platland

[ukster]

Gegeven een oneindig vlakke sheet met een uniforme massadichtheid van 2,34.1010 kg/m2 en waar gravitatie op dezelfde manier werkt als op aarde.
Vraag: Is onder deze omstandigheden de gravitatieversnelling overal ongeveer 1g ?

Iemand op een physicsforum kwam met onderstaande redenatie.
ik weet niet precies wat ik ervan vinden moet.

[Xilvo]

Volgens mij is het correct, met een massadichtheid van 2,34.10¹⁰ kg/m².

Ik heb geen idee wat de ART ervan vindt indien het vlak oneindig groot is, maar als de plaat een diameter heeft die heel veel malen groter is dan de afstand tussen de plaats waar de versnelling bepaald wordt en de plaat zelf (plaats ongeveer ter hoogte middelpunt plaat, plaatdikte eveneens veel kleiner dan die diameter), dan gaat het zeker op.

[Benm]

In dit voorbeeld heeft die plaat natuurlijk ook een oneindig hoge massadichtheid, iets dat in de praktijk niet mogelijk is.

Anderzijds zou het volgens mij qua concept ook werken met een (semi) oneindig groot object in 2 richtingen, maar met een beperkte dikte waar die massa in past. Het getal is iets anders omdat het massacentrum in het midden van die 'plak' ligt, maar het effect van constante aantrekking blijft overeind.

[Xilvo]

In dit voorbeeld heeft die plaat natuurlijk ook een oneindig hoge massadichtheid, iets dat in de praktijk niet mogelijk is.

Er wordt niet gezegd dat de dikte nul is en dat is ook niet nodig.

[Benm]

Nu je het zegt, maakt de dikte eigenlijk uberhaupt iets uit? Zolang het maar oneindig groot is maakt de afstand eigenlijk ook helemaal niets uit, of wel?

[Xilvo]

Nu je het zegt, maakt de dikte eigenlijk uberhaupt iets uit? Zolang het maar oneindig groot is maakt de afstand eigenlijk ook helemaal niets uit, of wel?

Als de plaat oneindig groot is doen dikte en afstand er niet toe.
Als de plaat eindig is moeten beide wel klein zijn t.o.v. de grootte van de plaat om de benadering op te laten gaan.

[tempelier]

In Platland gelden de formules zoals gegeven niet meer.
In Platland zijn de krachten lineair evenredig met de afstand.

[Marko]

Zie https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law_for_gravity

[Xilvo]

Het ligt natuurlijk ook voor de hand. Bij een puntvormige lichtbron neemt de intensiteit af met 1/afstand², bij een oneindig lange lijnvormige lichtbron met 1/afstand en bij een oneindig grote vlakke lichtbron heb je een constante intensiteit.

Idem voor elektrische veldsterkte en gravitatieversnelling.

[flappelap]

In Platland gelden de formules zoals gegeven niet meer.
In Platland zijn de krachten lineair evenredig met de afstand.

Als je vanuit de algemene relativiteitstheorie redeneert heb je in 2+1 dimensies zelfs al geen zwaartekracht meer op de gebruikelijke wijze; zwaartekracht is dan slechts een topologisch effect. De Newtonse limiet geeft dan ook dat er geen 'Newtonse' zwaartekracht is tussen massa's.

Maar de OP gaat volgens mij over een oplossing in 3+1 dimensies, en die klopt volgens mij gewoon. Wel zijn het ongebruikelijke randcondities; normaal veronderstel je dat de potentiaal naar 0 gaat op ruimtelijk oneindig.

[Xilvo]

Wel zijn het ongebruikelijke randcondities; normaal veronderstel je dat de potentiaal naar 0 gaat op ruimtelijk oneindig.

Hier zou je een oneindige potentiaal krijgen, in het oneindige in de richting loodrecht op de plaat, of op de plaat zelf.

Maar bij een voldoende grote plaat gaat het verhaal ook al op (in goede benadering) mits dikte plaat en afstand klein zijn t.o.v. de grootte van die plaat.

[flappelap]

Ik heb zelf ook de berekening gedaan; dat was alweer een tijdje geleden

Je kunt het inderdaad het makkelijkst met de integraalvorm van de Poissonvergelijking doen (Gauss), maar wat je ook kunt doen is een testdeeltje met massa m op afstand z boven de plaat houden. Vervolgens kies je poolcoördinaten op de plaat, en ga je kijken wat het effect is van concentrische ringen die hun invloed uitoefenen op de testmassa. Vanwege symmetrie zullen alleen de loodrechte componenten bijdragen aan de kracht.

Dus, we plaatsen een testmassa m boven de plaat die massadichtheid sigma heeft. De afstand van de ring tot de massa noemen we r, en de straal van de ring (vanaf het punt op de plaat loodrecht onder de testmassa) noemen we R. De hoek theta is dan tussen r en z:

\( dF = \frac{Gm\sigma}{z^2 + R^2} 2 \pi R dR \cos{(\theta)} = \frac{Gm\sigma}{(z^2 + R^2)^{3/2}} 2 \pi R dR \)

Hierbij gebruiken we dat

\(\cos{(\theta)} = \frac{z}{r} = \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \)

De totale kracht wordt dan

\( F = 2 \pi G m \sigma z \int_{0}^{\infty} \frac{R dR}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \)

en deze integraal los je op met een substutie:

\( \int \frac{R dR}{(z^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{-1}{\sqrt{z^2 + R^2}}\)

Je krijgt dan dus

\(\int_{0}^{\infty} \frac{R dR}{(z^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{1}{z} \)

De totale kracht wordt

\( \pi G m \sigma \)

en dus

\( g = \pi G \sigma \)

waarbij de afhankelijkheid van z inderdaad wegvalt.

Ik lijk er een factor 2 naast te zitten; zal wel ergens een factor 2 in de integraal verkeerd hebben gedaan. Maar het punt is dat wanneer je de plaat oneindig groot neemt, de z-afhankelijkheid van de kracht wegvalt.

[Xilvo]

Het foutje zit hier:

\(\int \frac{2R dR}{(z^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{-1}{2\sqrt{z^2 + R^2}}\)

want

\(\frac{d}{dR} \frac{-1}{2\sqrt{z^2 + R^2}}= \frac{2R dR}{4(z^2 + R^2)^{3/2}} \)

[flappelap]

Het foutje zit hier:

\(\int \frac{2R dR}{(z^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{-1}{2\sqrt{z^2 + R^2}}\)

want

\(\frac{d}{dR} \frac{-1}{2\sqrt{z^2 + R^2}}= \frac{2R dR}{4(z^2 + R^2)^{3/2}} \)

Dank, was er zelf na al dat getex zat van (had me zelf al half verbeterd, zie ik; had de factor twee niet meegenomen na "De totale kracht...")

Maar je noemt een interessant punt omtrent die potentiaal: die is inderdaad oneindig. Ik vond net deze link,

https://www.mathpages.com/home/kmath530/kmath530.htm

waarin naast de Newtonse analyse er ook een analyse vanuit de algemene relativiteitstheorie wordt gegeven.

[Benm]

Hoe een, een beginsel, vrij eenvoudige opgave toch nog heel complex kan worden

Het blijft een beetje tegen-intuïtief, maar dat zal geheid komen omdat je dit in de praktijk nooit tegen komt: Bij bijvoorbeeld electrische krachten is het vrij eenvoudig het met een experiment aan te tonen - als je een plaat maakt van een vierkante meter dan heb je in het midden daarvan amper last van rand-effecten als je binnen een paar centimeter afstand blijft. Zwaartekracht is zo zwak dat je iets gigantisch moet maken om ermee te kunnen experimenteren.