Vast bij moeilijke bepaalde integraal

[Jeroenvg]

Beste,
Ik zit vast bij de volgende bepaalde integraal:

\(\int _0^1\:\frac{1}{sqrt\left(-ln\left(x\right)\right)}\)

.
 
 
De oplossing volgens onze boek zou sqrt(pi) moeten zijn en de oefeningen zijn gefocusd op het werken met onbepaaldheden van de 1 en 2e orde. 
 
Iemand die weet hoe ik aan sqrt(pi) kom? Je hulp zou erg gewaardeerd zijn. 
 
Alvast bedankt
 

[mathfreak]

Stel om te beginnen eens -ln x = u, dan geldt: dx = ... Hoe komt de integraal er dan uit te zien en hoe ga je van daaruit verder?

[ukster]

show steps
https://www.symbolab.com/solver/integral-calculator/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B-ln%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Ddx

[Jeroenvg]

OK bedankt! Wij hadden nog nooit de Gauss error functie gezien... 
 
Ik heb hem ondertussen opgelost, maar ik zit nog een beetje vast met hoe ik de grenzen moet behandelen. 
 
Wat ik heb gedaan is 
 

\(\lim _{a\to 0}\int _a^{\frac{1}{2}}\:\frac{1}{\sqrt{-ln\left(x\right)}}dx+\lim \:_{b\to \:1}\int _{\frac{1}{2}}^b\:\frac{1}{\sqrt{-ln\left(x\right)}}dx\)

 
Nu is mijn vraag; heb ik deze integralen goed opgesplitst? - en is het ok dat ik de grenzen niet verander (onder invloed van substitutie) omdat ik op het laatst toch alles terug omzet naar x. 

[TD]

Misschien heb je de errorfunctie (van Gauss) nog niet gezien, maar je zal toch op een of andere manier moeten (mogen) gebruiken dat de volgende integraal convergeert en/of gekend is - en daar heb je de errorfunctie niet voor nodig:
 

\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\mbox{d}x=\sqrt{\pi}\)

 
Vertrekkend van jouw integraal, stel -ln(x) = t² zodat x = e^-t² waaruit dx = -2te^-t² dt en gebruik bovenstaande integraal (+ even functie).

[TD]

show steps
https://www.symbolab.com/solver/integral-calculator/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B-ln%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Ddx

 
Deze site zegt dat de integraal divergent is? Dat klopt niet...

[Jeroenvg]

Ik zie inderdaad in onze boek staan dat

\(\int _0^{+\infty }\:e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\)

Ik weet dus al bij zekerheid dat wanneer ik deze integraal kan herleiden tot die vorm, deze gaat convergeren. Hoe weet ik echter welke invloed de grenzen hebben, want in deze oefening gaat de integraal van

\(\int _1^{+\infty }\:e^{-x^2}dx\)

of kan ik hier zonder de erfunctie te kennen niet direct een antwoord op geven?

Misschien heb je de errorfunctie (van Gauss) nog niet gezien, maar je zal toch op een of andere manier moeten (mogen) gebruiken dat de volgende integraal convergeert en/of gekend is - en daar heb je de errorfunctie niet voor nodig:
 

\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\mbox{d}x=\sqrt{\pi}\)

 
Vertrekkend van jouw integraal, stel -ln(x) = t² zodat x = e^-t² waaruit dx = -2te^-t² dt en gebruik bovenstaande integraal (+ even functie).

[TD]

Hoezo zou de ondergrens 1 zijn? Met deze substitutie:
 

Vertrekkend van jouw integraal, stel -ln(x) = t² zodat x = e^-t² waaruit dx = -2te^-t² dt en gebruik bovenstaande integraal (+ even functie).

waarbij x van 0 tot 1 liep zal t van +∞ tot 0 lopen, keer de grenzen om met een extra min-teken.