\(\)
\( \mathbf{e'}_j = a_j^i \mathbf{e}_i \,\,\,\, \& \,\,\,\, \mathbf{e}_l = b_l^k \mathbf{e'}_k \)
\(\)
Deze reële getallen aji en blk vormen (met de superscripts als rij-nummers en de subscripts als kolom-nummers) twee reële DxD matrices A en B. We zien dat de opeenvolgende kolommen van matrix A gelijk zijn aan de basisvectoren e'j geschreven als kolomvectoren ten opzichte van de basis ei. We zagen eerder dat dan geldt:
\(\)
\( \mathrm{B} = \mathrm{A}^{-1} \)
\(\)
Laat nu \( \vec{v} \) de schijfwijze van v als kolomvector in de basis ei zijn, en \( \vec{v'} \) de schijfwijze van v als kolomvector in de basis e'j. Dan geldt voor ieder invariant element v van V dat:
\(\)
\( \vec{v'} = \mathrm{B} \cdot \vec{v} \)
\(\)
\( \vec{v'} = \mathrm{A}^{-1} \cdot \vec{v} \)
\(\)
Dan introduceren we nu de aan V duale lineaire ruimte V* bestaande uit alle lineaire functionalen op V met als optelling:
\(\)
\( ( \varphi + \psi )(\mathbf{v}) = \varphi( \mathbf{v} ) + \psi )(\mathbf{v}) \)
\(\)
en scalaire vermenigvuldiging:
\(\)
\( (a \cdot \varphi )(\mathbf{v}) = a \cdot \varphi( \mathbf{v} ) \)
\(\)
Vanuit de twee stelsels basisvectoren ei en e'j voor i,j = 1, 2, ... , D voor V kunnen we nu twee stelsels basis-covectoren ωi en ω'j voor i,j = 1, 2, ... , D vormen middels:
\(\)
\( \omega^i(\mathbf{e}_k) = \delta_k^i \,\,\,\, \& \,\,\,\, \omega'^j(\mathbf{e'}_l) = \delta_l^j \)
\(\)
Vormen ωi en ω'j nu inderdaad ook twee bases van V* ? Aangezien de elementen van V* lineair zijn hebben we voor alle v uit V en φ uit V* dat:
\(\)
\( \varphi(\mathbf{v}) = \varphi( v^i \mathbf{e}_i ) = \varphi( v'^j \mathbf{e'}_j ) \)
\(\)
\( \varphi(\mathbf{v}) = \varphi( \mathbf{e}_i ) \, v^i = \varphi( \mathbf{e'}_j ) \, v'^j \)
\(\)
\( \varphi(\mathbf{v}) = \varphi( \mathbf{e}_i ) \, \omega^i(\mathbf{v}) = \varphi( \mathbf{e'}_j ) \, \omega'^j(\mathbf{v}) \)
\(\)
Dus:
\(\)
\( \varphi = \varphi( \mathbf{e}_i ) \, \omega^i = \varphi(\mathbf{e'}_j ) \, \omega'^j \)
\(\)
De stelsels ωi en ω'j zijn dus allebei volledig. Rest nog na te gaan of de covectoren uit die beide stelsels ook lineair onafhankelijk zijn.
\(\)
Indien λi ωi ≡ μj ω'j ≡ 0 dan geldt ook dat:
\(\)
\( \lambda_i \omega^i(\mathbf{e}_k) = \mu_j \omega'^j(\mathbf{e}_k) = 0 \)
\(\)
\( \lambda_i \delta_k^i = \mu_j \delta_k^j = 0 \)
\(\)
\( \lambda_k = \mu_k = 0 \)
\(\)
De covectoren uit de twee stelsels ωi en ω'j zijn dus ook allebeide lineair onafhankelijk. En dus vormen ze inderdaad twee stelsels van basis-covectoren.Later verder...
)
Dan leid je dit in een paar regels af 
