Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity

[Professor Puntje]

Nadat Zee's Einstein Gravity in a Nutshell voor mij te moeilijk is gebleken ben ik nu begonnen met het bestuderen van Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, Second Edition van John Archibald Wheeler, Edwin F. Taylor en Edmund Bertschinger. Dat boek is hieronder gratis te downloaden:

https://archive.org/details/exploringblackholes

Ik ben al een eind in het boek gevorderd, maar hoever ik uiteindelijk in dat boek ga komen weet ik nog niet. Dit topic is bedoeld voor het bespreken van vragen over en opgaven uit dat boek.

[Professor Puntje]

Hier wordt het voor mij wat verwarrend:

Het antwoord op C. denk ik te weten: zeer sterk versnelde deeltjes bewegen bijna met de lichtsnelheid, dus geeft delen van de energie door c dan de impuls. Maar hoe zit het dan met A. en B. ?

[Professor Puntje]

A. Als v als een fractie van c gegeven is, dan is dat een dimensieloze grootheid. Dus moeten ds en dt dezelfde eenheid hebben, evenals p en E. Voor ds en dt kan dat door ds in meters en dt in (licht)meters uit te drukken. Voor p en E kan het door p in kg (impuls-equivalent) en E in kg (energie-equivalent) uit te drukken.

Voor grootheden in conventionele eenheden zouden we dan hebben:

\(\)

\( \frac{v_{inertiaal}}{c} = \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \, \mathrm{d} t} \right )_{inertiaal} = \left ( \frac{p/c}{E/c^2} \right )_{inertiaal} \)

\(\)

\( v_{inertiaal} = \left ( \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \right )_{inertiaal} = \left ( \frac{p}{E} \right )_{inertiaal} \cdot c^2 \)

\(\)

En dat klopt want:

\(\)

\( \left ( \frac{p}{E} \right )_{inertiaal} \cdot c^2 = \left ( \frac{m_0 \, \gamma \, v}{m_0 \, \gamma \, c^ 2} \right )_{inertiaal} \cdot c^2 = v_{inertiaal} \)

\(\)

Resterende vraag: wat is een kg impuls-equivalent? Ik kan daar maar één ding bij bedenken, en dat is de impuls van een in vacuüm voortsnellend foton van 1 kg (aan energie-equivalent).

[Professor Puntje]

B. Voor een deeltje met rustmassa nul zijn p en E allebei nul, en dan krijg je p/E = 0/0 wat onbepaald is. Tenzij v=c zodat \( \gamma = \infty \), waarbij de relativistische massa 0.∞ wordt, wat opnieuw onbepaald is. Ik zie dan ook niet goed waar deze vraag op doelt.

[Professor Puntje]

De onderstaande opgave lijkt mij een flinke klus:
[attachment=0]variatie.png[/attachment]
Met variatierekening heb ik nog weinig ervaring, dus is het wel belangrijk om dit vraagstuk aan te pakken.

(Waarom kan dat plaatje niet in de tekst geplaatst worden?)

[Professor Puntje]

We gaan in elk geval uit van onderstaande tekening (ook uit het boek):

[Professor Puntje]

\( \tau_A = \sqrt{(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2}\)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau_A}{\mathrm{d} x_2} = \frac{1}{2} \, ((t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2)^{-1/2} \cdot - 2 (x_2 - x_1) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau_A}{\mathrm{d} x_2} = \frac{- (x_2 - x_1)}{\sqrt{(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2)}} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau_A}{\mathrm{d} x_2} = \frac{- (x_2 - x_1)}{\tau_A} \)

\(\)

\( \tau_B = \sqrt{(t_3 - t_2)^2 - (x_3 - x_2)^2}\)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau_B}{\mathrm{d} x_2} = \frac{1}{2} \, ((t_3 - t_2)^2 - (x_3 - x_2)^2)^{-1/2} \cdot 2 (x_3 - x_2) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau_B}{\mathrm{d} x_2} = \frac{x_3 - x_2}{\sqrt{(t_3 - t_2)^2 - (x_3 - x_2)^2)}} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau_B}{\mathrm{d} x_2} = \frac{x_3 - x_2}{\tau_B} \)

\(\)

\( \tau = \tau_A + \tau_B \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} x_2} = \frac{\mathrm{d} \tau_A}{\mathrm{d} x_2} + \frac{\mathrm{d} \tau_B}{\mathrm{d} x_2} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} x_2} = \frac{- (x_2 - x_1)}{\tau_A} + \frac{x_3 - x_2}{\tau_B} \)

\(\)

Het extremum treedt dan op voor:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} x_2} = 0 \)

\(\)

\( \frac{- (x_2 - x_1)}{\tau_A} + \frac{x_3 - x_2}{\tau_B} = 0 \)

\(\)

\( \frac{x_2 - x_1}{\tau_A} - \frac{x_3 - x_2}{\tau_B} = 0 \)

\(\)

Laat x_A = x₂ - x₁ en x_B = x₃ - x₂. Dan krijgen we:

\(\)

\( \frac{x_A}{\tau_A} - \frac{x_B}{\tau_B} = 0 \)

\(\)

\( \frac{x_A}{\tau_A} = \frac{x_B}{\tau_B} \)

\(\)

Later verder...

[Professor Puntje]

Vooruit met de geit! Ik wil dit nog even afronden voordat ik naar bed ga. Volgens "The Principle of Maximal Aging" moet het gevonden extremum voor τ een maximum zijn. En we hebben daarvoor:

\(\)

\( \frac{x_A}{\tau_A} = \frac{x_B}{\tau_B} \)

\(\)

\( \mathrm{m}_0 \cdot \frac{x_A}{t_A / \gamma_A} = \mathrm{m}_0 \cdot \frac{x_B}{t_B / \gamma_B} \)

\(\)

\( \mathrm{m}_0 \gamma_A \, \frac{x_A}{t_A} = \mathrm{m}_0 \gamma_B \, \frac{x_B}{t_B} \)

\(\)

\( \mathrm{m}_0 \gamma_A \, v_{x,A} = \mathrm{m}_0 \gamma_B \, v_{x,B} \)

\(\)

\( \mathrm{p}_{x,A} = \mathrm{p}_{x,B} \)

\(\)

Voor onze twee opeenvolgende rechte stukjes van de wereldlijn is de x-component van de relativistische impuls dus gelijk. En dus moet ook de snelheid van de steen gelijk blijven. Maar we kunnen ons tussen x₁ en x₃ nog véél meer waarden x_2' , x_2" , x_2"' , ... denken met: x₁ < x_2' < x_2" < x_2"' < ... < x₃ . Voor al die paren van opeenvolgende stukjes wereldlijn heb je dan een extremum wanneer hun helling in het x-t diagram gelijk is. Dus zolang er nog ergens in een wereldlijn tussen twee gebeurtenissen een "knik" in die wereldlijn zit kun je nog een andere wereldlijn tussen die twee gebeurtenissen vinden met een grotere totale eigentijd, en wel door de twee opeenvolgende stukjes wereldlijn waar de knik tussen zit door één recht stukje wereldlijn te vervangen. Bijgevolg heeft onder alle wereldlijnen tussen twee tijdachtig gescheiden gebeurtenissen de volledig rechte wereldlijn de grootste totale eigentijd.

De relativistische impuls in x-richting \( p_x = \mathrm{m}_0 \gamma v_x \) is (bij afwezigheid van externe krachten) dus een behouden grootheid. Bovendien hebben we voor v << c dat \( \gamma \simeq 1 \) zodat p_x in dat geval netjes de Newtonse waarde m₀.v_x benadert.

[Gast]

Goed bezig!

Alleen maak je gebruik van rustmassa .. niet dat dat verboden is, maar wordt in het boek niet gedaan. (Impliceert relativistische massa .. en ja, wat is dat?)

(Hierdoor kan je antwoord op 12.B. bijvoorbeeld niet kloppen (overigens hebben deeltjes zonder (rust)massa wél impuls en energie). En de vraag op 12.C. Is (volgens mij) waarom in publicaties impuls benoemen ipv massa-energie?)

Ik kan je verder nog niet (veel) helpen. Ik heb het kort even bekeken (moeilijker dan gedacht eerlijk gezegd .. wat een beetje of nogal raar van mij is .. ik bedoel omdat ik het boek heb aangeraden .

Maar ik zal het uitprinten (zit nu wat op mijn telefoontje te turen, wat geen doen is) en er toch eens goed mee bezig (ikzelf heb hier echter geen enkele haast bij, maar .. geduld is een schone zaak.)

Heb je alle oefeningen gedaan? Kun je geld mee verdienen... en kan ik daar, als je met dit tempo doorgaat, mooi gebruik van maken

[Professor Puntje]

Dank voor je reactie! Ik zal daar stap voor stap op antwoorden want je stelt meerdere zaken aan de orde.

Ik kan je verder nog niet (veel) helpen. Ik heb het kort even bekeken (moeilijker dan gedacht eerlijk gezegd .. wat een beetje of nogal raar van mij is .. ik bedoel omdat ik het boek heb aangeraden .

Ik ben heel blij met dat advies want na Zee had ik de moed bijna opgegeven. Op academisch niveau is de ART voor mij te hoog gegrepen, zoveel is nu wel duidelijk. Dat zou voor mij nog een paar jaar extra natuurkundestudie als voorbereiding vereisen, wat ik niet kan opbrengen. Maar dit semi-populaire boek wat je mij geadviseerd hebt is voor mij (tot nog toe) goed te volgen, en ook (bijna alle) opgaven lukken me.

[Professor Puntje]

Maar ik zal het uitprinten (zit nu wat op mijn telefoontje te turen, wat geen doen is) en er toch eens goed mee bezig (ikzelf heb hier echter geen enkele haast bij, maar .. geduld is een schone zaak.)

Van een telefoontje is ook geen doen. Ik werk van een beeldscherm van een gewone PC. Te zijner tijd wil ik ook de eerdere druk van het boek in papieren uitvoering aanschaffen.

[Professor Puntje]

Heb je alle oefeningen gedaan? Kun je geld mee verdienen... en kan ik daar, als je met dit tempo doorgaat, mooi gebruik van maken

Ik heb nu (bijna) alle opgaven tot en met de hierboven beschreven oefeningen gedaan. In dit topic bespreek ik alleen de interessantste/moeilijkste opgaven. Ik weet niet hoever ik daarmee kom, maar mijn plan is om zo het hele boek door te werken.

[Professor Puntje]

Alleen maak je gebruik van rustmassa .. niet dat dat verboden is, maar wordt in het boek niet gedaan. (Impliceert relativistische massa .. en ja, wat is dat?)

Ja - ik ben een groot fan van de relativistische massa. Campagnes om bepaalde woorden of termen taboe te verklaren (of dat nu in de politiek of de wetenschap gebeurt) hebben op mij ook vaak een averechts effect. Ik maak graag zelf uit wat ik over zaken denk, en hoe ik mij uitdruk.

Lees over de zin van het begrip (en de term) "relativistische massa": https://www.mathpages.com/home/kmath635/kmath635.htm

[Professor Puntje]

(Hierdoor kan je antwoord op 12.B. bijvoorbeeld niet kloppen (overigens hebben deeltjes zonder (rust)massa wél impuls en energie).

Wat moet het juiste antwoord volgens jou zijn?

[Professor Puntje]

En de vraag op 12.C. Is (volgens mij) waarom in publicaties impuls benoemen ipv massa-energie?)

Oh - dus het gaat in die vraag niet om de juistheid van de "c" in de noemer?