cycloide

[ukster]

De cycloïde is de curve van snelste daling tussen twee punten A en B, waarbij B lager dan, maar niet recht onder A ligt, waarover een wrijvingsloos glijdend voorwerp binnen zo kort mogelijke tijd van het begin- naar het eindpunt beweegt, onder invloed van de zwaartekracht.

Cycloide 4771 keer bekeken

Bijzonderheid: Een object kan overal op de cycloïde worden geplaatst en het zal in dezelfde tijd in B terecht komen!
Over de rechte duurt het 3,25 sec om van A(0,0) naar B(10m,-2m) te gaan.
In welke tijd lukt dat langs het cycloïdetraject? Hier kom ik niet uit!

[Xilvo]

Wat is de vergelijking van dat stuk cycloïde precies? Gaat het van het hoogst mogelijke punt bij A naar een horizontaal stuk bij B?
Als je een voldoende klein stukje neemt wordt het nagenoeg een rechte lijn en dan gelden de zaken die je noemt natuurlijk zeker niet.

[ukster]

Nu je het zegt! dat apparaat geeft niet echt goed de vorm van een cycloïde weer

Maple sim 4732 keer bekeken

Onder 'Brachistochrone' is hierover van alles te vinden..

die bijzonderheid gaat alleen op als inderdaad bij B (bijna) horizontaal eindigt..

[megabon]

[ukster]

Mooi,ik vond deze ook al behoorlijk verhelderend...

[ukster]

dit zijn de mogelijke vormen afhankelijk van x en y

van A(0,0) naar B(10m,-2m) zal de laatste van de drie zijn.....

[tempelier]

Mooi,ik vond deze ook al behoorlijk verhelderend...

Hij noemt Newton als de bedenker.
Maar volgens mijn was Huygens eerder.

Komt wel vaker voor dat Newton niet de eerste was, maar het hem wel wordt toegedicht.

[tempelier]

Wat is de vergelijking van dat stuk cycloïde precies? Gaat het van het hoogst mogelijke punt bij A naar een horizontaal stuk bij B?
Als je een voldoende klein stukje neemt wordt het nagenoeg een rechte lijn en dan gelden de zaken die je noemt natuurlijk zeker niet.

In Cartesische coördinaten bedoel je?

Dit is die voor de normale cycloïde.

\(\large
x=r\arccos\bigl( 1-\frac{y}{x} \bigr) - \sqrt{ y(2r-y) } \)

Met r de straal van de rollende cirkel.
Erg handzaam lijkt hij me niet.

[ukster]

Johann Bernoulli stelde het probleem van de brachistochrone voor de lezers van Acta Eruditorum in juni 1696.

Acta Eruditorium 4557 keer bekeken

Hij zei: Ik, Johann Bernoulli, spreek de meest briljante wiskundigen ter wereld aan. Niets is aantrekkelijker voor intelligente mensen dan een eerlijk, uitdagend probleem, waarvan de mogelijke oplossing bekendheid zal geven en als een blijvend monument zal blijven. In navolging van het voorbeeld van Pascal, Fermat, enz., Hoop ik de hele wetenschappelijke gemeenschap dankbaar te maken door voor de beste wiskundigen van onze tijd een probleem voor te stellen dat hun methoden en de kracht van hun intellect zal testen. Als iemand me de oplossing van het voorgestelde probleem meedeelt, zal ik hem publiekelijk lofwaardig verklaren
Bernoulli schreef de probleemstelling als:
Gegeven twee punten A en B in een verticaal vlak, wat is de curve die wordt opgespoord door een punt dat alleen wordt beïnvloed door de zwaartekracht, die begint bij A en B in de kortste tijd bereikt.

Het gaat mij eigenlijk hierom:
Over de rechte duurt het 3,25 sec om van A(0,0) in B(10m,-2m) te komen.
In welke tijd lukt dat langs het cycloïdetraject? Ik kom er niet uit!

[Rik Speybrouck]

Johann Bernoulli stelde het probleem van de brachistochrone voor de lezers van Acta Eruditorum in juni 1696.
Acta Eruditorium.png
Hij zei: Ik, Johann Bernoulli, spreek de meest briljante wiskundigen ter wereld aan. Niets is aantrekkelijker voor intelligente mensen dan een eerlijk, uitdagend probleem, waarvan de mogelijke oplossing bekendheid zal geven en als een blijvend monument zal blijven. In navolging van het voorbeeld van Pascal, Fermat, enz., Hoop ik de hele wetenschappelijke gemeenschap dankbaar te maken door voor de beste wiskundigen van onze tijd een probleem voor te stellen dat hun methoden en de kracht van hun intellect zal testen. Als iemand me de oplossing van het voorgestelde probleem meedeelt, zal ik hem publiekelijk lofwaardig verklaren
Bernoulli schreef de probleemstelling als:
Gegeven twee punten A en B in een verticaal vlak, wat is de curve die wordt opgespoord door een punt dat alleen wordt beïnvloed door de zwaartekracht, die begint bij A en B in de kortste tijd bereikt.

Het gaat mij eigenlijk hierom:
Over de rechte duurt het 3,25 sec om van A(0,0) in B(10m,-2m) te komen.
In welke tijd lukt dat langs het cycloïdetraject? Ik kom er niet uit!

Hallo ik heb een berekening gemaakt voor een cycloide opgebouwd op basis van een cirkel met een straal van 1 meter en dan kom ik op volgende waarden
via rechte lijn 3.42 seconden
via cycloide 2.51 seconden
dit zijn de waarden om tot op het laagste punt van de boog te komen

[Rik Speybrouck]

Johann Bernoulli stelde het probleem van de brachistochrone voor de lezers van Acta Eruditorum in juni 1696.
Acta Eruditorium.png
Hij zei: Ik, Johann Bernoulli, spreek de meest briljante wiskundigen ter wereld aan. Niets is aantrekkelijker voor intelligente mensen dan een eerlijk, uitdagend probleem, waarvan de mogelijke oplossing bekendheid zal geven en als een blijvend monument zal blijven. In navolging van het voorbeeld van Pascal, Fermat, enz., Hoop ik de hele wetenschappelijke gemeenschap dankbaar te maken door voor de beste wiskundigen van onze tijd een probleem voor te stellen dat hun methoden en de kracht van hun intellect zal testen. Als iemand me de oplossing van het voorgestelde probleem meedeelt, zal ik hem publiekelijk lofwaardig verklaren
Bernoulli schreef de probleemstelling als:
Gegeven twee punten A en B in een verticaal vlak, wat is de curve die wordt opgespoord door een punt dat alleen wordt beïnvloed door de zwaartekracht, die begint bij A en B in de kortste tijd bereikt.

Het gaat mij eigenlijk hierom:
Over de rechte duurt het 3,25 sec om van A(0,0) in B(10m,-2m) te komen.
In welke tijd lukt dat langs het cycloïdetraject? Ik kom er niet uit!
Sorry moet 1.003 seconden zijn voor cycloide

[Rik Speybrouck]

het is gewoon (wortel van r/g )*pi

[ukster]

MAPLE heeft aan dit onderwerp een (interactieve) simulatie gewijd.ik kan hiermee punt B overal naar toe slepen en Maple geeft benodigde de tijd langs de rechte en langs de cycloïde voor een verplaatsing van A(0,0) naar B(10,-2)

Zoals je ziet in het 1e plaatje heeft de massa op de cycloïde op tijdstip 1,44s al een geruime voorsprong op die langs de rechte.
De benodigde tijd langs rechte om in B te komen is 3,27 s
De benodigde tijd langs de cycloïde om in B te komen is 'slechts' 1,96 s
Gezien de reputatie van 'MAPLE' neem ik aan dat dit de realiteit is.

[Rik Speybrouck]

MAPLE heeft aan dit onderwerp een (interactieve) simulatie gewijd.ik kan hiermee punt B overal naar toe slepen en Maple geeft benodigde de tijd langs de rechte en langs de cycloïde voor een verplaatsing van A(0,0) naar B(10,-2)
Maple sim.png
Zoals je ziet in het 1e plaatje heeft de massa op de cycloïde op tijdstip 1,44s al een geruime voorsprong op die langs de rechte.
De benodigde tijd langs rechte om in B te komen is 3,27 s
De benodigde tijd langs de cycloïde om in B te komen is 'slechts' 1,96 s
Gezien de reputatie van 'MAPLE' neem ik aan dat dit de realiteit is.

ik heb gewerkt met een cirkel met een straal van 1 meter tot op het laagste punt

[Rik Speybrouck]

overal vindt je toch de formule (wortel van r/g)*pi voor volledig beneden