minimale afstand

[ukster]

minimale afstand 5319 keer bekeken

Wat is de minimale afstand tussen de parabolen?
Op een vrij bewerkelijke manier kom ik uit op 2,575551465
Ik ga er vanuit dat dit goed is. Kan dat niet sneller denk ik dan!

[CoenCo]

Ik zou denk ik:
Stel, f(x1)=1+x1^2 en g(x2)=-(x2-2)^2
* aanname: kortste afstand is een lijn die loodrecht op beide curves staat,
* dus beide curves moeten parallel lopen. Afgeleide gelijkstellen. Daaruit komt een relatie tussen x1 en x2 (x1=2-x2)
* En dan met pythagoras afstand is: (x1-x2)^2+(f(x1)-g(x2))^2. En deze minimaliseren. (de wortel kan je weglaten voor het minimalisatieprobleem)

[ukster]

Je beschrijft eigenlijk de methode die ik hier heb toegepast....alleen dat minimaliseren is niet nodig omdat de coördinaten van de snijpunten dan al bekend zijn

[Xilvo]

Ruim 2,5 lijkt me te groot.
Ik kom (ook vrij omslachtig) op ongeveer 1,78 uit.

[ukster]

Heb ik wellicht toch ergens een fout gemaakt... nog maar eens nalopen

[Bart23]

Wolfram Alpha geeft bij
minimize | sqrt((s^2 + (t - 2)^2 + 1)^2 + (s - t)^2)
als antwoord
min{sqrt((s^2 + (t - 2)^2 + 1)^2 + (s - t)^2)}≈1.78199 at (s, t)≈(0.423854, 1.57615)

[tempelier]

Ik ben niet overtuigd dat men zomaar mag zeggen dat die kortste verbinding de parabolen loodrecht snijdt,
misschien is dit zo maar dat moet dan wel bewezen worden.

Ik dacht het anders op te lossen:
Bepaal de lijn die maakt dat de parabolen daarin elkaars gespiegelden zijn.

Bepaal nu de kortste afstand van die lijn tot een van de parabolen.
daarmee zou het opgelost zijn dacht ik.

PS.
Formeel moet wel bewezen worden dat mijn oplossing juist is maar dat is een eitje.

[ukster]

Dat kan toch alleen als de ene functie de inverse functie is van de andere functie?

[tempelier]

Dat kan toch alleen als de ene functie de inverse functie is van de andere functie?

Dan zijn ze gespiegeld in de lijn x=y.

Dat hoeft echter niet algemeen te gelden, voor spiegeling is voldoende dat ze congruent zijn wat hier zo is.

[Bart23]

@tempelier. Dat punt op een van die parabolen dat het kortst bij de spiegelas ligt, zal een raaklijn aan die parabool hebben die evenwijdig is met de spiegelas. Als dat niet zo zou zijn, dan zijn er punten op de raaklijn (en dus ook de parabool) die dichter bij de spiegelas zouden liggen, in tegenspraak met de minimaliteit. Het komt dus eigenlijk op het zelfde neer.

[tempelier]

@tempelier. Dat punt op een van die parabolen dat het kortst bij de spiegelas ligt, zal een raaklijn aan die parabool hebben die evenwijdig is met de spiegelas. Als dat niet zo zou zijn, dan zijn er punten op de raaklijn (en dus ook de parabool) die dichter bij de spiegelas zouden liggen, in tegenspraak met de minimaliteit. Het komt dus eigenlijk op het zelfde neer.

Ben niet overtuigt dat dit een goed bewijs is, het is slecht een redenering wat wat anders is.

Het komt ook niet op het zelfde neer, met mijn methode is er slechts een variabel waarvoor een minimum moet worden gezocht.

Met de anndere is dat voor twee variabelen wat lastiger is.

[CoenCo]

Ik ben niet overtuigd dat men zomaar mag zeggen dat die kortste verbinding de parabolen loodrecht snijdt,
misschien is dit zo maar dat moet dan wel bewezen worden.

Onder voorwaarde dat de lijnen elkaar niet snijden:
Stel dat de aangenomen kortste verbinding niet haaks op de parabool staat, dan kan er dus een ander punt gevonden worden dat dichterbij ligt. (aanname: in een klein stukje paraboolsegment neem je aan dat deze recht is. Dan is de huidige afstand de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, het paraboolsegment is dan de korte zijde, en die nieuwe kortste afstand de lange zijde.)

[edit:]
Bij nader inzien: de kortste afstand tussen een punt en een curve is de lijn die haaks op die curve staat. Dat lijkt me reeds bewezen? Dus voor het punt op het midden van de lijn die de kortste afstand tussen 2 curves weergeeft, moet dit ook gelden (aan beide zijden). En in deze lijn die de kortste afstand weergeeft, zit natuurlijk geen knik.
Dus kan het niet anders dan dat deze kortste afstand haaks op beide curve's staat.
[/edit]

Heb je een voorbeeld dat het tegendeel bewijst?

N.B. Hier mijn oplossing:

[tempelier]

Je verhaal is niet juist.
Je fixeert namelijk het andere punt en dat mag niet.
Het is niet eens gezegd dat de korste verbinding uniek is.

Dat van de loodrechtheid klopt denk ik wel, maar het formeel bewijzen is nog niet zo gemakkelijk lijkt me.

[CoenCo]

(zie edit hierboven)

[ukster]

Heb ik wellicht toch ergens een fout gemaakt... nog maar eens nalopen

ik krijg nu inderdaad (volledig handmatig) de minimale afstand van 1,7819
x-y coördinaten snijpunten:
(0,42386 , 1,17965)
(1,57614 , -0,17965)
de decimalen in de y-waarde komen overeen. is dat logisch?