Bagration schreef:
Het D-gebied is feitelijk begrensd door de parabool, de x-as en de y-as (er is geen kwadrant gegeven). Maar als men kwadranten moest gebruiken is het gebied denk ik gelegen in het 1ste en/of het 4de kwadrant. Hier is wel niets over te vinden in de opgave van de oefening.
Dat moet natuurlijk (duidelijk) gegeven worden... Ik ga er even van uit dat ze met D het gebied bedoelen dat door de parabool en de y-as begrensd wordt (niet óók de x-as, dan zou je nog moeten specifiëren of het gaat om het deel onder of boven de x-as).
Je hebt de keuze om vaste grenzen voor x op te stellen (dat wordt de buitenste integraal) en dan variabele grenzen voor y (de binnenste integraal), of omgekeerd.
In het eerste geval projecteer je het hele gebied D op de x-as om in te zien dat het hele gebied zich bevindt tussen de verticalen x = 0 en x = 4. Bekijk nu een willekeurige x-waarde gelegen tussen 0 en 4 en merk op ("komend van beneden") dat het integratiegebied D begint vanaf de onderkant van de parabool (y = -sqrt(4-x)) en loopt tot aan de bovenkant van de parabool (y = sqrt(4-x)).
Mijn voorkeur gaat uit naar de andere integratievolgorde: projectie van D op de y-as toont dat het hele gebied zich bevindt tussen de horizontalen y = -2 en y = 2. Bekijk nu een willekeurige y-waarde gelegen tussen -2 en 2 en merk op ("komend van links") dat het integratiegebied D begint bij de y-as, dus vanaf x = 0, en loopt tot aan de parabool, dus tot x = 4-y².
Het kan een goede oefening zijn om de dubbelintegraal op beide manieren (beide integratievolgordes) uit te rekenen en te verifiëren dat je dezelfde uitkomst vindt. De tweede volgorde heeft het voordeel van vierkantswortels te vermijden.
---
Met wat inzicht vind je het ook zonder rekenen: het integratiegebied is symmetrisch ten opzichte van de x-as en de functie is oneven t.o.v. de variabele y; dus...
.