Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

[Professor Puntje]

Hier komt die dan (bladzijde 37, opgave 1):

Let N particles interact according to:

\( \mbox{m}_a \frac{\mathrm{d}^2 x^i_a}{\mathrm{d} t^2} = - \frac{\partial \mbox{V}(x)}{\partial \, x^i_a} \)

with a = 1, ..., N. Suppose V(x₁, ... ,x_N) depends only on the differences xⁱ_a - xⁱ_b , with a,b = 1, ... , N. Show that the total momentum \( \sum_a \mathrm{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \) is conserved.


OPLOSSING

\( \mbox{m}_a \frac{\mathrm{d}^2 x^i_a}{\mathrm{d} t^2} = - \frac{\partial \mbox{V}(x)}{\partial \, x^i_a} \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = - \frac{\partial \mbox{V}(x)}{\partial \, x^i_a} \)

\( \sum_a \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = \sum_a - \frac{\partial \mbox{V}(x)}{\partial \, x^i_a} \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum_a \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = \sum_a - \frac{\partial \mbox{V}(x)}{\partial \, x^i_a} \)

Laten we nu het rechter lid A noemen, dan is er voor iedere i een functie f zodat:

\( \mathrm{A}(x) = \sum_a - \frac{\partial \mbox{V}(x)}{\partial \, x^i_a} \)

\( \mathrm{A}(x) = \sum_a - \frac{\partial \mbox{f}(x^i_1 - x^i_1 , x^i_1 - x^i_2 , ... , x^i_1 - x^i_N \, ; \, x^i_2 - x^i_1 , x^i_2 - x^i_2 , ... , x^i_2 - x^i_N \, ; \, ... \, ; \, x^i_N - x^i_1 , x^i_N - x^i_2 ,... , x^i_N - x^i_N)}{\partial \, x^i_a} \)

Het ziet er naar uit dat er dan een compenserend effect gaat optreden in die zin dat een verandering in xⁱ_a evenveel en vaak in de ene als in de andere richting uitwerkt, maar ik weet niet hoe dat te noteren. En met de multidimensionale kettingregels raak ik ook vaak in de war.

(Ik heb de oplossing in het boek nog niet bekeken, misschien heeft iemand een tip...?)

[flappelap]

Ik zou eerst es het geval voor 2 deeltjes bekijken. De afgeleide van de totale impuls geeft je dan twee termen, die je kunt schrijven als twee gradienten van V.

Dan gebruik je dat als V=V(x-y), de afgeleide van V naar x wegens de kettingregel gelijk is aan minus de afgeleide van V naar y.

Generaliseer daarna, eventueel met volledige inductie.

[Professor Puntje]

OK - twee deeltjes:

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = \sum\limits_{a=1}^2 - \frac{\partial \mbox{V}(x)}{\partial \, x^i_a} \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = - \frac{\partial \mbox{V}(x_1^1, x_1^2, x_1^3)}{\partial \, x^i_1} \,\, + \,\, - \frac{\partial \mbox{V}(x_2^1, x_2^2, x_2^3)}{\partial \, x^i_2} \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = F_1^i + F_2^i \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = 0 \,\,\,\,\,\,\,\, \mbox{(Derde wet van Isaac N.)} \)

Mag het zo ook?

[flappelap]

Dan gebruik je geen translatiesymmetrie. Volgens mij is Newtons derde wet juist een gevolg daarvan. Ik.zou in je tweede regel de kettingregel gebruiken en de translatiesymmetrie. Dan leid je impulsbehoud direct af.

Bovendien, in veldentheorie geldt Newtons 3e wet niet meer

[Professor Puntje]

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = - \frac{\partial \mbox{V}(x_1^1, x_1^2, x_1^3)}{\partial \, x^i_1} \,\, + \,\, - \frac{\partial \mbox{V}(x_2^1, x_2^2, x_2^3)}{\partial \, x^i_2} \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = - \frac{\partial \mbox{f}(x_1^1 - x^1_2 \, , \, x_1^2 - x^2_2 \, , \, x_1^3 - x^3_2)}{\partial \, x^i_1} \,\, + \,\, - \frac{\partial \mbox{f}(x_2^1 - x_1^1 \, , \, x_2^2 - x_1^2 \, , \, x_2^3 - x_1^3)}{\partial \, x^i_2} \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = - \frac{\partial \mbox{f}(x_1^1 - x^1_2 \, , \, x_1^2 - x^2_2 \, , \, x_1^3 - x^3_2)}{\partial \, (x^i_1 - x^i_2)} \,\, + \,\, - \frac{\partial \mbox{f}(x_2^1 - x_1^1 \, , \, x_2^2 - x_1^2 \, , \, x_2^3 - x_1^3)}{\partial \, ( x^i_2 - x^i_1)} \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = - \frac{\partial \mbox{f}(y^1 \, , \, y^2 \, , \, y^3)}{\partial \, y^i} \,\, + \,\, - \frac{\partial \mbox{f}(-y^1 \, , \, -y^2 \, , \, -y^3)}{\partial \, (-y^i)} \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum\limits_{a=1}^2 \left (\mbox{m}_a \frac{\mathrm{d} x^i_a}{\mathrm{d} t} \right ) = - [\partial_i \mbox{f}](y^1 \, , \, y^2 \, , \, y^3) \,\, + \,\, - [\partial_i \mbox{f}](-y^1 \, , \, -y^2 \, , \, -y^3) \)

Dan hoeft er alleen nog bewezen te worden dat de twee termen van het rechter lid tegengesteld zijn. Maar ik ga nu naar bed!

[Professor Puntje]

Ik kom er niet uit, en bij het ten einde raad bekijken van de uitkomsten achter in het boek zie ik tot mijn schrik dat ik een heleboel eerdere opgaven heb overgeslagen. Nog maar een stapje terug dus, en eerst die tussenliggende opgaven maken...

[flappelap]

Ik zou het zelf zo doen, allereerst voor 2 deeltjes a en b met positiecoördinaten x en y. De totale impuls is gelijk aan

\( p_{tot} = m_a \frac{dx}{dt} + m_b \frac{dy}{dt} \)

De tijdsafgeleide van deze totale impuls is

\( \frac{dp_{tot}}{dt} = m_a \frac{d^2 x}{dt^2} + m_b \frac{d^2 y}{dt^2} \)

Volgens de bewegingsvergelijkingen is dit gelijk aan

\( \frac{p_{tot}}{dt} = - \partial_x V - \partial_y V \)

Maar omdat

\( V(x,y)=V(x-y)\)

geldt volgens de kettingregel

\( \partial_x V = - \partial_y V \)

(Neem bijvoorbeeld als substitutie u=x-y) En dus

\( \frac{dp_{tot}}{dt} = - \partial_x V + \partial_x V = 0 \)

Otewel: de totale impuls is behouden in de tijd.

Dit kun je vervolgens generaliseren naar N deeltjes.

[Professor Puntje]

Die x en y zijn dus eigenlijk de plaatsvectoren van de deeltjes a en b?

[Professor Puntje]

Een ander punt waar ik mee zat is dat we als argument van V( ) niet voor deeltjes a en b hetzelfde mogen nemen (of wel?).

[flappelap]

Die x en y zijn dus eigenlijk de plaatsvectoren van de deeltjes a en b?

Ja.

En inderdaad, we mogen de deeltjes niet in exact hetzelfde punt leggen als we singulariteiten willen voorkomen.

[Professor Puntje]

\( \frac{d p_{tot}}{dt} = - \partial_x V - \partial_y V \)

Goed dan zijn we tot hierboven gekomen. Is dat ook een vectorvergelijking en zijn dat gradiënten?

[Professor Puntje]

Ik probeer je afleiding in voor mij bevattelijke eenvoudiger termen om te zetten. Is dit eerste stukje correct?


Voor twee deeltjes a en b met massa's m_a en m_b en plaatsvectoren \( \vec{x}_a \) en \( \vec{x}_b \) is de totale impuls \( \vec{p} \) gelijk aan:

\( \vec{p} = \mathrm{m}_a \frac{\mathrm{d} \vec{x}_a}{\mathrm{d} t} + \mathrm{m}_b \frac{\mathrm{d} \vec{y}_b}{\mathrm{d} t} \)

De tijdsafgeleide van deze totale impuls is:

\( \frac{ \mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t} = \mathrm{m}_a \frac{\mathrm{d}^2 \vec{x}_a}{\mathrm{d} t^2} + \mathrm{m}_b \frac{\mathrm{d}^2 \vec{y}_b}{\mathrm{d} t^2} \)

Nu beweegt a onder invloed van het door b verwekte potentiaalveld \( V_b(\vec{x}) \) en beweegt b onder invloed van het door a verwekte potentiaalveld \( V_a(\vec{x}) \).

Volgens de bewegingsvergelijkingen krijgen we dan:

\( \frac{ \mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t} = - [\nabla V_b](\vec{x}_a) - [\nabla V_a](\vec{x}_b) \)

\(\)

Maar omdat de potentiaalvelden enkel een functie zijn van het verschil tussen de plaatsvectoren van de deeltjes is er een functie f zodat:

\( V_a(\vec{x}) = \mathrm{f}(\vec{x} - \vec{x}_a) \)

\(\)

\( V_b(\vec{x}) = \mathrm{f}(\vec{x} - \vec{x}_b) \)

\(\)

[flappelap]

Die laatste 2 stappen volg ik niet.

Noem x-y=u. Dan hebben we blijkbaar V=V(u). Schrijf nu met de kettingregel de afgeleide van V naar x eens op in termen van de afgeleide van V naar u, en dito naar y. Dan zie je dat die twee tegenovergesteld zijn. (du/dx=1 maar du/dy=-1)

[flappelap]

Oftewel expliciet: als

\( V = V(x-y) = V(u) \)

dan

\( \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial u} = \frac{\partial V}{\partial u} \)

en

\( \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial V}{\partial u} = - \frac{\partial V}{\partial u}\)

Je ziet zo heel mooi overigens hoe Newtons derde wet vanuit impulsbehoud volgt

[Professor Puntje]

Dank! Maar het probleem waar ik nog mee worstel is dat je in mijn optiek met twee potentiaalvelden V_a en V_b te maken hebt...