Gauss' truc

[PeterPan]

Een slimme manier om de getallen 1 t/m 100 op te tellen is als volgt:

1+2+3+...+100 = (1+100) + (2+99) + (3+98) + ... + (49+52) + (50+51) =

50 x 101 = 5050.

Vraag: Tel (op een slimme manier) alle cijfers op van de getallen 1 t/m 100.

Ter verduidelijking: Het getal 19 bestaat uit de cijfers 1 en 9.

[raintjah]

(1+100)=2

(2+99)=20

(3+98)=20

(49+52)=20

(10+91)=11

...

(50+51)=11

(60+41)=11

(70+31)=11

NB: Het getal na het is-gelijk-aan teken is de som van de cijfers van de getallen die ervoor staan.

Hier moet je al verder mee geraken. Heb nu even geen zin in al dat telwerk

[PeterPan]

Hier moet je al verder mee geraken. Heb nu even geen zin in al dat telwerk

Kortom, het kan veel simpeler

[kotje]

19X45+46

[PeterPan]

19X45+46

Het gaat om de juiste truc om het met de minste moeite uit te rekenen.

Hoe kom je aan 19X45+46?

[TD]

Binnen elk tiental worden als eenheden de cijfers van 0 tot 9 doorlopen, dit 10 keer.

De tientallen zelf doorlopen als eerste cijfer ook die 10 cijfers, telkens 10 keer.

Tot slot is er nog 100, dat is een 1: dat geeft me 20*45+1, hetzelfde als kotje.

[PeterPan]

Het kan nog eleganter:

We paren 2 aan 2 de getallen tot 100 als volgt (0,99), (1,98), (2,97), ..., (49,50).

De som van de cijfers van elk paar is 99.

De som van de cijfers van de getallen 1 t/m 100 is dus 50.18 + 1 = 901.

[kotje]

Ik paar (1,99),(2,98),....De som van de cijfers is 19.Ik heb er zo 45. Dan nog 10,20,30,...,100. Maar ik geef toe PeterPan zijn methode wint.Kortst met een banddikte.

[A.Square]

Ook leuk:

Vermenigvuldig alle cijfers van alle getallen tot met honderd behalve (om voor de hand liggende redenen) de cijfers van de getallen die een veelvoud van 10 zijn. (dus eigenlijk tot en met 99)

De verzameling van die getallen wordt gegeven door.

{x | 0<x<100, x mod 10 0, x[element] [rr] }

(Het antwoord is 14367902149850565412433756712561472995305152787251200000000000)

[Nobully]

kan je da ook nie met de som van de eerste n natuurlijke getallen

\(fraq{(N.(a1+an))}/{2}\)

ik kom aan 5050

[TD]

Dat klopt, die formule kan je algemeen gebruiken, zie hier voor rekenkundige rijen.

[juliae]

je kan het ook zo uitrekenen 
 
n+1 × (n÷2)

je kan het ook zo uitrekenen   n + 1 x ( n÷ 2)= het antwoord