Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

[flappelap]

Stel we hebben de collectie mathematische entiteiten: \( T^{1 1} = 4 \) , \( T^{1 2} = 6 \) , \( T^{2 1} = -2 \) , \( T^{2 2} = 0 \) . Vormt dit nu een tensor? Om dit te kunnen beoordelen moeten we volgens Zee nagaan hoe deze collectie \( T^{i j} \) onder rotaties in R² transformeert. Maar hoe roteer je een collectie \( T^{i j} \) van vier reële getallen in R²? Daar is niets over gegeven! Je zou natuurlijk kunnen afspreken dat zo'n rotatie volgens de tensortransformatieregel gebeurt, maar dan is aan de voorwaarde om een tensor te zijn voor een collectie reële getallen \( T^{i j} \) met i , j lopend van 1 t/m D natuurlijk per definitie voldaan. Iedere collectie reële getallen \( T^{i j} \) met i , j lopend van 1 t/m D is dan een tensor! Het tensorbegrip wordt dan een loze kreet.

Natuurlijk vormt een setje getallen niet automatisch een tensor. Dat is dan ook niet wat Zee beweert.

Zee definiëert een tensor aan de hand van de transformatie-eigenschappen (die dus rechtstreeks volgen uit de formele definitie van een tensor als multilineaire afbeelding). Je krijgt pas numerieke waarden voor de componenten wanneer je een basis kiest. Wanneer je vervolgens een andere basis kiest middels een rotatie van de oorspronkelijke basis, kun je vervolgens ook je nieuwe componenten uitrekenen.

[Professor Puntje]

Goed - ik heb al andere boeken waar de formele definities in staan dus ik zal nu proberen Zee's boek te beschouwen als een praktische inleiding tot het rekenwerk dat met de ART gemoeid is. Dat is ook belangrijk, dus de moeite waard.

[flappelap]

Om een bekende tensor te illustreren: de versnelling van een deeltje als 3-vector. Uit de definitie als 2e tijdsafgeleide van het pad x(t) kun je afleiden hoe de versnelling transformeert onder b.v. rotaties. Daaruit volgt dat de versnelling een 3-vector is onder rotaties. Dito voor de gehele Galilei-groep.

Maar onder tijdsafhankelijke rotaties of translaties is deze versnelling geen 3-vector meer: onder deze transformaties krijg je extra termen. Natuurkundigen noemen dit "schijnkrachten".

Deze benadering heeft helemaal geen formele tensordefinitie nodig.

[Professor Puntje]

Zoiets heb ik (toen nog onder de naam Bartjes) hier op het Wetenschapsforum al eens afgeleid in verband met een discussie over een sprong op de draaiende aarde:

Hier dan een afleiding van de schijnkrachten in een eenparig roterend assenstelsel:

We gaan uit van twee assenstelsels: namelijk het xyz-stelsel en het x'y'z'-stelsel. De z-as en de z'-as vallen samen. Het xyz-stelsel wordt beschouwd als inertiaalstelsel. Het x'y'z'-stelsel roteert ten opzichte van het xyz-stelsel. De Wetten van Newton gelden dus in het xyz-stelsel. We kunnen plaatsveranderingen bij toepassing van de Wetten van Newton dus zonder problemen uitdrukken in de coördinaten van dit xyz-stelsel. (Voor het x'y'z'-stelsel geeft dat problemen, die echter door de invoering van schijnkrachten kunnen worden opgelost.)

Vooraanzicht.JPG

Een situatieschets van de samenhang van de twee assenstelsels vind je in het "Vooraanzicht". Voor het rekenen in het xyz-stelsel is het ook handig gebruik te maken van de eenheidsvectoren voor de x-as, de y-as en de z-as die we zullen noteren als respectievelijk:

\( \overrightarrow{e_x} \)

,

\( \overrightarrow{e_y} \)

en

\( \overrightarrow{e_z} \)

. Zodat:

\(\overrightarrow{OP} = x . \overrightarrow{e_x} + y . \overrightarrow{e_y} + z . \overrightarrow{e_z} \)

.

Voor het x'y'z'-stelsel zijn de eenheidsvectoren voor de x'-as, de y'-as en z'-as dan

\( \overrightarrow{e_{ x'}} \)

,

\( \overrightarrow{e_{y'}}\)

en

\( \overrightarrow{e_{z'}} \)

. Hier geldt op dezelfde wijze:

\(\overrightarrow{OP} = x' . \overrightarrow{e_{x'}} + y' . \overrightarrow{e_{ y'}} + z' . \overrightarrow{e_{ z'}} \)

.

De eenheidsvectoren staan getekend in het schetsje "Verdraaide eenheidsvectoren".

[attachment=5383:Verdraai...vectoren.JPG]

Voor het gemak bekijken we alle veranderingen ten opzichte van het inertiale xyz-stelsel. De afgeleiden naar de tijd van de eenheidsvectoren

\( \overrightarrow{e_x} \)

,

\( \overrightarrow{e_y} \)

en

\( \overrightarrow{e_z} \)

zijn dan

\( \scriptstyle \overrightarrow{0} \)

.

Als P een massapunt met massa m is waarop een kracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F} \)

werkt, moet dan gelden:

\( \overrightarrow{F} = m . \frac{d^2 \overrightarrow{OP}}{dt^2} \)

.

Uitschrijven geeft:

\( \overrightarrow{F} = m . \frac{d^2 (x . \overrightarrow{e_x} + y . \overrightarrow{e_y} + z . \overrightarrow{e_z} )}{dt^2} \)

,

\( \overrightarrow{F} = m . \frac{d^2 x}{dt^2} \, . \, \overrightarrow{e_x} + m . \frac{d^2 y}{dt^2} \, . \, \overrightarrow{e_y} + m . \frac{d^2 z}{dt^2} \, . \, \overrightarrow{e_z} \)

.

Nu kunnen we

\( \scriptstyle \overrightarrow{F} \)

ontbinden in componenten langs de x-as, de y-as en de z-as. Aldus:

\( \overrightarrow{F} = F_x \, . \, \overrightarrow{e_x} + F_y \, . \, \overrightarrow{e_y} + F_z \, . \, \overrightarrow{e_z} \)

.

Oftewel:

\( F_x = m . \frac{d^2 x}{dt^2} \)

,

\( F_y = m . \frac{d^2 y}{dt^2} \)

,

\( F_z = m . \frac{d^2 z}{dt^2} \)

.

Dit is allemaal keurig zoals het hoort.

We nemen aan dat het x'y'z'-stelsel eenparig ten opzichte van het xyz-stelsel roteert. In het bijzonder stellen we:

\( \varphi = \omega . t \)

.

Dan gaat de bovenstaande fraaie afleiding voor het x'y'z'-stelsel niet meer op omdat de eenheidsvectoren

\( \overrightarrow{e_{ x'}} \)

en

\( \overrightarrow{e_{y'}} \)

ronddraaien.

Bovenaanzicht.JPG

Uit het "Bovenaanzicht" zien we dat:

\( \overrightarrow{e_{x'}} = \cos \varphi \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, \sin \varphi \, . \overrightarrow{e_y} \)

,

\( \overrightarrow{e_{y'}} = -\sin \varphi \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, \cos \varphi \, . \overrightarrow{e_y} \)

.

Zodat:

\( \frac {d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} = \frac{d \cos \varphi}{dt} \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, \frac{d \sin \varphi}{dt} \, . \overrightarrow{e_y} \)

,

\( \frac {d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} = (- \sin \varphi ) \, . \, \omega \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, (\cos \varphi ) \, . \omega \, . \overrightarrow{e_y} \)

,

\( \frac {d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} = \omega \, . (- \sin \varphi \, . \, \overrightarrow{e_x} \, + \, \cos \varphi \, . \, \overrightarrow{e_y}) \)

,

\( \frac {d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} = \omega \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \)

.

\( \frac {d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} = \frac{d (- \sin \varphi)}{dt} \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, \frac{d \cos \varphi}{dt} \, . \overrightarrow{e_y} \)

,

\( \frac {d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} = (- \cos \varphi ) \, . \, \omega \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, (-\sin \varphi ) \, . \omega \, . \overrightarrow{e_y} \)

,

\( \frac {d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} = - \omega \, . ( \cos \varphi \, . \, \overrightarrow{e_x} \, + \, \sin \varphi \, . \, \overrightarrow{e_y}) \)

,

\( \frac {d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} = - \omega \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \)

.

Voor de versnelling

\(\overrightarrow{a}\)

van P uitgedrukt in de eenheidsvectoren van het x'y'z'-stelsel vinden we:

\( \overrightarrow{a} = \frac{d^2 \overrightarrow{OP}}{dt^2} \)

,

\( \overrightarrow{a} = \frac{d^2 (x' . \overrightarrow{e_{x'}} + y' . \overrightarrow{e_{y'}} + z' . \overrightarrow{e_{z'}} )}{dt^2} \)

,

\( \overrightarrow{a} = \frac{d^2 (x' . \overrightarrow{e_{x'}})}{dt^2} + \frac{d^2 (y' . \overrightarrow{e_{y'}})}{dt^2} + \frac{d^2 (z' . \overrightarrow{e_{z'}})}{dt^2} \)

,

\( \overrightarrow{a} = \frac{d}{dt} \left \{\frac{d (x' . \overrightarrow{e_{x'}})}{dt} \right \} + \frac{d}{dt} \left \{ \frac{d (y' . \overrightarrow{e_{y'}})}{dt} \right \} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)

,

\( \overrightarrow{a} = \frac{d}{dt} \left \{\frac{d x'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + x'. \frac{d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} \right \} + \frac{d}{dt} \left \{\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} + y'. \frac{d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} \right \} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)

,

\( \overrightarrow{a} = \frac{d}{dt} \left \{\frac{d x'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + x' \, . \, \omega \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right \} + \frac{d}{dt} \left \{\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} + y'. (- \omega ) \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \right \} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)

,

\( \overrightarrow{a}= \left (\frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d x'}{dt} . \frac{d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} + \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + \omega \, . \, x' \, . \, \frac{d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} \right ) + \left (\frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d y'}{dt} . \frac{d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} + ( - \omega ) \, . \, \frac {dy'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega ) \, . \, y' \, . \, \frac{d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} \right ) + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)

,

\( \overrightarrow{a} = \left (\frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d x'}{dt} \, . \, \omega \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + (- \omega^2 ) \, . \, x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \right ) + \left (\frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + (- \omega ) \, . \frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega ) \, . \, \frac {dy'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega^2 ) \, . \, y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right ) + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)

,

\( \overrightarrow{a}= \left (\frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + 2 \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + (- \omega^2 ) \, . \, x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \right ) + \left (\frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + (- 2 \omega ) \, . \frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega^2 ) \, . \, y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right ) + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)

,

\( \overrightarrow{a}= \left (2 \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + (- \omega^2 ) \, . \, x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + (- 2 \omega ) \, . \frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega^2 ) \, . \, y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right ) + \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

,

\( \overrightarrow{a} = \left (2 \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + (- 2 \omega ) \, . \frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + (- \omega^2 ) \, . \, x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega^2 ) \, . \, y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right ) + \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

,

\( \overrightarrow{a}= 2 \omega \, . \, \left (\frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} -\frac{d y'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \right ) + (- \omega^2 ) \, . \, ( x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} ) + \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

.

Hier treden dus twee termen met de dimensie van een versnelling op die we in het geval van het xyz-stelsel niet tegen kwamen. Dit zijn de zogeheten Coriolisversnelling

\(\overrightarrow {a_C} \)

en de middelpuntvliedende versnelling

\(\overrightarrow {a_m} \)

. We schrijven:

\(\overrightarrow {a_C} = -2 \omega \, . \, \left (\frac {dx'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} -\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} \right ) \)

,

\(\overrightarrow {a_m} = \omega^2 \, . \, ( x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} ) \)

.

Zodat:

\( \overrightarrow{a} = - \overrightarrow {a_C} - \overrightarrow {a_m} + \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

,

\( \overrightarrow{a} + \overrightarrow {a_C} + \overrightarrow {a_m} = \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

,

\( m . \overrightarrow{a} + m . \overrightarrow {a_C} + m . \overrightarrow {a_m} = m . \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

.

Door de Coriolisversnelling en de middelpuntvliedende versnelling naar de linker kant van de vergelijking te brengen en alle termen met de massa m te vermenigvuldigen wordt het mogelijk deze extra versnellingen als corresponderend met extra (schijn)krachten te herinterpreteren. Dit is de wiskundige truc waarop het gebruik van schijnkrachten gebaseerd is. De eerste term is gewoon de kracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F}\)

op het massapunt P en de tweede en de derde term zijn grootheden die ook de dimensie van een kracht hebben. We zullen voor deze tweede en derde term

\( \scriptstyle \overrightarrow{F_C}\)

en

\( \scriptstyle \overrightarrow{F_m}\)

schrijven. De schijnkracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F_C}\)

wordt de Corioliskracht genoemd en de schijnkracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F_m}\)

de middelpuntvliedende kracht. Omdat deze "krachten" slechts wiskundige hulpmiddelen zijn en niet met een fysische wisselwerking corresponderen, doen we er goed aan ze consequent als schijnkrachten te betitelen. We hebben dus:

\(\overrightarrow {F_C} = m \, . \overrightarrow{a_C} \)

,

\(\overrightarrow {F_C} = m \, . \, ( - 2 \omega ) \, . \left (\frac {dx'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} -\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} \right ) \)

,

\(\overrightarrow {F_C} = - 2 m \, \omega \, \left (\frac {dx'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} -\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} \right ) \)

.

\(\overrightarrow {F_m} = m \, . \overrightarrow{a_m} \)

,

\(\overrightarrow {F_m} = m \, . \, \omega^2 . ( x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} ) \)

.

Zodat:

\( \overrightarrow{F} + \overrightarrow {F_C} + \overrightarrow {F_m} = m . \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

.

Als we de som van de werkelijke kracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F}\)

en de twee schijnkrachten

\( \scriptstyle \overrightarrow{F_C}\)

en

\( \scriptstyle \overrightarrow{F_m}\)

als

\( \scriptstyle \overrightarrow{F'}\)

aanduiden, komt er dus:

\( \overrightarrow{F'} = m . \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

.

Deze kracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F'}\)

kan weer ontbonden worden in componenten langs de x'-as, de y'-as en de z'-as. Oftewel:

\( F'_{x'} . \overrightarrow{e_{x'}} + F'_{y'} . \overrightarrow{e_{y'}} + F'_{z'} . \overrightarrow{e_{z'}} = m . \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)

.

Dit leidt tenslotte tot:

\( F'_{x'} = m . \frac{d^2 x'}{dt^2} \)

,

\( F'_{y'} = m . \frac{d^2 y'}{dt^2} \)

,

\( F'_{z'} = m . \frac{d^2 z'}{dt^2} \)

.

We kunnen de bewegingen van het massapunt P uitgedrukt in de coördinaten van het roterende x'y'z'-stelsel dus uitrekenen alsof we met een inertiaalstelsel te doen hadden. Hiertoe moeten we de werkelijke kracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F}\)

op het massapunt P vervangen door de "somkracht"

\( \scriptstyle \overrightarrow{F'}\)

bestaande uit de vectoriële som van de werkelijke kracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F}\)

, de Corioliskracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F_C}\)

en de middelpuntvliedende kracht

\( \scriptstyle \overrightarrow{F_m}\)

.

Nu nog even de springende persoon in het aardse draaiende referentiestelsel uitrekenen. :eusa_whistle:

(Helaas is het niet langer mogelijk naar de betreffende post te linken. )

[Professor Puntje]

Even wat stampwerk:

We onderscheiden contravariante en covariante vectoren:

Contravariante vectoren. Contravariante vectoren noteren we (ideaal gesproken) als kolomvectoren, en in de notatie van hun componenten gebruiken hoog geplaatste indices. (Ezelsbruggetje: contravariant dus dwarsliggers, dus tupels worden op hun kant gezet en indices worden hoog geplaatst i.p.v. laag). De componenten van een contravariante vector contravariëren met een verandering van basis.

Covariante vectoren. Covariante vectoren noteren we als rijvectoren, en in de notatie van hun componenten gebruiken de normale laag geplaatste indices. De componenten van een covector covariëren met een verandering van basis.

Om de betekenis van dat contra- en co-variëren van de componenten goed onder de knie te krijgen ga ik dat zelf in een volgend berichtje nog eens narekenen.

[flappelap]

Zoiets heb ik (toen nog onder de naam Bartjes) hier op het Wetenschapsforum al eens afgeleid in verband met een discussie over een sprong op de draaiende aarde:

(Helaas is het niet langer mogelijk naar de betreffende post te linken. )

Zul jij blij zijn als je straks tensornotatie kunt begrijpen Dan leid je dit in een paar regels af

[flappelap]

Even wat stampwerk:

We onderscheiden contravariante en covariante vectoren:

Contravariante vectoren. Contravariante vectoren noteren we (ideaal gesproken) als kolomvectoren, en in de notatie van hun componenten gebruiken hoog geplaatste indices. (Ezelsbruggetje: contravariant dus dwarsliggers, dus tupels worden op hun kant gezet en indices worden hoog geplaatst i.p.v. laag). De componenten van een contravariante vector contravariëren met een verandering van basis.

Covariante vectoren. Covariante vectoren noteren we als rijvectoren, en in de notatie van hun componenten gebruiken de normale laag geplaatste indices. De componenten van een covector covariëren met een verandering van basis.

Om de betekenis van dat contra- en co-variëren van de componenten goed onder de knie te krijgen ga ik dat zelf in een volgend berichtje nog eens narekenen.

Hier zie je ook een aardig onderscheid tussen wis- en natuurkundigen; ik ken weinig wiskundige teksten die spreken over "contra" en "covariante vectoren". De naam is afgeleid van de manier waarop de componenten (!) transformeren ten opzichte van een gebruikelijke basistransformatie uit de lineaire algebra.

Wiskundigen zullen voor "covariante vectoren" eerder over "duale vectoren" spreken, afbeeldingen van raakruimtes naar de reële rechte. (En andersom, contravariante vectoren zijn afbeeldingen van duale raakruimtes naar de reële rechte).

Probeer ook eens te bedenken of je die formele tensordefinities nou echt nodig hebt om die schijnkrachten af te leiden uit Newtons tweede wet. Uiteindelijk pas je gewoon regels voor differentiëren, matrixvermenigvuldiging en wat eigenschappen van rotatiematrices toe om die Coriolis- en centrifugaalkracht te krijgen. Dat daar een formeel stuk wiskunde achter steekt is leuk, maar als je wilt begrijpen hoe b.v. de baan van een kogel afwijkt vanwege de rotatie van de aarde heb je er in mijn ogen weinig aan.

[flappelap]

Misschien ten overvloede, maar ik herken wel wat in je wil om alles formeel te willen dichttimmeren. Ik heb die neiging ook ooit gehad, en uiteindelijk is dat redelijk gelukt, maar ik heb zelf gemerkt dat mijn natuurkundig begrip er niet echt beter van werd. Ik heb tijdens mijn promotie ook iets te vaak meegemaakt dat collega's hele lijnen formele wiskunde konden oplepelen, maar dat concrete toepassingen ervan niet werden begrepen. Een aardig voorbeeldje hiervan zijn zogenaamde Chevalley-Eihlenberg cohomologieën en extensies van Lie-algebra's, die een rol speelden in mijn promotie-onderzoek. Ik ben tijden bezig geweest om de essentie hiervan nou echt te doorgronden, totdat ik iemand tegenkwam die me een heel simpel voorbeeld kon laten zien van een toepassing: de massa van een niet-relativistisch puntdeeltje.

Tot dan toe kreeg ik op mijn vragen standaard hele lappen formele wiskunde op het bord gesmeten. Maar dat simpele voorbeeld maakte alles in 1 keer duidelijk. Toch konden al die wiskundig-ingestelde collega's mij dat simpele voorbeeld niet geven. Ik kan je nog legio andere voorbeelden geven, maar het heeft mij nogal sceptisch gemaakt jegens lui die natuurkunde heel wiskundig formeel presenteren. Mijn promotor had ook een gave om door dat soort formaliteiten heen te prikken. Die houding zie ik ook in de boeken van Zee, en is denk ik de reden waarom ik zijn boeken zo kan waarderen. Leer eerst maar eens wat intuïtie en concrete voorbeelden; die formaliteiten worden daarna veel beter te begrijpen. Niet iedereen zal zich zo nieuwe stof eigenmaken, maar bij mij werkt dat erg goed.

Daarnaast heb ik een studiegenoot gehad die op jouw manier, om alles te willen dichttimmeren, uiteindelijk bijna in zijn afstudeeronderzoek is verzopen. Als het ene gat was gedicht, kwam er weer een ander gat, en als dat was gedicht bleek het eerste gat toch niet zo dicht als hij dacht. Hiermee om kunnen gaan en doorgaan als je het gevoel hebt nog niet alles te begrijpen is een vaardigheid. Dat is iets anders dan slordigheid; het is de simpele observatie dat nieuwe zaken leren geen lineair proces is waarbij je alles vanaf de uiterste grond opbouwt. Nieuwe dingen leren is in mijn ervaring veel rommeliger dan dat. En ik noemde al een notoir voorbeeld hiervan: kwantumveldentheorie. Vergeleken met veel tekstboeken daarover is Zee uiterst rigoreus

Uiteindelijk zul je je eigen kapstokje moeten ontwikkelen om kennis aan te hangen.

[Professor Puntje]

Dank voor de tips. Ik zal eens proberen of ik die schijnkrachten met behulp van Zee's aanpak kan afleiden. (Maar eerst nog eens narekenen hoe het met contra- en covariantie zit.) De laatste tijd heb ik overigens zelf ook al een paar wiskundeleerboeken aangeschaft die een meer intuïtieve en geometrische aanpak volgen. Dat is inderdaad ook waardevol.

Mijn rigoureuze aanpak is een van de redenen dat mijn studie natuurkunde aan de universiteit mislukt is. Een andere reden is dat het mij gewoon allemaal veel te snel ging. Waar ik ook hevig mee geworsteld heb is het begrip lineaire ruimte (of was het lichaam, dat weet ik niet meer). Dat werd op de universiteit gedefinieerd als een verzameling elementen waarin een optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn gedefinieerd zodat... Het woordje "waarin" vormde hier voor mij het struikelblok. In een verzameling zitten slechts elementen, en welke elementen er precies in zitten bepaalt welke verzameling het is. Natuurlijk kun je vervolgens bewerking op die elementen definiëren, maar die bewerkingen zitten daarmee nog niet in die verzameling. En aangezien het gegeven wat er wel of niet in een verzameling zit de crux van het verzamelingenbegrip vormt, mocht daar (volgens mij) dan ook niet mee gesjoemeld worden! Dus was bijvoorbeeld de verzameling R van de reële getallen volgens mij ook geen lineaire ruimte (over R), niets verbiedt ons immers om voor die verzameling andere dan de gebruikelijke bewerkingen voor de reële getallen te definiëren. Aan de verzameling R zelf kun je niet zien welke bewerkingen men er in een specifiek geval op gedefinieerd heeft. Een lineaire ruimte zou dus volgens mij moeten bestaan uit een verzameling elementen samen met twee bewerkingen zodat... Maar niemand die begreep wat mijn probleem was. Pas later las ik in een rigoureus wiskundeleerboek dat een lineaire ruimte eigenlijk een tripel is waarin naast de verzameling elementen ook de twee bewerkingen zitten… Achteraf kun je erom lachen, maar als je zoals ik bij het leren van een theorie precies wil (of wilde) weten over wat voor objecten we het precies hebben dan groeien zulke onbenulligheden uit tot onoverkomelijk obstakels.

[Professor Puntje]

Zou dat karaktertrekje om naar uiterste precisie te streven iets zijn dat vooral onder wiskundigen voorkomt? Is daar eigenlijk wel eens onderzoek naar gedaan?

[mathfreak]

Zou dat karaktertrekje om naar uiterste precisie te streven iets zijn dat vooral onder wiskundigen voorkomt? Is daar eigenlijk wel eens onderzoek naar gedaan?

Het is in ieder geval iets wat bij mensen net autisme zoals ik voorkomt. Zelf heb ik, voor ik op 18 maart 2018 het syndroom van Asperger kreeg, mijn belangstelling voor wiskunde altijd als louter toeval beschouwd, maar sinds ik weet dat ik een "Aspie" ben houd ik het er op dat mijn belangstelling voor wiskunde voortkomt uit de bij mensen met autisme aanwezige behoefte aan exactheid.

[Professor Puntje]

Daar heb ik ook wel een trekje van ja.

[Professor Puntje]

Laat V een D-dimensionale vectorruimte (over R) zijn en laat verder e_i en e'_j voor i,j = 1, 2, ... , D twee stelsels basisvectoren zijn voor V. Dan zijn er reële getallen a_jⁱ en b_l^k voor i,j,k,l = 1, 2, ... , D zodat:

\(\)

\( \mathbf{e'}_j = a_j^i \mathbf{e}_i \,\,\,\, \& \,\,\,\, \mathbf{e}_l = b_l^k \mathbf{e'}_k \)

\(\)

En dus:

\(\)

\( \mathbf{e'}_j = a_j^i b_i^k \mathbf{e'}_k \,\,\,\, \& \,\,\,\, \mathbf{e}_l = b_l^k a_k^i \mathbf{e}_i \)

\(\)

Deze reële getallen a_jⁱ en b_l^k vormen (met de superscripts als rij-nummers en de subscripts als kolom-nummers) twee reële DxD matrices A en B. We zien dat de opeenvolgende kolommen van matrix A gelijk zijn aan de basisvectoren e'_j geschreven als kolomvectoren ten opzichte van de basis e_i. Aangezien de e_i en de e'_j voor i,j = 1, 2, ... , D elk een basis voor V vormen komt er dan:

\(\)

\( a_j^i b_i^k = \delta_j^k \)

\(\)

\( b_i^k a_j^i = \delta_j^k \)

\(\)

\( \mathrm{B} \cdot \mathrm{A} = \mathrm{I} \)

\(\)

En:

\(\)

\( b_l^k a_k^i = \delta_l^i \)

\(\)

\( a_k^i b_l^k = \delta_l^i \)

\(\)

\( \mathrm{A} \cdot \mathrm{B} = \mathrm{I} \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( \mathrm{B} = \mathrm{A}^{-1} \)

\(\)

Stel nu dat het element v van V invariant is, en dus onafhankelijk is van de gekozen basis e_i of e'_j. Dan kunnen we v op twee manieren schijven:

\(\)

\( \mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i \,\,\,\, \& \,\,\,\, \mathbf{v} = w^j \mathbf{e'}_j \)

\(\)

Waardoor:

\(\)

\( v^i \mathbf{e}_i = w^j \mathbf{e'}_j \)

\(\)

\( v^i \mathbf{e}_i = w^j a_j^i \mathbf{e}_i \)

\(\)

\( v^i = w^j a_j^i \)

\(\)

\( w^j a_j^i = v^i \)

\(\)

\( w^j a_j^i b_i^k = v^i b_i^k \)

\(\)

\( w^j \delta_j^k = v^i b_i^k \)

\(\)

\( w^k = b_i^k v^i \)

\(\)

Laat nu \( \vec{v} \) de schijfwijze van v als kolomvector in de basis e_i zijn, en \( \vec{v'} \) de schijfwijze van v als kolomvector in de basis e'_j. Dan hebben we:

\(\)

\( \vec{v'} = \mathrm{B} \cdot \vec{v} \)

\(\)

\( \vec{v'} = \mathrm{A}^{-1} \cdot \vec{v} \)

\(\)

Waarom zeggen we nu dat de componenten van \( \vec{v'} \) met de nieuwe basis e'_j contravariëren? Laten we het eenvoudige geval bekijken waarin de nieuwe basis voldoet aan: e'_i = c.e_i met c ≠ 0. Dan hebben we: \( a_j^i = c \delta_j^i \) . Zodat: \( \mathrm{A} = c \cdot \mathrm{I} \). en \( \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}{c} \cdot \mathrm{I} \). Dan variëren de componenten van \( \vec{v'} \) dus omgekeerd evenredig met de lengtes van de nieuwe basisvectoren e'_j.

[Professor Puntje]

Maar daarmee lijken de opties voor invariante vectoren in V wel uitgeput. Hoe kan het dan zijn dat covectoren ook als invariant beschouwd worden. Of leven die niet in V, maar in een daaraan duale ruimte? En hoe gaan natuurkundigen daar dan weer mee om?

[flappelap]

Ja, covectoren leven in een duale ruimte met een duale basis. Het "contra" in "contravariant" is "contra" t.o.v. de basis van de vectorruimte. Componenten en basisvectoren transformeren tegenovergesteld, zowel voor gewone als duale vectoren.