Waarschijnlijkheidsverdeling som van dobbelstenen, beste 3

[Emveedee]

Bij (bord)spellen wordt vaak een worp van meerdere dobbelstenen gebruikt voor een of andere score. Nu leek het me interessant om de kansverdeling hiervan te berekenen. Ik heb dus in python een simpel scriptje geschreven dat door alle mogelijke permutaties van de dobbelstenen gaat en telt hoe vaak elke som voorkomt. 

 

Voor een paar dobbelstenen werkt dit prima, maar het aantal permutaties loopt al snel uit de klauwen; 10d6 (10 dobbelstenen met 6 zijden) is al 6^10 ~ 60 miljoen permutaties. Uiteraard kan ik gewoon een aantal worpen simuleren (~500k lukt prima op mijn oude laptopje), maar dan is het resultaat niet exact. Gelukkig vond ik een betere methode, nl. met de discrete convolutie (zie hier). Hiermee kan ik binnen een fractie van de tijd exacte resultaten vinden.
 
Echter, soms zie je iets als: gooi 5 dobbelstenen en kies de 3 beste. Hiervan wil ik ook de kansverdeling kunnen berekenen. Met de eerste methode lukt dat prima, maar ik wil het ook graag op een efficiente manier doen. Ik heb er over nagedacht, maar volgens mij kan dit niet m.b.v. de convolutie. Zijn er nog andere manieren om dit probleem aan te pakken?

[Bart23]

Wat betreft het eerste deel van je vraag: het betreft hier eigenlijk een binomiale verdeling. Zie: https://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiale_verdeling. Gaat rechtsreeks via python: <a> http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html (kies daar voor "binom")</a>

[Emveedee]

Ik zie niet in waarom de binomiale verdeling hier iets mee te maken heeft, het gaat toch niet om herhaling van een experiment met constante kans?

[EvilBro]

Doet mij denken aan een probleem van Project Euler. Volgens mij had ik dat als volgt opgelost:
Splits elke som op in hoe deze som bereikt kan worden. Voorbeeld:
12 met 3 dobbelstenen =
6 + 5 + 1
6 + 4 + 2
6 + 3 + 3
5 + 5 + 2
5 + 4 + 3
4 + 4 + 4
Bedenk bij elke optie hoe vaak deze voor komt (de rest van de dobbelstenen mag niet hoger zijn dan de laagste waarde in de som). Tel deze aantallen op en je weet op hoeveel de som voorkomt. Dit doe je voor alle mogelijke sommen en dan heb je je kansverdeling.

[Emveedee]

Hmm, dat is inderdaad een slimme aanpak. Ik ben er nog niet helemaal uit hoe ik dit ga aanpakken in het geval dat je dobbelstenen van verschillende grootte rolt (bijv 5d6 + 3d8 ofzo), ik ga er eens over nadenken!

[Bart23]

Oepsie, wat een kletskoek was ik daar aan het vertellen! Geen idee aan wat ik toen aan het denken was.
 
Nu beter. Je kan de verdeling van de sommen van bijvoorbeeld 5 d6-dobbelstenen vinden door naar de coëfficiënten te kijken van \((x+x^2+\dots+x^6)^5\). Na uitwerking vind je:

\(x^{30} + 5*x^{29} + 15*x^{28} + 35*x^{27} + 70*x^{26} + 126*x^{25}+ 205*x^{24} + 305*x^{23} + 420*x^{22}\)

\(+ 540*x^{21}+ 651*x^{20} + 735*x^{19}+ 780*x^{18} + 780*x^{17} + 735*x^{16} + 651*x^{15} + 540*x^{14}\)

\(+ 420*x^{13}+305*x^{12} + 205*x^{11} + 126*x^{10} + 70*x^9 + 35*x^8 +15*x^7 + 5*x^6 + x^5\)

Hier zie je dat er 651 mogelijkheden zijn om 15 (of 20) te gooien.
 
Dit kan je aanpassen naar 5d6+3d8 door te kijken naar

\((x+x^2+\cdots+x^6)^5(x+x^2+\cdots+x^8)^3\)

[webertje]

Mhh... een interessant onderwerp moet ik toch zegen. Ik dacht altijd van 1/6 kans dat ik gooi wat ik wil.
bijv. met het boordsel risk> Je tegenstander gooit 2en3 nou jij hebt 3 dobbelstenen, logica zegt nu dat als ik gooi ik win (al kan ik net zo goed yahtzee 1 gooien).
zelf geloof ik in een soort wetenschappelijk geluk, maar de term geluk (hoe je het ook bekijkt) speelt een belangrijke rol.
 
-God does not play dice - Albert Einstein

[Kris Hauchecorne]

Je kan ook gewoon doortellen: werpen met drie dobbelstennen is hetzelfde als een dubbele worp plus één enzovoort. Dan krijg je dit: