-
OOOVincentOOO
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.645
- Lid geworden op: ma 29 dec 2014, 14:34
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Ja vorig jaar zie tekst.
-
Professor Puntje
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.575
- Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Aha! Ik zie het. Mooi! Daar kwam ik ook op uit.
Is nog wel het punt dat je met twee versies van \( N(\mathbb{X}) \) werkt, waarbij een van de versies vereist dat je een positief even natuurlijk getal gebruikt. Dat is voor de lezer wat verwarrend, en het is vaak ook niet duidelijk wat voor welke versie van N bewezen wordt.
Is nog wel het punt dat je met twee versies van \( N(\mathbb{X}) \) werkt, waarbij een van de versies vereist dat je een positief even natuurlijk getal gebruikt. Dat is voor de lezer wat verwarrend, en het is vaak ook niet duidelijk wat voor welke versie van N bewezen wordt.
-
OOOVincentOOO
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.645
- Lid geworden op: ma 29 dec 2014, 14:34
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
N moet altijd een positief even getal zijn. Anders kan cos^N negatieve pulsen krijgen.
Benadering Taylor serie van N maakt interpretatie duidelijker.
Hoog freq deel heeft ook mooie eigensch. Scaleerd linear met X.
Cos(pi.x.N/X)
Kan verder niet reageren ben op koffie break werk.
Gr. Vince
Benadering Taylor serie van N maakt interpretatie duidelijker.
Hoog freq deel heeft ook mooie eigensch. Scaleerd linear met X.
Cos(pi.x.N/X)
Kan verder niet reageren ben op koffie break werk.
Gr. Vince
-
Professor Puntje
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.575
- Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Ik begrijp dat je de functiewaarden van N even positieve natuurlijke getallen wilt laten zijn, maar daarmee is dat dan niet ook vanzelf geregeld. Je definitie van N zal om dat te bereiken enigszins moeten worden aangepast, en dat was dan ook de reden dat ik een alternatieve definitie van N voorstelde waarbij N wel automatisch even positieve natuurlijke getallen als functiewaarden heeft.
Je eis dat de functiewaarden van N steeds naar het dichtstbijzijnde even positieve natuurlijke getal moeten worden afgerond is enkel dan realiseerbaar als functiewaarden van N nooit precies midden tussen twee opeenvolgende even natuurlijke getallen kunnen liggen. Dat laatste zou je dan eerst moeten bewijzen. Mijn voorgestelde definitie heeft dat euvel niet.
Dit alles heeft ook gevolgen voor je verdere stellingen en bewijzen. Zo is het de vraag of de fraaie limiet voor O ook nog opgaat wanneer N wel steeds even positieve getallen als functiewaarden heeft en de onderstaande formule dus ook niet meer exact opgaat:
Je eis dat de functiewaarden van N steeds naar het dichtstbijzijnde even positieve natuurlijke getal moeten worden afgerond is enkel dan realiseerbaar als functiewaarden van N nooit precies midden tussen twee opeenvolgende even natuurlijke getallen kunnen liggen. Dat laatste zou je dan eerst moeten bewijzen. Mijn voorgestelde definitie heeft dat euvel niet.
Dit alles heeft ook gevolgen voor je verdere stellingen en bewijzen. Zo is het de vraag of de fraaie limiet voor O ook nog opgaat wanneer N wel steeds even positieve getallen als functiewaarden heeft en de onderstaande formule dus ook niet meer exact opgaat:
\(\)
\( N(\mathbb{X}) = \frac{\log(L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right) \right)} \)
-
OOOVincentOOO
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.645
- Lid geworden op: ma 29 dec 2014, 14:34
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Hallo PP,
Rond de oorsprong is cos^N altijd positief. Hier mag je N dan als een continu getal zien. Indien je de limiet neemt van: \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\) zeg je eigenlijk ook indirect: \(N \rightarrow \infty\) wonderlijk niet waar? De limiet O(x) bestaat ook rond de oorsprong.
\(\large N(\mathbb{X})= \frac{\log (L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right)\right)} \space, \space \space N \in 2 \mathbb{N} \)
\(\large O(x)=\lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right)=exp \left( \frac{\log(L) \space}{\Delta x^{2}} x^{2} \right)\)
Voor even getallen gebruik ik in code vaak: 2*round(N*0.5,0). Werkt allemaal prima.
In onderstaand document (welke vaker heb geadviseerd eens door te nemen als je echt geinteresseerd bent) heb ik een leuk voorbeeld staan over de outline/enveloppe met N rounded en N continuo:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb
Ik heb geen enkele definite van jouw gezien over N. Over welke heb jij het? Ik gebruik als basis def. de bovenstaande sinds 2014 meer recent de eerste post in dit draadje.
Je hebt het over gevolgen zou je dan meer wetenschappelijk kunnen zeggen welke gevolgen? Anders blijft het een "bangmakende" loze kreet.
Groeten,
Vince
Rond de oorsprong is cos^N altijd positief. Hier mag je N dan als een continu getal zien. Indien je de limiet neemt van: \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\) zeg je eigenlijk ook indirect: \(N \rightarrow \infty\) wonderlijk niet waar? De limiet O(x) bestaat ook rond de oorsprong.
\(\large N(\mathbb{X})= \frac{\log (L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right)\right)} \space, \space \space N \in 2 \mathbb{N} \)
\(\large O(x)=\lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right)=exp \left( \frac{\log(L) \space}{\Delta x^{2}} x^{2} \right)\)
Voor even getallen gebruik ik in code vaak: 2*round(N*0.5,0). Werkt allemaal prima.
In onderstaand document (welke vaker heb geadviseerd eens door te nemen als je echt geinteresseerd bent) heb ik een leuk voorbeeld staan over de outline/enveloppe met N rounded en N continuo:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb
Ik heb geen enkele definite van jouw gezien over N. Over welke heb jij het? Ik gebruik als basis def. de bovenstaande sinds 2014 meer recent de eerste post in dit draadje.
Je hebt het over gevolgen zou je dan meer wetenschappelijk kunnen zeggen welke gevolgen? Anders blijft het een "bangmakende" loze kreet.
Groeten,
Vince
-
Professor Puntje
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.575
- Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Geen zin meer in.
-
OOOVincentOOO
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.645
- Lid geworden op: ma 29 dec 2014, 14:34
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Het topic zwabberd jammer genoeg toch alle kanten op.
Dit leek mij toepasselijk (ik wil mij absoluut niet vergelijken mij hem voor mij is het een hobby! btw):
Start op: 3m55s
Meteen reageren is voor mij niet noodzekelijk daar dit alles nog verder laat zwabberen.
Gr,
Vincent
Dit leek mij toepasselijk (ik wil mij absoluut niet vergelijken mij hem voor mij is het een hobby! btw):
Start op: 3m55s
Meteen reageren is voor mij niet noodzekelijk daar dit alles nog verder laat zwabberen.
Gr,
Vincent
-
OOOVincentOOO
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.645
- Lid geworden op: ma 29 dec 2014, 14:34
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Wat doe ik:
Jaren geleden heb ik een methode bedacht om de divisor functie (discrete functie) te zien als golffunctie (continue functie). In dit draadje is chronologisch te zien wat ik allemaal gedaan heb.
Waarom:
Mij wiskunde kennis op te frissen en mij te verdiepen door vragen te stellen.
Hoe:
De functies te onderzoeken, aannames maken te toetsen en vooral niet opgeven. Mouwen opstropen en aan de slag met de wiskunde handen vies maken! Iedere deur opent legio andere deuren en verder te onderzoeken waard.
Waar was ik gebleven in mijn laatste post:
Eigenschappen Frequentie Spectrum (uncertainty principle).
De volgende vraag heeft mij afgelopen weken bezig gehouden:
Wanneer de pulsebreedte in de tijd domein smaller wordt kunnen de pulzen in het frequentie spectrum beter geindentificeerd worden (zie onderstaande link met simulatie). Echter volgens Fourier transformatie eigenschappen worden de pulzen in het frequentie spectra breder als in het tijddomein de pulzen smaller worden: het "uncertainty principle".
Het lijkt alsof de wave divisor functie zich tegengesteld gedraagd. Onderstaand is de z-score berekend van de wave divisor spectra. De z-score beschrijft het tegengestelde gedrag en het "uncertainty principe" blijft gehandhaaft.
Tijd domein \(f(x)\):
\(\large \Re(\sigma_{0})\rightarrow \sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty}e^{a x^{2}} \cos (b x) \)
De pulse breedte in het tijd domein word bepaald door: \(L\) pulseheight at position \(\Delta x\). In de verlijkingen onderstaand beschreven varieren we de pulse breedte in het tijddomein door \(L=0.5\) constant the houden en \(\Delta x \rightarrow 0\) te laten reduceren.
\(\large a=\frac{\log(L) \space}{\Delta x^{2}}=constant\)
\(\large b(\mathbb{X}) = \frac{N}{\mathbb{X}}\pi \approx - \frac{2 \space \log(L)}{\pi \space \Delta x^{2}} \mathbb{X} = constant \cdot \mathbb{X}\)
Frequenctie domein: \(\hat{f} (\xi)\):
\(\large \hat{\sigma}_{0}(\xi)= \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{-a}} \left( e^{(b-2 \pi \xi)^{2} /4a} + e^{(b+2 \pi \xi)^{2} /4a} \right) \)
De pulzen in het frequentie domein kunnen gezien worden als normale distributies (Gauss). De standard deviatie van een puls in het frequentie domein is dan proportioneel met:
\(\large Stdev(\hat{\sigma}_{0}(\xi)) \propto \sqrt{-a}\)
De minimale afstand tussen twee naburige pulzen in het frequentie domein is:
\(\large \Delta \xi = b(\mathbb{X}+1)-b(\mathbb{X})=b(1)\)
The z-score tussen twee naburige frequentie pulzen is dan proportioneel met:
\(\large Z \propto \frac{b(1)}{\sqrt{-a}} \propto \frac{1}{\Delta x}\)
Indien de puls breedte in het tijd domein smaller wordt gaat de \(Z-score\) in het frequentie domein groter worden. Ergo: de pulzen worden in het frequentie domein beter geindentificeerd. Men kan zeggen dat de pulse breedte in het frequentie domein langzamer groeit dan de afstand tussen twee naburige pulzen.
Meer informatie en simulatie:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... udio.ipynb
Een van de volgende vragen waar ik mee bezig ben:
De wave divisor functie kan omschreven worden met de drie volgende verlijkingen:
\(1) \space \sigma_{0}(x)=\sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty} 2^{(-N)} \sum_{k=0}^{N} \binom{N}{k} e^{-i\left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}kx \right)} \)
\(2) \space \Re(\sigma_{0}(x))=\sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty} \cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right) \cos \left( \frac{N\pi}{\mathbb{X}}x \right) \)
\(3) \space \Im(\sigma_{0}(x))=-i \sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right) \sin \left( \frac{N\pi}{\mathbb{X}}x \right) \)
Wat mij altijd aan het denken zet: Is \(1)\) een soort van frequentie spectrum van \(2)\) en \(3)\) is dit correct?
Best regards,
Vince
Jaren geleden heb ik een methode bedacht om de divisor functie (discrete functie) te zien als golffunctie (continue functie). In dit draadje is chronologisch te zien wat ik allemaal gedaan heb.
Waarom:
Mij wiskunde kennis op te frissen en mij te verdiepen door vragen te stellen.
Hoe:
De functies te onderzoeken, aannames maken te toetsen en vooral niet opgeven. Mouwen opstropen en aan de slag met de wiskunde handen vies maken! Iedere deur opent legio andere deuren en verder te onderzoeken waard.
Waar was ik gebleven in mijn laatste post:
Eigenschappen Frequentie Spectrum (uncertainty principle).
De volgende vraag heeft mij afgelopen weken bezig gehouden:
Wanneer de pulsebreedte in de tijd domein smaller wordt kunnen de pulzen in het frequentie spectrum beter geindentificeerd worden (zie onderstaande link met simulatie). Echter volgens Fourier transformatie eigenschappen worden de pulzen in het frequentie spectra breder als in het tijddomein de pulzen smaller worden: het "uncertainty principle".
Het lijkt alsof de wave divisor functie zich tegengesteld gedraagd. Onderstaand is de z-score berekend van de wave divisor spectra. De z-score beschrijft het tegengestelde gedrag en het "uncertainty principe" blijft gehandhaaft.
Tijd domein \(f(x)\):
\(\large \Re(\sigma_{0})\rightarrow \sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty}e^{a x^{2}} \cos (b x) \)
De pulse breedte in het tijd domein word bepaald door: \(L\) pulseheight at position \(\Delta x\). In de verlijkingen onderstaand beschreven varieren we de pulse breedte in het tijddomein door \(L=0.5\) constant the houden en \(\Delta x \rightarrow 0\) te laten reduceren.
\(\large a=\frac{\log(L) \space}{\Delta x^{2}}=constant\)
\(\large b(\mathbb{X}) = \frac{N}{\mathbb{X}}\pi \approx - \frac{2 \space \log(L)}{\pi \space \Delta x^{2}} \mathbb{X} = constant \cdot \mathbb{X}\)
Frequenctie domein: \(\hat{f} (\xi)\):
\(\large \hat{\sigma}_{0}(\xi)= \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{-a}} \left( e^{(b-2 \pi \xi)^{2} /4a} + e^{(b+2 \pi \xi)^{2} /4a} \right) \)
De pulzen in het frequentie domein kunnen gezien worden als normale distributies (Gauss). De standard deviatie van een puls in het frequentie domein is dan proportioneel met:
\(\large Stdev(\hat{\sigma}_{0}(\xi)) \propto \sqrt{-a}\)
De minimale afstand tussen twee naburige pulzen in het frequentie domein is:
\(\large \Delta \xi = b(\mathbb{X}+1)-b(\mathbb{X})=b(1)\)
The z-score tussen twee naburige frequentie pulzen is dan proportioneel met:
\(\large Z \propto \frac{b(1)}{\sqrt{-a}} \propto \frac{1}{\Delta x}\)
Indien de puls breedte in het tijd domein smaller wordt gaat de \(Z-score\) in het frequentie domein groter worden. Ergo: de pulzen worden in het frequentie domein beter geindentificeerd. Men kan zeggen dat de pulse breedte in het frequentie domein langzamer groeit dan de afstand tussen twee naburige pulzen.
Meer informatie en simulatie:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... udio.ipynb
Een van de volgende vragen waar ik mee bezig ben:
De wave divisor functie kan omschreven worden met de drie volgende verlijkingen:
\(1) \space \sigma_{0}(x)=\sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty} 2^{(-N)} \sum_{k=0}^{N} \binom{N}{k} e^{-i\left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}kx \right)} \)
\(2) \space \Re(\sigma_{0}(x))=\sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty} \cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right) \cos \left( \frac{N\pi}{\mathbb{X}}x \right) \)
\(3) \space \Im(\sigma_{0}(x))=-i \sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right) \sin \left( \frac{N\pi}{\mathbb{X}}x \right) \)
Wat mij altijd aan het denken zet: Is \(1)\) een soort van frequentie spectrum van \(2)\) en \(3)\) is dit correct?
Best regards,
Vince
-
OOOVincentOOO
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.645
- Lid geworden op: ma 29 dec 2014, 14:34
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Mijn topic de: "Wave Divisor Functie" nadert zijn einde.
Alles waar ik toe in staat ben is voorlopig ten einde. Dankzij het wetenschapsforum heb ik met behulp van de beperkte feedback en vooral denkbeeldige feedback me kunnen focusseren.
Ik heb een samenvatting met de basis principe gepost op math stacksexchange. Voorlopig nog geen negatieve feedback gehad.
https://math.stackexchange.com/q/3427431/650339
Dankjullie wel voor het geduld van een andere gek met gekke ideen,
Gr,
Vincent Preemen
Alles waar ik toe in staat ben is voorlopig ten einde. Dankzij het wetenschapsforum heb ik met behulp van de beperkte feedback en vooral denkbeeldige feedback me kunnen focusseren.
Ik heb een samenvatting met de basis principe gepost op math stacksexchange. Voorlopig nog geen negatieve feedback gehad.
https://math.stackexchange.com/q/3427431/650339
Dankjullie wel voor het geduld van een andere gek met gekke ideen,
Gr,
Vincent Preemen
-
OOOVincentOOO
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.645
- Lid geworden op: ma 29 dec 2014, 14:34
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Het topic blijft mij bezig houden. De afgelopen vakantie heb ik nog wat gepuzzeld. Ik heb een antwoord waarom de error in de "Wave Divisor Functie" meer positieve waarden heeft.
Ik heb gebruik gemaakt van stacksexchange maar uiteindelijk zelf een antwoord gevonden.
https://math.stackexchange.com/q/3427431/650339
De vraag beantwoord ik onderaan het artikel het uiteindelijke antwoord is hier gelinked naar een ander artikel.
Als iemand zin heeft ik zoek nog een "bewijs" voor het volgende (zelf ben ik voorlopig tevreden met mijn numerieke oplossing):
Dat onderstaande functie alleen positieve pieken heeft (positieve en negative pieken zijn niet gelijk):
\(\varepsilon(k) = \sum_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k 2 \mathbb{X})\)
Dat onderstaande functie identieke positieve als negative pieken heeft.
\(\varepsilon(k) = \sum_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k (2\mathbb{X}-1))\)
Plaatje:
Ik heb gebruik gemaakt van stacksexchange maar uiteindelijk zelf een antwoord gevonden.
https://math.stackexchange.com/q/3427431/650339
De vraag beantwoord ik onderaan het artikel het uiteindelijke antwoord is hier gelinked naar een ander artikel.
Als iemand zin heeft ik zoek nog een "bewijs" voor het volgende (zelf ben ik voorlopig tevreden met mijn numerieke oplossing):
Dat onderstaande functie alleen positieve pieken heeft (positieve en negative pieken zijn niet gelijk):
\(\varepsilon(k) = \sum_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k 2 \mathbb{X})\)
Dat onderstaande functie identieke positieve als negative pieken heeft.
\(\varepsilon(k) = \sum_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k (2\mathbb{X}-1))\)
Plaatje:
-
Professor Puntje
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.575
- Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Een aanzetje:
Voor alle gehele getallen n geldt:
Voor alle gehele getallen n geldt:
\(\)
\( \varepsilon_e(k) = \sum\limits_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k 2 \mathbb{X}) \)
\(\)
\( \varepsilon_e(k + n \pi) = \sum\limits_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos((k + n \pi) 2 \mathbb{X}) \)
\(\)
\( \varepsilon_e(k + n \pi) = \sum\limits_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k 2 \mathbb{X} + n \pi 2 \mathbb{X}) \)
\(\)
\( \varepsilon_e(k + n \pi) = \sum\limits_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k 2 \mathbb{X}) \)
\(\)
\( \varepsilon_e(k + n \pi) = \varepsilon_e(k) \)
\(\)
Dus is \( \varepsilon_e(k) \) periodiek, en hoef je voor de toppen van \( \varepsilon_e(k) \) enkel maar het stukje grafiek van k = 0 t/m k = π te bestuderen.-
Professor Puntje
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.575
- Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Voor alle gehele getallen n geldt:
\(\)
\( \varepsilon_o(k) = \sum\limits_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k (2\mathbb{X}-1)) \)
\(\)
\( \varepsilon_o(k + n\cdot 2 \pi) = \sum\limits_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos((k + n\cdot 2 \pi) (2\mathbb{X}-1)) \)
\(\)
\( \varepsilon_o(k + n\cdot 2 \pi) = \sum\limits_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k (2\mathbb{X}-1) + n \cdot 2 \pi \cdot (2\mathbb{X}-1)) \)
\(\)
\( \varepsilon_o(k + n\cdot 2 \pi) = \sum\limits_{\mathbb{X}=2}^{30} \cos(k (2\mathbb{X}-1)) \)
\(\)
\( \varepsilon_o(k + n\cdot 2 \pi) = \varepsilon_o(k) \)
\(\)
Dus is ook \( \varepsilon_o(k) \) periodiek, en hoef je voor de toppen van \( \varepsilon_o(k) \) enkel maar het stukje grafiek van k = 0 t/m k = 2π te bestuderen.-
Professor Puntje
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.575
- Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Met de formules in onderstaande link kun je de zaak zo nodig nog preciezer uitrekenen:
https://en.wikibooks.org/wiki/Trigonome ... ite_series
Maar twee nauwkeurige grafieken over de stukjes k = 0 t/m π (voor εe(k)) en k = 0 t/m 2π (voor εo(k) ) zeggen ook al veel over de plaats en grootte van de toppen.
https://en.wikibooks.org/wiki/Trigonome ... ite_series
Maar twee nauwkeurige grafieken over de stukjes k = 0 t/m π (voor εe(k)) en k = 0 t/m 2π (voor εo(k) ) zeggen ook al veel over de plaats en grootte van de toppen.
-
OOOVincentOOO
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.645
- Lid geworden op: ma 29 dec 2014, 14:34
Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"
Dank voor de goede info. Even datapause! Ik moet eerst eens doornemen.
Ieder vraagje levert ook weer vragen op! Is moeilijk een balans te vinden wanneer dieper graven zinvol is!
Ieder vraagje levert ook weer vragen op! Is moeilijk een balans te vinden wanneer dieper graven zinvol is!
