De wiskunde van FM

[ukster]

FM vs PM

PM&FM

(33.82 KiB) 91 keer gedownload

[Xilvo]

 
Is dat wel zo?

 
Mijn verbeterde antwoord is dus, nee, dat is niet zo.
 
In de Engels afleiding is het modulerende signaal expliciet sinusvormig en daarvoor, en alleen daarvoor, geldt die formule.
y_t kan hier niet (voortdurend) constant zijn.

[Benm]

Het gaat mij om de formule voor FM-modulatie bij een willekeurig modulerend signaal.

 
De onderliggende wiskunde ken ik niet, maar uit radiotheorie is de bandbreedte:
 
2x de modulatie dieptie + 2x de bandbreedte van de modulatie
 
Daarnaast levert het een in principe oneindig lage reeks zijbanden op, maar die kun je 'ongestraft' wegfilteren en wat resteert uitzenden, ontvangen en weer demoduleren. Die weggefilterde zijbanden zijn dan geen probleem, ze maken voor de gedemoduleerde informatie niet of nauwelijks iets uit. 

[Professor Puntje]

Het zou mooi zijn als we een Nederlandse of Engelse uitleg kunnen vinden met dezelfde degelijkheid als het Duitse Wikipedia-artikel. Ik zal zelf ook nog weer wat zoeken.

[Xilvo]

Het gaat mij om de formule voor FM-modulatie bij een willekeurig modulerend signaal.

 
De derde formule op de Duitse Wikipedia: 

[Xilvo]

Alleen draaggolf:

\( s(t)=\sin(\omega_0.t+p)\)

 
met p constant.
 
fase:

\(\phi=\omega_0.t+p\)

 
en hoekfrequentie:

\(\frac{d\phi}{dt}=\omega_0\)

 
Modulerend signaal

\(y(t)\)

 
dan wordt de hoekfrequentie

\(\omega=\omega_0+h.y(t)\)

 
Het signaal wordt

\(s_m(t)=\sin(\phi)\)

 
waarbij ook hier moet gelden dat
 

\(\frac{d\phi}{dt}=\omega=\omega_0+h.y(t)\)

 

\(\phi=\omega_0.t+h.\int_0^ty(t).dt\)

geeft

\(s_m(t)=\sin(\omega_0.t+h.\int_0^ty(t).dt)\)

 

[Professor Puntje]

De cruciale stap is dus dat de momentane hoekfrequentie ω(t) gedefinieerd wordt als:
 

\( \omega(t) = \frac{\mbox{d} \phi}{\mbox{d} t} \)

 
Omdat dezelfde relatie ook geldt voor de gewone (statische) hoekfrequentie vormt deze generaliserende definitie een logische keuze. 
 
De momentane fase van een hoek-gemoduleerd signaal ligt grotendeels vast zodra we de momentane signaalgrootte en de amplitude weten, voor de momentane frequentie is dat niet zo. Daarom is het handiger om uit te gaan van de momentane fase bij het definiëren van de momentane hoekfrequentie dan omgekeerd.

[Xilvo]

De momentane hoekfrequentie ligt op ieder moment vast door
 

 
maar om met de juiste fase te komen moet je vanaf een zeker beginpunt integreren.
 
Vergelijk het met een slinger, een gewicht aan een touw.
 
Het touw gaat aan de bovenkant door een gaatje en ik kan dat touw naar wil vieren of intrekken.
 
De slingerfrequentie ligt op ieder moment vast door de lengte van het touw op dat moment.
Maar om te weten wat de positie op dat moment is moet ik de hele voorgeschiedenis tot dat moment weten (lees: integreren).

[Professor Puntje]

Het nulpunt van de tijd is geen fysisch feit. De amplitude en momentane grootte van een hoek-gemoduleerd signaal zijn dat wel. Uit de amplitude en momentane grootte kan een ontvanger van dat signaal de momentane fase van het signaal bijna (maar niet helemaal) reconstrueren. Hij kan er best een veelvoud van 2π rad naast zitten.
 
Maar stel dat je van een frequentie-gemoduleerd signaal de amplitude en momentane signaalgrootte weet, hoe zou je daar dan de momentane frequentie uit achterhalen? 
 
Punt is dat je in een definitie niet mag uitgaan van wat nog gedefinieerd moet worden.

[Xilvo]

Het nulpunt kun je willekeurig kiezen. Die fase p op dat moment is uiteindelijk dan de integratieconstante van de integraal

 

Maar stel dat je van een frequentie-gemoduleerd signaal de amplitude en momentane signaalgrootte weet, hoe zou je daar dan de momentane frequentie uit achterhalen? 

 
De frequentie kun je niet achterhalen door op één moment te meten. Je zou bijvoorbeeld de tijd tussen twee nuldoorgangen kunnen bepalen om die frequentie te weten te komen.

[Professor Puntje]

De frequentie kun je niet achterhalen door op één moment te meten. Je zou bijvoorbeeld de tijd tussen twee nuldoorgangen kunnen bepalen om die frequentie te weten te komen.

 
Juist! Waarmee ik maar wil zeggen dat het eenvoudiger is om van de makkelijker te achterhalen momentane fase uit te gaan bij het definiëren van de momentane frequentie dan omgekeerd.

[Xilvo]

Maar die momentane frequentie wil je momentaan bepalen (niet in de zin van meten, maar in de zin van opleggen) door de momentane waarde van het signaal dat je wilt versturen.
 
Vergelijk de slinger: De signaalwaarde is nu y, dan moet de slinger frequentie f hebben, dan moet ik het touw van de slinger k meter maken.
 
Dat is makkelijk genoeg. De fase op dat moment is bepaald door de voorgeschiedenis en is ook niet interessant.
Bij het demoduleren kijk je ook niet naar de fase op een zeker moment maar naar het tijdverschil tussen twee nuldoorgangen, om maar iets te noemen.

[Benm]

Formeel gezien zijn het gewoon twee verschillende (maar gerelateerde) modulatietechnieken: Fasemodulatie en frequentiemodulatie. 
 
Ze lijken sterk op elkaar, en een FM signaal kun je met een PM ontvanger beluisteren en vice versa, met enige vervorming van het signaal. 
 
Er is echter wel degelijk een verschil als je gaat kijken naar het signaal in detail. Stel dat je een 100 Hz toon op een 100 MHz draaggolf zet in FM of PM, met een modulatiediepte van 100 kHz oid (zeg maar ongeveer wat men in de 88-108 MHz omroepband doet): Als je FM moduleert dan kun je het aantal nuldoorgangen tellen over een tijd van bijvoorbeeld 5 milleseconde. Dit aantal varieert bij FM met ongeveer 0.1 procent, bij PM varieert het maximaal 1 draaggolf (~50 ppm). 
 
Een gangbare FM demodulator werkt door te kijken naar de nuldoorgangen van het ontvangen signaal en daar een locale oscillator mee gelijk te laten lopen middels een redelijk snelle phase locked loop. De correctiespanning voor die phase locked loop is meteen je audiosignaal. Gezien de snelheid van de loop demoduleert dit ook fasemodulatie, maar niet als de modulatie een zeer lage frequentie of dc component heeft. 

[Xilvo]

Voor frequentiemodulatie geldt

\(s_m(t)=A.\sin(\omega_0.t+h.\int_0^ty(t).dt+p_0)\)

en bij fasemodulatie

\(s_m(t)=A.\sin(\omega_0.t+h.y(t)+p_0)\)

(h heeft niet noodzakelijk dezelfde waarde in de vergelijkingen.)
 
p₀ is de fase op t=0, die je, indien je dat wilt, nul kunt krijgen door dat tijdstip geschikt te kiezen.
 
Hieruit is te zien dat fasemodulatie (PM) gezien kan worden als FM-modulatie waarbij het modulatiesignaal eerst gedifferentieerd is.
Een PM-gemoduleerd signaal is met een FM-ontvanger te beluisteren maar zal iel en dun klinken omdat het is alsof het over het hele spectrum door een 6dB/oktaaf hoogdoorlaatfilter is gehaald.
 
@Benm 
Prima verhaal alleen de laatste regel begrijp ik niet.
Een DC-signaal resulteert bij PM in een signaal met ongewijzigde carrier-frequentie waarvan enkel de fase met een vaste waarde veranderd is.
Dat is natuurlijk nooit waar te nemen of te detecteren; verplaatsen van de ontvanger (van of naar de zender) geeft precies hetzelfde effect.

[Benm]

Bij fasemodulatie kun je geen zeer lage frequenties of DC component ontvangen, zoals je zegt zou verplaatsen van de ontvanger hetzelfde effect hebben. Bij FM kan dit echter probleemloos, zolang je weet wat de frequentie van de draaggolf zonder modulatie is.