Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

[Professor Puntje]

Einstein kwam er zonder de wiskunde ook niet uit. Bovendien volgde hij ook geregeld dwaalwegen. Het is gewoon niet waar dat hij alles al als basisidee in zijn hoofd had en dat de wiskunde enkel maar een handige aankleding en/of formulering behelst van wat hij eigenlijk intuïtief al wist. Er is ook een boek waarin de ontwikkeling van Einsteins gedachten ten aanzien van de ART wordt gevolgd en uiteen gezet. Dat is - voor wie die historische interesse heeft – helemaal niet zo geheim.

Zee ziet wiskunde duidelijk als een hulpmiddel en hij heeft geen boodschap heeft aan de strenge bewijzen die in de (theoretische) wiskunde vereist zijn. Een belangrijk punt is waar hij het heeft over het onderscheid tussen intrinsieke en extrinsieke kromming. Ik vermoed dat je (HansH) intrinsieke kromming (die essentieel is voor de ART) verwart met (of probeert te begrijpen als) extrinsieke kromming. Zo kom je er niet.

[die hanze]

Een vierdimensionale ruimte die gekromd is.... hier heb je wiskunde voor nodig.

De manier van tensor rekenen die nu gangbaar is in de ART wordt de "einstein notatie genoemd". Het is een heel handig systeem met subscripts en superscripts van tensor componenten die heel economisch rekenen. Einstein heeft dit systeem bedacht dus hij was zelf ook veel bezig met de exacte wiskundige beschrijving van zijn theorie.

[HansH]

ja natuurlijk heeft hij de wiskunde nodig, maar ik denk dat de volgorde wel was: eerst de ideen en dan de wiskunde. Maar ideen zijn vaak ook al wiskunde, bv hoe je de kromming van een berg kunt modelleren of het feit dat als je een massa die zweeft in het heelal van een constante kracht voorziet dat die dan een afgelegde weg gaat volgen volgens een kwadraat of een simusvormige trilling waarbij je weet dat de versnelling evenredig is met de uitwijking. als je zulke patronen herkent kun je daar wat mee.

[HansH]

Ik vermoed dat je (HansH) intrinsieke kromming (die essentieel is voor de ART) verwart met (of probeert te begrijpen als) extrinsieke kromming. Zo kom je er niet.

Waar concludeer je dat dan uit?

[Professor Puntje]

Realistischer is: idee, formalisering in wiskunde, zien of het werkt, indien het niet (goed) werkt, een aangepast of nieuw idee, formalisering in wiskunde, etc. Het gevolg bij de meer ingewikkelde theorieën is dan ook dat het uiteindelijk gevonden werkende idee dusdanig door de gaandeweg gebruikte wiskunde is "besmet" dat het niet langer in huis-tuin-en-keuken-taal aan een leek kan worden uitgelegd.

Een voorbeeld is de intrinsieke kromming van de ruimtetijd.

[flappelap]

Einstein kwam er zonder de wiskunde ook niet uit. Bovendien volgde hij ook geregeld dwaalwegen. Het is gewoon niet waar dat hij alles al als basisidee in zijn hoofd had en dat de wiskunde enkel maar een handige aankleding en/of formulering behelst van wat hij eigenlijk intuïtief al wist.

De basisprincipes die Einstein volgens mij al voor 1913 hanteerde, waren de volgende:

[*] Het equivalentieprincipe: lokaal in de ruimtetijd is een stilstaande waarnemer in een zwaartekrachtsveld equivalent aan een versnellende waarnemer in een vlakke ruimtetijd. Dit principe geldt al in Newtonse zwaartekracht voor een beperkte klasse van waarnemers; Einstein postuleerde dat dit voor ALLE waarnemers geldt. Dit principe resulteerde in (a) een meetkundige beschrijving van zwaartekracht, en (b) algemene covariantie en de bijbehorende tensoren: de vergelijkingen waar hij naar op zoek was moesten voor alle waarnemers dezelfde vorm aannemen.
[*] Het correspondentieprincipe: zijn theorie moest in bepaalde limietgevallen weer overgaan in Newtons zwaartekrachtstheorie. Daarvan weten we immers dat ze in een bepaald geldigheidsdomein empirisch erg succesvol is.

De meetkunde van ruimtetijd is dan zonder zwaartekracht vlak. De kromming wordt beschreven met de Riemann-tensor, maar dat ding heeft 4 indices. Wat Einstein vervolgens probeerde, was met behulp van deze tensor de Poissonvergelijking voor Newtonse zwaartekracht "algemeen covariant" te maken. Dat kan op verschillende manieren, en Einstein heeft eerst ook verkeerde veldvergelijkingen gepostuleerd. Het missende ingredient bleek energie- en impulsbehoud te zijn. Dat leidde uiteindelijk tot zijn veldvergelijkingen. Ook hanteerde hij, net als Hilbert na hem, een actieprincipe, maar dat principe had ook volgens mij ook niet goed genoeg onder de knie.

Einstein meende bovendien dat algemene covariantie die vergelijkingen uniek bepaalde, maar dat is niet zo. Je kunt zelfs Newtons zwaartekrachtstheorie algemeen-covariant maken. Ook kun je op prima extra termen toevoegen aan de vergelijkingen, maar op basis van dimensionele analyse zullen deze "correcties" pas merkbaar zijn bij hele hoge energieën. Einstein wist dat toen ook nog niet volgens mij.

Ook was Einstein rond 1914 2 jaar hevig in de war omtrent algemene covariantie. Hij meende uiteindelijk dat algemene covariantie niet samenging met "determinisme". Hij formuleerde deze stelling met zijn beruchte "hole problem" en legde condities op die algemene covariantie verbreken. Dat heeft 2 jaar lang voor allerlei zijwegen geleid die uiteindelijk vruchtenloos bleken te zijn. Zonder die zijwegen had hij in 1913/1914 al zijn theorie kunnen publiceren.

Dus Einstein heeft heel wat zijwegen gemaakt, begreep de onderliggende wiskunde niet altijd even goed (zijn manier van opschrijven zou nu hopeloos ingewikkeld en ouderwets zijn), en hanteerde verschillende principes totdat hij uiteindelijk tot zijn uiteindelijke theorie kwam. Dus het idee dat hij intuïtief al wist wat er uit moest komen en daar in 1 ruk met 1 soort methodiek naar toe is gewerkt, is domweg onjuist. En dat geldt natuurlijk voor de meeste grote wetenschappelijke doorbraken. Het was een jarenlange zoektocht van trial and error, met als allerbelangrijkste leidraad de filosofie dat het equivalentieprincipe niet tot zijn recht kwam in Newtons zwaartekrachtstheorie.

[flappelap]

Realistischer is: idee, formalisering in wiskunde, zien of het werkt, indien het niet (goed) werkt, een aangepast of nieuw idee, formalisering in wiskunde, etc. Het gevolg bij de meer ingewikkelde theorieën is dan ook dat het uiteindelijk gevonden werkende idee dusdanig door de gaandeweg gebruikte wiskunde is "besmet" dat het niet langer in huis-tuin-en-keuken-taal aan een leek kan worden uitgelegd.

Een voorbeeld is de intrinsieke kromming van de ruimtetijd.

Intrinsieke kromming kun je denk ik prima intuïtief uitleggen. Het komt er op neer dat als je b.v. op een bol met een lans loopt en de lans in je handen niet draait, de oriëntatie van de lans padafhankelijk zal zijn. Leg maar eens twee verschillende paden af, kom op hetzelfde punt uit, en de twee lansen zullen een hoek met elkaar maken. Die hoek is een indicatie van intrinsieke kromming.

Dat is ook de reden waarom bijvoorbeeld het oppervlak van een donut (een 2-torus) niet intrinsiek gekromd is (de torus volgt uit de identificatie van randen van een vlak).

[flappelap]

Maar ik merk dat ik alweer uitwijd, dus ik zal het in het vervolg bij Zee zijn boek houden Bovenstaande ideeën staan ook in dat boek.

[Professor Puntje]

Het probleem met intrinsieke kromming is dat dit type kromming kan worden gedefinieerd zonder dat het beschouwde (hyper)vlak in een extra dimensie "kromgetrokken" is. Populaire voorstelling tonen echter steeds in een extra dimensie kromgetrokken vlakken (zoals boloppervlakken, rubberen vellen, etc.) waarbij in die kromgetrokken vlakken dan op de een of andere wijze wezentjes zitten opgesloten die niet doorhebben dat wat zij als rechte lijnen zien eigenlijk kromme lijnen zijn. Zulke plaatjes leiden er dan automatisch toe dat men zich gaat voorstellen dat de gekromde vierdimensionale ruimtetijd noodzakelijkerwijze in een vijfde dimensie kromgebogen moet zijn. Dus volgens mij leiden de gebruikelijke popiejopie voorstellingen dan ook tot misverstanden ten aanzien van de voor de ART essentiële intrinsieke kromming.

Maar ik kan het mis hebben, dus corrigeer mij a.u.b. als ik hier zelf op een dwaalspoor zit.

[Professor Puntje]

Op blz. 6 staat in verband met de intrinsieke kromming een interessante formule:

\(\)

\( \mbox{R} = \lim_{\, radius \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{radius^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{circumference}{2 \pi \, radius} \right ) \)

\(\)

Het leuke is dat hier (zonder de gevreesde tensoren!) al wat mee gerekend kan worden. Wellicht ook interessant voor HansH om dat bijvoorbeeld voor een boloppervlak uit te proberen.

Bij die formule vraag ik mij dan wel direct af of er ook deformaties van de ruimtetijd bekend zijn waarbij de betreffende limiet niet bestaat. (Iets wat in Zee's woordenboek niet lijkt voor te komen ).

[HansH]

De basisprincipes die Einstein volgens mij al voor 1913 hanteerde, waren de volgende:

Toch begint dit al een eind in de richting van het beruchte A4tje te komen.

[Gast]

Ik heb het stukje nog niet gelezen (ben of was vooral wat ziek (14 uur geslapen ..)). Maar hoop dat ik je kan bijbenen.

Maar de wiskunde, zoals ik het begrijp, is toch meer ter onderbouwing en verduidelijking van de ART. Einstein zelf, begrijp ik, had er maar moeite mee (hoe geniaal!).

"Since the mathematicians have invaded the theory of relativity, I do not understand it myself any more." A. Einstein.

Dat komt denk ik omdat Einstein de basisideen in zijn hoofd had wat er aan de hand was. Daarom wist hij ook hoe hij de zaak in een bepaalde richting moest sturen. Vandaar dat ik ook ernaar streef om die basisideen te achterhalen, alleen zit dat niet zo mee soms omdat velen meteen terugverwijzen naar alle wiskunde waardoor je door de bomen het bos niet meer ziet en niet ziet waar het heen moet en waarom. Zou mooi zijn als Zee dat dus ook zo probeert te benaderen als Einstein zelf zou doen. Daarom blijf ik deze link wel volgen, maar ga het boek pas aanschaffen als blijkt dat het een beetje in de richting komt die ik nodig denk te hebben om het te kunnen volgen.

Top! Het is wel zo dat Einstein zelf een vele langere moeilijkere weg heeft moeten bewandelen. Er waren destijds ook maar weinigen (proffesoren!) die het begrepen. Tegenwoordig wordt het veel naja beter is het verkeerde woord, maar handiger uitgelegd. (Ik heb daar een mooi filmpje van gezien. Misschien kan ik hem terug vinden.) Maar .. het was Einstein.

Late reactie en weer inmiddels meer geschreven :oops:

[Gast]

Het is gewoon niet waar dat hij alles al als basisidee in zijn hoofd had en dat de wiskunde enkel maar een handige aankleding en/of formulering behelst van wat hij eigenlijk intuïtief al wist.

Zo bedoelde ik het ook zeker niet. .. Ik bedoel .. het was Einstein. Die kon wel rekenen
Alleen zijn kracht, zoals ik het begrijp, en de manier waarop zijn relativiteitstheorie tot stand is gekomen was niet in eerste instantie wiskunde.

Ik heb alleen nog de preface gelezen. Ik vond het heel goed en rustgevend of zo .. op één of andere manier.

Dus over de formule op pagina 6 kan ik nog niets nuttigs zeggen. (Ben een beetje bang dat ik achter zal blijven lopen eerlijk gezegd. )

[Professor Puntje]

Maar die formule is daar ook helemaal niet bewezen of zo. Die is daar enkel gegeven om te illustreren dat je de intrinsieke kromming van een vlak enkel op basis van meetkundige gegevens uit dat beschouwde vlak kunt definiëren. Dus zonder dat daar (in principe) een extra dimensie voor nodig is waarin dat vlak gekromd is.

[Gast]

Ok. Ik begrijp wat je bedoeld. Ik hoop er snel aan toe te komen en we het "echte werk" kunnen bespreken. (Maar tijd .. zoveel te doen, zo weinig tijd.)