Wortel vermenigvuldigen

[snaric]

Hallo,
 
Ik heb moeite met dit onderwerp, en nadat ik dacht dat ik het snapte, kwam ik erachter dat ik er nog niet helemaal was. Kan iemand mij helpen?
 
Voorbeeld som: 2 √ 21 × −√ 14 × −3 √ 10
 
Alvast bedankt! 

[CoenCo]

2 √ 21 × −√ 14 × −3 √ 10 =
2 √(3*7) × −√(2*7) × −3 √(2*5) =
2 √3 √7 * -1 *√2 √7 * -3 √2 √5 =
2*-1*-3 * √3 √7 √2 √7 √2 √5 =
6* √2 √2 *√7 √7 * √3 √5 =
6*2*7 *√3 √5 =
84 √3 √5  =
84 √15
 
OF:
 
2 √ 21 × −√ 14 × −3 √ 10 =
-1 x -1 x √4 √21 √14 √9 √10 =
√105840 =
84 √ 15

[snaric]

2 √ 21 × −√ 14 × −3 √ 10 =
2 √(3*7) × −√(2*7) × −3 √(2*5) =
2 √3 √7 * -1 *√2 √7 * -3 √2 √5 =
2*-1*-3 * √3 √7 √2 √7 √2 √5 =
6* √2 √2 *√7 √7 * √3 √5 =
6*2*7 *√3 √5 =
84 √3 √5  =
84 √15
 
OF:
 
2 √ 21 × −√ 14 × −3 √ 10 =
-1 x -1 x √4 √21 √14 √9 √10 =
√105840 =
84 √ 15

Top! Dankjewel

[Benm]

 
 
OF:
 
2 √ 21 × −√ 14 × −3 √ 10 =
-1 x -1 x √4 √21 √14 √9 √10 =
√105840 =
84 √ 15

 
Hoe doe je die laatste stap?
 
Je moet hier de priem-factorisatie van 105840 doen, neem ik aan?
 
Kun je hier universeel aannemen dat geen van de factoren groter is dan de grootste gemene delers van twee getallen uit de selectie 21, 14 en 10?

[CoenCo]

Hoe doe je die laatste stap?

 

Je moet hier de priem-factorisatie van 105840 doen, neem ik aan?

 

Kun je hier universeel aannemen dat geen van de factoren groter is dan de grootste gemene delers van twee getallen uit de selectie 21, 14 en 10?

Ik heb die laatste stap door Maple laten doen.

[tempelier]

Mijn eerbiedwaardige leermeesters zouden gruwen van deze twee methoden.
 
Het is beter om vooraf alles te ontbinden en dan pas uit te vermenigvuldigen met behoud van de grondtallen.

[CoenCo]

@tempelier

Ik ben nieuwsgierig. Zou je dat eens voor willen doen?

[Benm]

Ik heb die laatste stap door Maple laten doen.

 
Dan kun je natuurlijk net zo goed de hele opgave door een computer laten doen - iets als wolfram alpha lost deze opgave zonder problemen op. 
 
De priem-factorisatie van een getal als 105840 lijkt me lastig om bijvoorbeeld op een kladpapiertje te doen, tenzij je vooraf al weet dat de factoren niet groter zijn dan 7. 
 
Als ik puur naar het getal kijk zie ik wel dat het evident deelbaar is door 2, 3 en 5. Ook is het evident deelbaar door 20, maar vanaf dat punt wordt het toch lastiger - iets als deelbaarheid door 7 is niet eenvoudig te zien (maar nog wel beter dan domweg proberen).  Wat dat betreft is het dus van belang te weten wat de grootste priemfactor van het getal kan zijn. Is dan 7 zoals je zou kunnen afleiden uit de oorspronkelijke opgave dan is de methode bruikbaar. Als je moet zoeken naar factoren tot aan de wortel van 105840 is het niet bruikbaar tenzij je er een computer op los laat. 

[tempelier]

@tempelier

Ik ben nieuwsgierig. Zou je dat eens voor willen doen?

\(2\sqrt{21}\times\sqrt{14}\times 3\sqrt{10}=\)

 

\(\sqrt{2^2\cdot 3\cdot 7}\times\sqrt{2\cdot7}\times \sqrt{2\cdot3^2\cdot 5}=\)

 

\(\sqrt{2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7^2}=\)

 

\(2^2\cdot 3\cdot 7\sqrt{3\cdot 5}=\)

 
PS.
Het beste is de getallen gelijk oplopend te ordenen.

[tempelier]

 
Dan kun je natuurlijk net zo goed de hele opgave door een computer laten doen - iets als wolfram alpha lost deze opgave zonder problemen op. 
 
De priem-factorisatie van een getal als 105840 lijkt me lastig om bijvoorbeeld op een kladpapiertje te doen, tenzij je vooraf al weet dat de factoren niet groter zijn dan 7. 
 
Als ik puur naar het getal kijk zie ik wel dat het evident deelbaar is door 2, 3 en 5. Ook is het evident deelbaar door 20, maar vanaf dat punt wordt het toch lastiger - iets als deelbaarheid door 7 is niet eenvoudig te zien (maar nog wel beter dan domweg proberen).  Wat dat betreft is het dus van belang te weten wat de grootste priemfactor van het getal kan zijn. Is dan 7 zoals je zou kunnen afleiden uit de oorspronkelijke opgave dan is de methode bruikbaar. Als je moet zoeken naar factoren tot aan de wortel van 105840 is het niet bruikbaar tenzij je er een computer op los laat. 

Direct te zien is dat het ook door 9 en 8 deelbaar is

[CoenCo]

\(2\sqrt{21}\times\sqrt{14}\times 3\sqrt{10}=\)

 

\(\sqrt{2^2\cdot 3\cdot 7}\times\sqrt{2\cdot7}\times \sqrt{2\cdot3^2\cdot 5}=\)

 

\(\sqrt{2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7^2}=\)

 

\(2^2\cdot 3\cdot 7\sqrt{3\cdot 5}=\)

 
PS.
Het beste is de getallen gelijk oplopend te ordenen.

Dat lijkt in mijn ogen sprekend op mijn eerste uitwerking.

[tempelier]

Nee dat is hij niet, de jouwe is rommelig zonder systeem en je creëert er wortel tekens bij, terwijl ik dat probeer te vermijden..
 
 
Ook komt bij mij het getal 105840 helemaal niet voor zoals in je tweede aanpak, wat ook de bedoeling is van deze methode.

[snaric]

\(2\sqrt{21}\times\sqrt{14}\times 3\sqrt{10}=\)

 

\(\sqrt{2^2\cdot 3\cdot 7}\times\sqrt{2\cdot7}\times \sqrt{2\cdot3^2\cdot 5}=\)

 

\(\sqrt{2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7^2}=\)

 

\(2^2\cdot 3\cdot 7\sqrt{3\cdot 5}=\)

 

PS.

Het beste is de getallen gelijk oplopend te ordenen.

Wat gebeurt er na de

\(\sqrt{2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7^2}=\)

?

[kwasie]

Omdat het de tweede-machtswortel is, kun je de kwadraaten eruithalen. Immers:

\(\sqrt[2]{a^2} = \left|{a}\right|\)

Als het een derde-machtswortel zou zijn geweest, dan kun krijg je:
 

\(\sqrt[3]{2^4\cdot3^3\cdot5\cdot7^2} = 2\cdot 3\cdot \sqrt[3]{2\cdot 5\cdot 7^2}\)

[snaric]

Omdat het de tweede-machtswortel is, kun je de kwadraaten eruithalen. Immers:

\(\sqrt[2]{a^2} = \abs{2}\)

Als het een derde-machtswortel zou zijn geweest, dan kun krijg je:

 

\(\sqrt[3]{2^4\cdot3^3\cdot5\cdot7^2} = 2\cdot 3\cdot \sqrt[3]{2\cdot 5\cdot 7^2}\)

Oke top, dit maakt het een stuk duidelijker.