integraal deltafunctie

[Professor Puntje]

Dirac-function 2057 keer bekeken

By Oleg Alexandrov - self-made with MATLAB, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3379134


Zie het plaatje hierboven. Elk van die functies is een keurig nette functie die je kunt integreren en differentiëren. Vorm nu een oneindige rij van die functies met steeds steilere exemplaren. Integralen en andere uitdrukkingen waarin de deltafunctie voorkomt kun je dan doorrekenen door de deltafunctie door een steeds steiler exemplaar uit de boven genoemde rij te vervangen. Als je uitkomsten bij toepassing van die steeds steilere exemplaren ergens naar naderen dan beschouw je die limiet-uitkomst (per definitie) als de uitkomst van de beschouwde uitdrukking met de deltafunctie.

Natuurlijk moet dit allemaal veel netter gedefinieerd worden om er een fatsoenlijk wiskundige theorie van te maken, maar het basisidee heb ik hierboven wel beschreven. (Er zijn overigens ook nog andere modellen van de deltafunctie mogelijk.)

[Professor Puntje]

Even een opzetje voor een nadere onderbouwing. Is dit te volgen?

\(\)

\( \frac{ \mathrm{d} \arctan(x)}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{1 + x^ 2} \)

\(\)

\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^ 2} \, \mathrm{d} x = [ \arctan(x)]_{- \infty}^{\infty} \)

\(\)

\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^ 2} \, \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2} - \frac{- \pi}{2} \)

\(\)

\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^ 2} \, \mathrm{d} x = \pi \)

\(\)

\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\pi (1 + x^ 2)} \, \mathrm{d} x = 1 \)

\(\)

\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\epsilon^2}{\pi (\epsilon^ 2 + (\epsilon x)^2)} \, \mathrm{d} x = 1 \,\,\,\,\, (\epsilon > 0) \)

\(\)

\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\epsilon}{\pi (\epsilon^ 2 + (\epsilon x)^2)} \, \mathrm{d} (\epsilon x) = 1 \)

\(\)

\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\epsilon}{\pi (\epsilon^ 2 + x^2)} \, \mathrm{d} x = 1 \)

\(\)

[FFish]

De limiet voor epsilon naar 0 noem je dan 1 mogelijke voorstelling?

Edit:
net als die van templier in de limiet ook een mogelijke voorstelling is?

[Professor Puntje]

Wat je dan kunt doen is ε = 1/n stellen en dan heb je bij:

\(\)

\( \eta_{n} (x) = \frac{1/n}{\pi ((1/n)^2 + x^2)} \)

\(\)

de oneindige rij functies:

\(\)

\( \eta_1, \eta_2, \eta_3, ... \)

\(\)

Het heeft geen zin daar direct de limiet voor \( n \rightarrow \infty \) van te nemen, want dan krijg je weer de niet bestaande deltafunctie. Wat wel zin heeft is dat je in uitdrukkingen waarin het deltafunctie-symbool voorkomt dat vervangt door \( \eta_n (x) \) en dan bekijkt of die hele uitdrukking ergens naar nadert wanneer je n naar oneindig laat naderen.

[Professor Puntje]

Aangezien de eerder vermelde integraal voor alle positieve ε en dus ook voor alle n gelijk aan 1 is hebben we automatisch dat:

\(\)

\( \int_{- \infty}^{\infty} \delta(x) \, \mathrm{d} x = 1 \)

Zie je nu ook hoe we de onderstaande regel kunnen bewijzen?

\(\)

\( \int_{- \infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \, \mathrm{d} x = f(0) \)

[FFish]

Aangezien de eerder vermelde integraal voor alle positieve ε en dus ook voor alle n gelijk aan 1 is hebben we automatisch dat:

\(\)

\( \int_{- \infty}^{\infty} \delta(x) \, \mathrm{d} x = 1 \)

Zie je nu ook hoe we de onderstaande regel kunnen bewijzen?

\(\)

\( \int_{- \infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \, \mathrm{d} x = f(0) \)

Ik voel het wel aan omdat je dirac delta de functie waarde op x=0 veel zwaarder laat door wegen.
echt bewijzen nee.

(Is het juist dat f door het gewicht van de dirac delta een scalair wordt?)

[Professor Puntje]

Een rigoureus bewijs is voor praktische toepassingen ook niet nodig. Maar bedenk wel dat de Dirac deltafunctie niet bestaat. Wiskundig gesproken moet je een uitdrukking waarin dat symbool voorkomt steeds omzetten in iets dat wel bestaat. En als je mijn geschetste methode gebruikt betekent dat dat je \( \delta(x) \) moet vervangen door \( \eta_{n} (x) \). Naarmate je n groter kiest wordt voor de uitkomst van de integraal het gedrag van f(x) voor waarden van x die ver van 0 liggen dan steeds minder belangrijk. Als je n heel groot kiest is er nog maar een heel klein gebiedje rond de oorsprong op de x-as relevant en zal je kunnen afschatten tussen welke waarden f(x) voor x-waarden uit dat gebiedje ligt. Dat zullen dan waarden zijn die nauwelijks nog van f(0) verschillen, en zo kan je inzien dat de beschouwde integraal voor \( n \rightarrow \infty \) naar f(0) moet naderen. Symbolisch wordt dat dan weer met de Dirac deltafunctie genoteerd.

Ik heb het formele bewijs overigens zelf ook niet uitgevoerd.

[FFish]

ok bedankt

[Professor Puntje]

Terugkomend op je openingsvraag hebben we nu:

\(\)

\( \int_0^0 \delta(x) \, \mathrm{d} x = 0 \)

\(\)

\( \int_0^{0^+} \delta(x) \, \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \)

\(\)

\( \int_{0^-}^0 \delta(x) \, \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \)

\(\)

\( \int_{0^-}^{0^+} \delta(x) \, \mathrm{d} x = 1 \)

\(\)

\( \int_0^{\infty} \delta(x) \, \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \)

\(\)

\( \int_{- \infty}^0 \delta(x) \, \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \)

\(\)

\( \int_{- \infty}^{\infty} \delta(x) \, \mathrm{d} x = 1 \)

\(\)

(Voor andere theorieën voor de deltafunctie kan dat eventueel anders zijn.)

[Professor Puntje]

Voor wie een grondiger uitleg wil zie:

https://books.google.nl/books?id=QC-Nqn ... &q&f=false

[FFish]

Ik ga nog even verder op dit topic.
Stel ik wil de laplace getransformeerde van een dirac delta vermenigvuldigd met een heavyside.

\({\mathcal {L}} \{heavyside(t) \cdot \delta (t)\}\)

De laplace van de dirac delta alleen is gelijk aan 1.
maar is de uitdrukking hierboven ook 1?

[Professor Puntje]

Welke definitie van de Laplace transformatie gebruik je?
Welke definitie van de Heaviside functie gebruik je?
Welke definitie van de Dirac delta functie gebruik je?

Veel leerboeken zijn daar heel vaag over, en dan krijg je dus zulke twijfelgevallen als je hier aanstipt.