formules van xi en èta (dus daar ging het al mis).

 

Vervangen of gewoon die partiële afgeleiden berekenen. Als ξ = x-at, dan is ∂ξ/∂x natuurlijk gewoon 1 (enz).
 

Nogmaals dank.

Graag gedaan.