Irrationale getallen

[FructoseFather]

Hallo

Ik heb een vraag over irrationale getallen. Hoe kan je met zekerheid zeggen dat sqrt(2) een irrationaal getal is maar sqrt (4) niet? Ik heb al een aantal boeken en bronnen op het internet geraadpleegd maar echt veel duidelijkheid krijg ik er niet door.

Is het mogelijk op dit aan te tonen door beide stellingen op te lossen op dezelfde manier? Ik zie dat ze gebruik maken van de stelling:

Stel dat sqrt(2) rationaal is, dan kan je dat schrijven als een quotiënt van twee integers laten we zeggen m/n. Waarbij m/n copriemen zijn. De breuk is dus vereenvoudigd tot dezelfde verhouding tussen de kleinst mogelijke integers.

Oke, maar wat nu? Wat hier wordt het mistig voor mij.

Ik heb het al een aantal keren uit proberen te schrijven maar ik kom zowel voor sqrt(2) als voor sqrt(4) hetzelfde uit en dat zou niet mogen.

Kan iemand mij helpen?

Met vriendelijke groeten

FructoseFather

[Math-E-Mad-X]

Hier heb je een voorbeeld van een bewijs dat sqrt(2) irrationaal is. Begrijp je dit? zo nee, bij welke stap volg je het niet meer?

https://www.homeschoolmath.net/teaching ... tional.php

[FructoseFather]

Hallo Math-E-Mad-X

Bedankt voor je snelle antwoord!

Ik kan helemaal volgen nu met dit bewijs dat sqrt(2) irrationaal is. Alleen nu stel ik me de vraag: Kan je deze methode nu ook gebruiken om aan te tonen dat sqrt(3) irrationaal is en dat sqrt(4) of sqrt(9) dat niet is? Weet jij misschien hoe ik dit best kan doen, want deze afleidingen vind ik helaas niet op het internet.

Groetjes

FructoseFather

[Back2Basics]

Wat is een 'ratio'? Wat is 'rationaal'? Wat is dan 'irrationaal'? Wat is de wiskundige definitie van een rationaal getal, of van een irrationaal getal?

Had je gegoogled naar "wortel 3 irrationaal"?

[Math-E-Mad-X]

Kan je deze methode nu ook gebruiken om aan te tonen dat sqrt(3) irrationaal is?

Ik denk dat de beste manier om daar achter te komen gewoon is door het zelf uit te proberen...

Probeer het bovenstaande bewijs nogmaals op te schrijven, maar dan met het getal 3 i.p.v. 2 en controleer bij iedere stap of die stap nog steeds geldig is. Lukt je dat?

[Math-E-Mad-X]

Kan je deze methode nu ook gebruiken om aan te tonen dat sqrt(4) of sqrt(9) dat niet is?

Je kunt het proberen, maar ik zie niet in waarom je dat zou willen. Je kunt immers direct uitrekenen dat de wortel van 4 gelijk is aan 2, en dat de wortel van 9 gelijk is aan 3. De getallen 2 en 3 zijn gehele getallen, en dus rationaal. Je hoeft dus verder niets meer aan te tonen.

[FructoseFather]

Ja ik weet dat ik die gewoon kan uitrekenen maar ik vroeg mij gewoon of dat ook ging lukken, want ja in principe zou je dat toch kunnen bewijzen dan sqrt 4 en sqrt 9 rationale getallen of niet?

[mathfreak]

Bedenk dat √a gedefinieerd is als een getal dat de eigenschap (√a)² = a heeft. Indien a een kwadraat is, zeg a = b², dan geldt dat √a rationaal is. Is a geen kwadraat, dan is √a irrationaal.

[tempelier]

Er bestaat geen algemene toets om de bepalen of een getal rationeel is of niet.

Van sommige getallen is het dan ook niet bekend zoals:

\(u=\pi^e\)

Vermoedelijk is u trancedent, maar bewezen is het niet.

PS.
Het kan zijn dat mijn kennis in deze gedateerd is en het onlangs toch gevonden.