expliciet

[ukster]

Onverwacht lastig ding nog.. :eusa_sick:

1. Vind het expliciete voorschrift voor θ bij gegeven h, vo, g en x  
2. Bereken hiermee θ voor h=10m, vo=20m/s, g=9,8m/s² en x=40m

kogelbaan 1189 keer bekeken

[Professor Puntje]

Moet dat een parabool voorstellen?

[ukster]

kan niet anders onder deze omstandigheden...

[Professor Puntje]

OK - dan weet je al dat de baan moet voldoen aan:
 
y = a(x - p)² + q
 
Vervolgens is het zaak de rest van de gegevens te gebruiken om a, p en q te vinden. Zodra je de formule voor de parabool hebt kun je ook de hoek θ bepalen. Zo zou het volgens mij moeten kunnen maar ik heb het niet uitgeprobeerd.
 
(Opmerking: De a hier heeft niets van doen met die in de tekening.)

[ukster]

tja, die topwaarde p,q? beetje lastig
ik dacht meer aan het opzetten van de algemene bewegingsvergelijkingen in x- en y richting en dan kijken waar het schip strand.
dus: x=vo.cosθ.t   en  y=h+vo.sinθ.t-1/2gt²

[Professor Puntje]

Je hebt met h en x al twee punten.

[ukster]

dat is zeker waar. maar in de top geldt een andere t dan op de grond.
Jouw vergelijking levert op: a(x-p)²+h-ap² = 0     a? en p?

[Professor Puntje]

Je kunt ook eerst x uitdrukken in θ, h, v_o en g. En wanneer je die formule eenmaal hebt is het dan verder een kwestie van wiskunde om die formule zo om te werken dat θ in de overige gegevens wordt uitgedrukt.

[ukster]

ja, het gaat dan inderdaad alleen om de wiskundetrucjes voor het expliciet schrijven van θ

[Professor Puntje]

Wil je het dan op een andere manier doen?

[ukster]

Op welke andere manier doel je dan?
x=vo.cosθ.t   en  y=h+vo.sinθ.t-1/2gt²  
t=x/(vo.cosθ)  en 0=h+vo.sinθ.x/(vo.cosθ)-1/2g.(x/(vo.cosθ))²
0=h+x.sinθ/cosθ-1/2g.x²/((vo)².(cosθ)²)
0=h.(cosθ)² +x.sinθ.cosθ -1/2g.x²/(vo)²
0=h.(1-(sinθ)²)+x/2.sin(2θ) -1/2g.x²/(vo)²
0=h.(1-(sinθ)²)+x/2.sin(2θ) - a       (a=1/2g.x²/(vo)²)
0= -h.(sinθ)²+x/2.sin(2θ)+(h-a)

[Professor Puntje]

Ik weet niet of het wel op een andere manier kan...

[ukster]

verder........
0= -1/2h(1-cos(2θ))+x/2sin(2θ)+h-a
0=-h(1-cos(2θ))+xsin(2θ)+2(h-a)
0=-h+hcos(2θ)+xsin(2θ)+2h-2a
xsin(2θ)+hcos(2θ)+h-2a=0        (a=1/2g.x²/(vo)²)
 
en nu kennelijk een truc toepassen ...om de enkele hoek θ te krijgen.
 
hiermee zou het moeten kunnen:     A.sin(x)+B.cos(x)=R.cos(x-φ),  met R=√(A²+B²)  en φ=tan^-1(A/B)

[Rik Speybrouck]

ik zit een beetje gewrongen met die beginhoogte, zonder beginhoogte is het een hoek van 39.2608..... graden

[ukster]

Ja, die h maakt het er niet eenvoudiger op!
 
verder dan maar....
xsin(2θ)+hcos(2θ)+h-2a=0        (a=1/2g.x²/(vo)²)
eigenschap:  A.sin(x)+B.cos(x)=R.cos(x-φ),  met R=√(A²+B²)  en φ=tan^-1(A/B)
dan: xsin(2θ)+hcos(2θ) =√(x²+h²).cos(2θ-φ),  met φ=tan^-1(x/h)
xsin(2θ)+hcos(2θ) = 2a-h
√(x²+h²).cos(2θ-φ)=2a-h
cos(2θ-φ)=(2a-h)/√(x²+h²)
cos(2θ-φ)=(gx²/vo²-h)/√(x²+h²)
2θ-φ=cos^-1((gx²/vo²-h)/√(x²+h²))
2θ=cos^-1((gx²/vo²-h)/√(x²+h²))+φ
2θ=cos^-1((gx²/vo²-h)/√(x²+h²))+tan^-1(x/h)
θ=1/2{cos^-1((gx²/vo²-h)/√(x²+h²))+tan^-1(x/h)}
 
vraag2: θ=60,437º