Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

[flappelap]

@flappelap

Een foliatie van de ruimtetijd is toch niet zo moeilijk?Tenminste het is mij eens uitgelegd, alleen ik herinner me het niet goed en kan het niet terugvinden (irritant). Iig bedoelde, zoals mij verteld werd, Einstein dat oorspronkelijk met de "rubber sheet analogy" en niet de bekende "trampoline analogie".

Dit is een foliatie van ruimtetijd rond een zwart gat:
Screenshot_20190524-033759_Quora.jpg
Alleen nu weet ik de uitleg erbij niet goed meer. Ik geloof dat de g00-component niets anders is dan de zwaartekracht potentiaal (?) en de getijdekrachten hier dus oplopen tot oneindig.

Dat is geen foliatie maar een embedding.

Ruimte en tijd zijn gekoppeld in de relativiteitstheorie. Als je ruimte en tijd wilt opsplitsen, moet je coördinaten kiezen, oftewel een waarnemer. De ruimte, en daarmee de ruimtetijdfoliatie, voor een waarnemer wordt bepaald door zijn coördinatentijd constant te kiezen. Voor verschillende waarnemers krijg je dan verschillende foliaties.

[Gast]

Dat is geen foliatie maar een embedding.

Ok, thanks. (Ik dacht al .. dit klopt lang niet.)

[Professor Puntje]

Ben weer aan het lezen in Zee's boek. Het wordt als min of meer vanzelfsprekend gesteld dat de natuurkunde voor alle waarnemers het zelfde moet zijn. Daar zijn toch wel wat kanttekeningen bij te zetten. Er zijn best universa denkbaar waarin de aarde in het centrum van het heelal zou staan, en in dat geval zou het ook best kunnen zijn dat het onder- en bovenmaanse aan verschillende natuurwetten gehoorzamen. De positie van de waarnemer is in een dergelijk universum dan wel relevant. Dat de wereld zoals we tegenwoordig weten niet zo in elkaar steekt, doet niets af aan de logische mogelijkheid van dit alternatief.

[flappelap]

Dat klopt, maar dat zou je middels Noether in je behoudswetten moeten terugzien.

[Professor Puntje]

Zoals verwacht ben ik weer vastgelopen op de beruchte definitie:

A tensor is something that transforms like a tensor.

Nu is het correct dat je de naamgeving van objecten kunt vastleggen door af te spreken dat objecten met zekere eigenschappen een zekere naam hebben. Het problematische van de definitie zit dan ook in het deel:

that transforms like a tensor

Ook worden tensoren niet in het leven geroepen door een naamgeving op zich, het is a priori immers denkbaar dat er geen objecten met de aangegeven eigenschappen bestaan.

Mijn bezwaar tegen de gewraakte definitie is dus dat het niet duidelijk is hoe je van een verzameling componenten ten opzichte van zeker coördinatenstelsel kunt vaststellen hoe de componenten transformeren indien bekeken in een ander coördinatenstelsel als je niet weet wat het onderliggende object (dus de eigenlijke tensor) is waarvan die componenten de componenten ten opzichte van een coördinatenstelsel zijn.

[flappelap]

Snap je de coördinaatonafhankelijke definitie van een tensor?

[Professor Puntje]

Ja - die coördinaatonafhankelijke definitie begrijp ik wel. Ik begrijp ook de onderstaande definitie die op Wikipedia te vinden is:

Nu nog een boek waarin op een wiskundig verantwoorde wijze met bovenstaande definitie gewerkt wordt....

Overigens heb ik al wel gemerkt dat ik mijn kennis van de lineaire algebra en matrixrekening nodig moet opfrissen om Zee goed te kunnen volgen.

[Professor Puntje]

Nu nog een boek waarin op een wiskundig verantwoorde wijze met bovenstaande definitie gewerkt wordt....

Ik heb mijn collectie boeken over tensoren nog eens doorgebladerd en het probleem is niet dat er nog meer boeken bij moeten, maar dat ik mij de rekenwijze met tensoren eigen moet maken. Alle benodigde puzzelstukjes van de theorie kan ik inmiddels wel ergens in mijn boeken naslaan. Maar het ontbreekt mij gewoon aan de parate kennis om soepel met tensoren te opereren. En die vaardigheid kan ik enkel verwerven door veel te oefenen.

Juist - dat wordt nog een enorme klus!

[flappelap]

Ja - die coördinaatonafhankelijke definitie begrijp ik wel. Ik begrijp ook de onderstaande definitie die op Wikipedia te vinden is:

definitie.png

Nu nog een boek waarin op een wiskundig verantwoorde wijze met bovenstaande definitie gewerkt wordt....

Overigens heb ik al wel gemerkt dat ik mijn kennis van de lineaire algebra en matrixrekening nodig moet opfrissen om Zee goed te kunnen volgen.

Waarom wil je dat? De lineaire transformatiewijze van de componenten volgt rechtstreeks uit de coördinaatonafhankelijke definitie van een tensor. En uiteindelijk wil je in toepassingen toch coördinaten kiezen? Waarom zou je dan telkens alles vanuit die coördinaatonafhankelijke definitie willen doen?

Ik snap het niet. En ja, 'tensor calculus' is een kwestie van oefenen.

[flappelap]

Trouwens, dat boek van Zee bevat allerlei opgaven over hoe je tensor componenten uitrekent. Daar hoef je niet nog weer es andere literatuur bij te slepen.

[Professor Puntje]

Trouwens, dat boek van Zee bevat allerlei opgaven over hoe je tensor componenten uitrekent. Daar hoef je niet nog weer es andere literatuur bij te slepen.

Inderdaad, ik was weer eens eigenwijs en probeerde het boek te lezen zonder de opgaven te maken. Dat wordt dus alsnog die opgaven maken...

[Professor Puntje]

Zo de eerste opgaven zijn gelukt. Zijn er nog andere gebruikers op dit forum die dit avontuur ook aan willen gaan?

[flappelap]

Welke opgaven heb je precies gemaakt?

[Professor Puntje]

Ik ben (voor straf ) met de opgaven gewoon terug naar af gegaan, en ben met de eerste opgaven uit het boek begonnen. Ik ben nu bij de opgave op bladzijde 37 aangekomen, wat iets meer denkwerk gaat kosten.

[flappelap]

Ik ben (voor straf ) met de opgaven gewoon terug naar af gegaan, en ben met de eerste opgaven uit het boek begonnen. Ik ben nu bij de opgave op bladzijde 37 aangekomen, wat iets meer denkwerk gaat kosten.

Ah ja. Translatiesymmetrie impliceert behoud van impuls. Eigenlijk Noethers theorema met de bewegingsvergelijkingen ipv de actie