de basisgedachte mbt verband tussen zwaartekracht en kromming van de ruimtetijd

[Professor Puntje]

@ HansH

En die chip ontwikkelaars wisten niets van elektronica? Dat lijkt me sterk. Je onderschat hoeveel ingewikkelder de ART is dan de SRT, als ik mij goed herinner heeft Einstein daarover ooit gezegd dat de SRT kinderspel was vergeleken met de ART.

Omdat het belangrijk is de studie van dat boek van Zee met een groepje gebruikers aan te vangen zal er voorlopig nog niets in dat topic gebeuren. Ik wacht tot er zich voldoende mensen hebben gemeld die met de studie van dat boek gaan beginnen. Het is wat dat betreft net als met sporten, dat is ook veel makkelijker vol te houden wanneer je dat met een clubje van mensen doet die op elkaar rekenen en elkaar kunnen motiveren om vol te houden. En dat zal ook hier nodig zijn, want makkelijk zal het beslist niet worden.

[HansH]

Voor zover ik me kan herrinneren had je al eerder andere boeken gekocht over de ART met hetzelfde doel. Is daar nog iets uit voortgekomen? Er zijn in dit topic door mij concrete vragen gesteld bv over de links naar die filmpjes die ik had gegeven. Daar een antwoord op krijgen laat zien dat men meedenkt, zie Bericht wo 16 okt 2019, 10:27. Een belangrijk antwoord heb ik nog niet gekregen. nl wat de hyperbool curve voorstelt en de conclusies die daaruit volgen over s. We gaan nu discussieren over boeken in dit topic waardoor de zaak waar het om gaat compleet onder gaat sneeuwen, terwijl basisvragen al onbeantwoord blijven. Hoe denk je dat de discussie gaat lopen als het echt ingewikkeld wordt en men onvoldoende inbeeld in de vragen die er liggen? Ik heb daar tot nu toe nog niet zoveel vertrouwen in. Laten we dit topic dus maar als een test beschouwen of mensen serieus mee willen denken.

[HansH]

Als dat vertrouwen er is ga ik misschien dat boek kopen, want alleen dan heeft het zin om af en toe eens losgetrokken te worden uit de modder als je met vragen zit.

[flappelap]

Ik heb op het moment niet heel veel tijd over, dus ik kan niet overal diep op ingaan. Misschien later wel Ik pik deze er even uit.

\( ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu} = g_{00}dx^0 dx^0 + g_{01} dx^{0}dx^{1} + \ldots \)

De SRT is slechts het bijzondere geval waarvoor we voor g_{\mu\nu} de Minkowskimetriek kiezen. Bovenstaand lijnelement met algemene metriek is invariant onder ALLE transformaties, en is dus hetzelfde voor ALLE waarnemers, versnellend of niet, in een zwaartekrachtsveld of niet, etc.etc.

ok, dus voor het begrip is de simpele vergelijking el te gebruiken, maar die moet je nog uitbreiden voor het meest algemene geval inclusief massa, versnelling etc. Alleen zit ik dan weer op het punt dat ik eerst moet zien te doorgronden wat er precies mee bedoelt wordt. Ik hoopte echter om aan de hand van een iets versimpeld geval toch het inzicht te kunnen krijgen via de simpele variant van de formule. de algemene gedachte die erachter zit zal toch immers dezelfde strekking hebben?

Ik neem even een analogie in de driedimensionale vlakke ruimte. Daar kunnen we afstanden uitrekenen tussen twee punten. Dat willen we natuurlijk zo makkelijk en overzichtelijk mogelijk doen. Daarom kiezen we meestal een zogenaamd Cartesische coördinatenstelsel (X,Y,Z), oftewel drie assen die loodrecht opelkaar staan. Dan kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken om de afstand R tussen 2 punten uit te rekenen:

\( R^2 = (\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2 + (\Delta Z)^2 \)

De Delta's geven de coördinaatverschillen tussen de 2 punten aan.

Maar ik hoef natuurlijk geen Cartesische coordinaten te kiezen. Ik kan ook bolcoordinaten kiezen. Of ik kan een heel ingewikkeld coordinatenstelsel kiezen. De afstand R maalt echter niet om mijn coordinaatkeuze. De algemene uitdrukking voor de afstand R tussen 2 punten is dan ook veel algemener; de uitdrukking hierboven is het speciale geval waarin je die afstand uitdrukt in Cartesische coordinaten. En we hebben het hier over vlakke ruimtes, maar we kunnen ook prima afstanden definieren voor gekromde ruimtes. De uitdrukking voor de afstand is dan iets dat geïntegreerd moet worden, waardoor je de Delta's vervangt door differentialen. Kortom: de algemene uitdrukking voor afstand is veel algemener; de uitdrukking hierboven is het bijzondere geval van Cartesische coordinaten in een vlakke ruimte.

In de relativiteitstheorie geldt iets soortgelijks. In een vlakke ruimtetijd kunnen we inertiaalwaarnemers kiezen die ruimtelijk gezien Cartesische coördinaten kiezen. Deze zullen voor de afstand tussen twee gebeurtenissen het welbekende

\( (\Delta s)^2 = -c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2 + (\Delta Z)^2 \)

gebruiken. Voor andere waarnemers wordt deze uitdrukking i.h.a. ingewikkelder. Bovenstaande uitdrukking is slechts de meer algemene uitdrukking (waarbij je sommeert over mu en nu; je krijgt dus zestien termen, waarvan tien echt onafhankelijk zijn)

\( (\Delta s)^2 = g_{\mu\nu} \Delta X^{\mu} \Delta X^{\nu} \)

uitgedrukt in een coordinaatstelsel waarmee je inertiaalwaarnemers beschrijft. Maar ook hier maalt de uitdrukking niet om de coordinaten die jij gebruikt; deze uitdrukking is een zogenaamde scalair en neemt dezelfde waarden aan voor elk coordinaatstelsel (= waarnemer).

Niet elke uitdrukking is echter een scalair in de relativiteitstheorie. De tweede wet van Newton, die relativistisch ook nog opgaat (maar dan uitgedrukt in ruimte en tijd), is een notoir tegenvoorbeeld. Als je deze uitdrukt voor inertiaalwaarnemers in een vlakke ruimtetijd, dan krijg je een simpele uitdrukking. Ga je echter naar een versnelde waarnemer, dan krijg je extra termen. Die extra termen noemen we "inertiaalkrachten" of "schijnkrachten". De meest algemene vorm van "Newtons 2e wet" is de geodetenvergelijking. Deze vergelijking heeft dezelfde vorm voor ALLE waarnemers. Voor gekromde ruimtetijden, zoals zwarte gaten, wordt deze uitdrukking ook een stuk ingewikkelder.

Hoop dat je hier wat mee kunt Kan niet zoveel reageren de komende tijd

[Professor Puntje]

Voor zover ik me kan herrinneren had je al eerder andere boeken gekocht over de ART met hetzelfde doel. Is daar nog iets uit voortgekomen?

Ja - ik denk de kern van de zaak nu te begrijpen, maar ik ben nog niet zover dat ik er concreet mee kan rekenen. Dat laatste vergt veel oefening en een meer praktische aanpak. Het boek van Zee lijkt mij daar geschikt voor.

Verder zal ik je topic nu met rust laten, want ik ben ervan overtuigd dat de ART niet in huis-tuin-en-keuken taal uitgelegd kan worden. Dat is een hopeloos project. Men maakt zaken in de natuurkunde niet onnodig moeilijker dan noodzakelijk is.

[flappelap]

nog even terugkijkend slaat hij volgens mij op het essentiele stukje t=4:50 voor mij tocju wat stappen over.
kan iemand die het snapt eens toelichten;
1) wat zet hij uit tegen wat? hij heeft het over een hyperbool. als ik de vergelijking s^2=(ct)^2-x^2 omschrijf tot een relatie tussen x en t kom ik op: t^2=(s^2+x^2)/c hoe komt je vanuit deze formule naar de hyperbool?
Daar volgt blijkbaar uit dat de lengtes tussen punt van hyperbool en oorsprong niet gelijk zijn en dat wel moeten zijn, dus moet je het papier krom maken (curvature) om s wel altijd gelijk te laten zijn.
maar mijn vraag is dan wat stelt de lengte tussen oorsprong en de curve voor? blijkbaar is dat s, maar ik snap niet waarom. dat legt hij ook niet goed stap voro stap uit volgens mij.

Neem in het XY-vlak alle punten die op vaste afstand R van de oorsprong liggen, waarbij R gegeven wordt door

\(R^2 = X^2 + Y^2\)

De Delta's zijn niet nodig, want we bekijken het vanuit de oorsprong. Als we bijvoorbeeld R=1 nemen, krijgen we

\(X^2 + Y^2 = 1\)

Dit zijn alle punten die op vaste afstand 1 van de oorsprong liggen: een cirkel. Oftewel: alle punten die met een vaste hoeveelheid afstand vanuit de oorsprong kunnen worden bereikt. We kunnen zelfs hieruit oplossen dat

\(X(Y) = \pm \sqrt{1-Y^2}\)

Nu doen we hetzelfde voor Minkowskiruimtetijd (=vlak). Daarin hebben we de afstandsfunctie (waarbij ik c=1 zet)

\(s^2 = -t^2 + x^2\)

Ook nu kunnen we weer alle punten op "vaste afstand van de oorsprong" bekijken, maar deze afstand is het ruimtetijdinterval! En voor inertiaalwaarnemers is (de absolute waarde van) dit ruimtetijdinterval gelijk aan de eigentijd (= de tijd verstreken tussen 2 gebeurtenissen zoals gemeten door een waarnemer die tussen beide gebeurtenissen reist). Voor s^2 = 0 krijgen we twee rechte lijnen in het ruimtetijddiagram. Maar voor bijvoorbeeld de keuze s^2 = - 1 (slechts een keuze; neem elke waarde die je wilt) krijgen we

\(s^2 = -1 = -t^2 + x^2\)

Oplossen naar t(x) geeft de hyperbool

\( t = \pm \sqrt{1+x^2}\)

Dat gebeurt in de video: voor een vast gekozen waarde voor het interval s worden alle punten {t,x} geplot in het ruimtetijddiagram die op dezelfde afstand s van de oorsprong liggen (vergelijk met mijn cirkelvoorbeeld hierboven). Oftewel: de hyperbool bestaat uit alle gebeurtenissen met coordinaten {t,x} die door inertiaalwaarnemers in een eigentijd van 1 seconde kunnen worden bereikt. Deze inertiaalwaarnemers volgen de rechte lijnen die vanuit de oorsprong naar het punt gaan. Al deze lijnen hebben verschillende hellingen, en dus beschrijven ze inertiaalwaarnemers met verschillende snelheden.

Hoop dat dit helpt.

p.s. de conventie hier is dat het ruimtetijdinterval voor negatieve waarden tijdachtige gebeurtenissen beschrijft, dus gebeurtenissen die door waarnemers vanuit de oorsprong kunnen worden bereikt.

[flappelap]

Een ander boek dat overigens erg goed is en minder technisch dan Zee (maar ook al dit soort zaken beschrijft), is Schutz zijn "Gravity from the ground up".

En ik hoop dat mijn eigen boek ook binnen afzienbare tijd wordt uitgegeven; het ligt nu voor de opmaak bij Epsilon Uitgaven. Daarin behandel ik ook dit soort zaken.

[HansH]

@ flappelap
Dank voor dit uitgebreide antwoord. Wordt zeer gewaardeerd. Hier kan ik wel wat mee en laat weer wat puzzelstukjes op zijn plaats vallen. Natuurlijk begrijp ik dat er niet altijd tijd is om te reageren, en die tijd op aarde ook niet zomaar is uit te rekken Ik heb liever een goed antwoord wat iets langer op zich laat wachten dan een summier antwoord waar je niet veel mee kunt.

[HansH]

@ flappelap En een boek van iemand die ook op het forum actief is om te helpen met de begripsvorming is wel een groot voordeel. ga ik zeker volgen. enig idee wanneer het uitkomt?

[flappelap]

Nee, heb nog geen datum, maar als ik meer weet horen jullie het wel

[die hanze]

Deze discussie over het uitleggen van art in mensen taal deed me aan het volgende plaatje denken:
.
Over het boek van zee heb ik al veel gehoord maar heb het nog nooit doorgenomen.
Ben ooit door 4 hoofdstukken geraakt in het boek space time and geometry van sean carrol. Was pittig.

[flappelap]

Sean Carrolls boek is gebaseerd op zijn lecture notes

https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

Ook erg goed, maar ik vond ze toendertijd ook niet bepaald makkelijk om te lezen. Maar welke wel?

[Gast]

Had geschreven, maar daarna gelezen dat er inmiddels veel meer is geschreven (waarom krijg ik daar geen notificaties van?). Dus weggehaald. Even bijlezen./

[Gast]

@flappelap
De lichtsnelheid c is altijd invariant. Anders is het een ogenschijnlijke lichtsnelheid of een coördinaten lichtsnelheid (waarover ik in het topic "invariantie van c" een stukje geschreven heb .. en we toen ook ergens uitkwamen bij Rindler).

Hoe me op de hoogte van je boek hè!
(Alleen zodra ik erin lees dat de (lokale) lichtsnelheid c niet constant is? .. Blasphemy! )

@ all
Ik ga zeker het boek van Zee kopen. Ik zag dat er een topic voor aangmaakt is. Dus hoe meer hoe beter/leuker lijkt mij. (Soort boekenclubje )

[Gast]

@HansH

Voor zover ik me kan herrinneren had je al eerder andere boeken gekocht over de ART met hetzelfde doel. Is daar nog iets uit voortgekomen? Er zijn in dit topic door mij concrete vragen gesteld bv over de links naar die filmpjes die ik had gegeven. Daar een antwoord op krijgen laat zien dat men meedenkt, zie Bericht wo 16 okt 2019, 10:27. Een belangrijk antwoord heb ik nog niet gekregen. nl wat de hyperbool curve voorstelt en de conclusies die daaruit volgen over s. We gaan nu discussieren over boeken in dit topic waardoor de zaak waar het om gaat compleet onder gaat sneeuwen, terwijl basisvragen al onbeantwoord blijven. Hoe denk je dat de discussie gaat lopen als het echt ingewikkeld wordt en men onvoldoende inbeeld in de vragen die er liggen? Ik heb daar tot nu toe nog niet zoveel vertrouwen in. Laten we dit topic dus maar als een test beschouwen of mensen serieus mee willen denken.

Heel goed!

Alleen zullen tijd en de al opgedane kennis uhm .. vast van grote invloed zijn. Er komen vast meerdere topics/onderwerpen, waar ik of een ander nog niet aan toe zijn gekomen (boek van Zee). We zullen zien. (En ik zal ook vaker kijken, ... ik krijg telkens 1 melding en als ik dan tijd heb, is er inmiddels veel meer geschreven.)

Maar anyway, je vraag hier is goed uitgebreid uitgelegd door flappelap zie ik. (?)

Heb je die video van pbs spacetime niet bekeken overigens?
Ik vond dat persoonlijk een prima uitleg. Alleen geen wiskunde. Hmm, ok.