Laser in holle bol spiegel.

[die hanze]

Stel ik heb een perfecte holle bol. De binnen kant is een perfecte spiegel voor een zekere golflengte \(\lambda\).
De bol heeft een klein perfect afsluitbaar klepje.

Stel ik doe het klepje open en schijn met een laser licht met golflengte \(\lambda\) in de bol en sluit nadien weer het klepje. Ik schijn slechts gedurende \(\frac{D}{2c}\) seconden met D de diameter van de bol zodat er geen licht uit ontsnapt. De laser heeft een vermogen W dus we weten dat er \(\frac{WD}{2c}\) joule aan energie in de holle bol is gestoken. Als je wil mag je uitrekenen hoeveel de bol nu meer weegt maar daar gaat het niet om .

De vraag is: hoe lang duurt het eer "equilibrium" bereikt wordt. Met andere woorden de tijdsduur eer het licht zich netjes homogeen verspreid in de bol. Dit zal afhangen van de breedte van de laser bundel dus laten we die cirkelvormig maken met straal r.

Omgekeerd eens het licht homogeen verdeeld is, hoe lang duurt het eer al het licht verdwijnt uit de bol als we het gaatje open maken?

Heb het zelf nog niet uitgerekend maar ik heb een aantal vermoedens.
Als de tijd oneindig is om het homogeen veld te bereiken of de bol leeg te laten lopen zou ik graag een formule zien U(t) met U de hoeveelheid energie dat uit de bol is en \(S(r,\theta,\phi,t)\) de stralingsdistributie in de tijd. Dit laatste lijkt me bijzonder moeilijk.

[Benm]

Het is afhankelijk van de diameter en divergentie van de laserbundel.
Stel je begint met 1mm diameter en 1 mrad divergentie, dan heb je na een kilometer ongeveer een bundel van een meter in diameter.

Nu weet ik niet hoe groot je bol is, maar licht doet er niet zo lang over om een kilometer te reizen. Ik vermoed dat het antwoord ergens in de orde grootte van een microseconde oid ligt. Praktisch probleem is dat niets reflectief genoeg is om dat licht zo lang heen en weer te laten stuiteren, of je moet een enorme bol hebben met een vacuum daarin.

[die hanze]

Ja ben dat weet ik allemaal. Geen praktische problemen hier, de spiegel is perfect.
Met een vermoeden ben ik ook niet veel.

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Met een vermoeden ben ik ook niet veel.

@ die hanze

In plaats van zó te reageren (komt een tikje ondankbaar over) zou je ook even kunnen aangeven wat je dan wèl zoekt, en vooral ook waarom. Dat geeft mensen de juiste richting voor een zoektocht. Benm heeft in zoverre gelijk dat het for all practical purposes nooit lang kan duren voordat die bol zich vult.
Je reden is dus geen praktische. Wat dan wel?

[die hanze]

Gewoon interessante oefening over optica. Mijn post is uitgebreid en ik geef van in het begin aan dat ik concrete antwoorden zoek. Heb gewoon de indruk dat sommigen per se op elk topic reageren of ze nu er iets over weten of niet. Gewoon om zich te laten horen, heel vermoeiend. Ik vermeld ook in het begin expliciet dat het een perfecte bol is en een perfecte spiegel als je dan afkomt met praktische problemen tja dan zoek je gewoon iets om over te melken ipv de zaak aan te pakken.
Ben nu zelf aan het rekenen en het is misschien geen pretje voor iedereen maar je hoeft van mij het vraagstuk niet op te lossen.

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Verplaatst naar meetkunde

[Jan van de Velde]

hmm, grappig. Tenzij ik onnauwkeurig meet blijft de hoek van inval steeds gelijk:
(even een relatief brede straal in een relatief klein bolletje laten vallen)

[die hanze]

Ja heb zelf ook wat zitten tekenen op papier. Ik beperk me ook tot de buitenkant van de bundel maar dat zijn niet de enige 2 lichtstralen natuurlijk, er zit heel wat in het midden. Na al een paar keer weerkaatsen is bijna de hele oppervlak van de bol verlicht. Ik vraag me af of er "open" plekjes blijven.

Door een goed assenstelsel te kiezen kunnen we de intensiteit ook schrijven als \(I(r,\theta)\) aangezien we een rotatie as symmetrie hebben. We kunnen het probleem dus beperken in het vlak zoals jezelf ook al door had.

De evolutie van de lichtbundel is eenvoudig en goed gekend maar om dit effectief door te rekenen naar willekeurige tijden lijkt me niet eenvoudig. Ik dacht een functie te vinden die de bundel mapt naar de volgende weerkaatsing. Probleem is dat verschillende lichtstralen verschillende afstand afleggen tussen weerkaatsen en de hele bundel niet meer synchroon heen en weer zal kaatsten. De delay die verschillende lichtstralen oplopen zal ook er voor zorgen dat de bundel verdwijnt in een homogeen veld. Ben op zoek naar een slim truukje....

[die hanze]

De reflectie hoek binnen in de cirkel is inderdaad constant en gaat nooit veranderen. Dit kan je zien doordat al dei driehoeken congruent zijn. Hmm dat is heel interessant en vereenvoudigt de hele zaak. Hier kunnen we mee verder.

[die hanze]

Ik heb niet een goed teken programma en heb alles op papier gezet omdat het sneller is. Eén enkele lichstraal in een cirkel zal steeds aan dezelfde hoek binnen de crikel weerkaatsen tot in de eeuwigheid. De lichtstralen binnen onze bundel zullen dus enkel tussen \(\theta\) en - \(\theta\) met \(\theta= bgsin{\frac{2r}{D}}\).
Het pad dat één lichstraal aflegt is telkens onder weerkaatsing van dezelfde hoek. Indien deze hoek \(\theta\) bepaalde waarde heeft dan zal deze lichtstraal een gesloten pad afleggen en slechts een zeer klein deel van de ruimte doorkruisen.


Afgezien van deze speciale hoeken is het éénvoudig na te gaan dat een lichtstraal reizend onder hoek \(\theta\) nooit dichter dan \(dsin(\theta)\) bij het middelpunt van de cirkel zal komen. Er is dus een regio, een bol van straal \(h=dsin(\theta)\) waarin deze lichtstraal nooit terecht zal komen. Indien we het gat in de bol niet loodrecht langs het midden maken maar met een offset tov de diameter zal er een bolvormige regio zijn dei nooit belicht wordt.
In ons voorbeeld zijn er wel lichtstralen die weerkaatsten met willekeurig kleine hoek en dus zal de hele bol verlicht worden.

Of de verlichting van de bol homogeen is, moet ik nog nagaan en ik vermoed van niet.
Het is duidelijk dat dit systeem niet ergodisch is.

[Xilvo]

Natuurlijk is geometrische optica een benadering. Er zal altijd buiging optreden, meer/sneller naarmate D/λ kleiner is.
Bovendien zal interferentie optreden, mogelijk ontstaat een patroon van staande golven binnen de bol.

In principe is het numeriek door te rekenen uitgaande van de beginsituatie, een cilindervormige golftrein met lengte D/2, maar je zult in de praktijk snel tegen uit de hand lopende rekentijden aanlopen.

Je kunt inderdaad winst behalen door van de rotatiesymmetrie rond de horizontale lijn door het centrum van de bol gebruik te maken. Die is er in de beginsituatie en gaat niet verloren.

[die hanze]

De speciale invalshoeken waarvoor we een periodieke baan krijgen zijn de volgende :

\(\theta_{n,T}=\pi (\frac{1}{2}-\frac{n}}{T})\)


T en n zijn gehele getallen met T het aantal reflecties nodig per periodieke cyclus en n het aantal afglegde rotaties per cyclus.

[die hanze]

Natuurlijk is geometrische optica een benadering. Er zal altijd buiging optreden, meer/sneller naarmate D/λ kleiner is.
Bovendien zal interferentie optreden, mogelijk ontstaat een patroon van staande golven binnen de bol.

In principe is het numeriek door te rekenen uitgaande van de beginsituatie, een cilindervormige golftrein met lengte D/2, maar je zult in de praktijk snel tegen uit de hand lopende rekentijden aanlopen.

Je kunt inderdaad winst behalen door van de rotatiesymmetrie rond de horizontale lijn door het centrum van de bol gebruik te maken. Die is er in de beginsituatie en gaat niet verloren.

Laten we eerst de geometrische benadering door rekenen voordat we ons zorgen maken over interferenties en golf optica.

Correcties als QM dispersie etc kunnen we later toevoegen. Neem dus aan dat \(\lambda<<D\) zoals bij een macroscopisch grote bal en zichtbaar licht het geval zou zijn. Numeriek is dit zeer snel op te lossen, de dynamica is zeer eenvoudig en computationeel vriendelijk, je gaat heel snel heel ver in de tijd kunnen rekenen. Uiteraard is elke situatie die tot in de eeuwigheid doorloopt computationeel onmogelijk om helemaal uit te rekenen maar als we zien dat na 2 minuten rekenen er bijna geen verandering zit in de stralingsdistributie dan weten we hoe het equilibrium er uit ziet.

De diffusie van warmte van een hete bol naar zijn koud bad duurt in principe ook oneindig maar zulke berekeningen zijn computationeel heel doenbaar.

[die hanze]

De speciale invalshoeken waarvoor we een periodieke baan krijgen zijn de volgend :

\(\theta_{n,T}=\pi (\frac{1}{2}-\frac{n}{T})\)

T en n zijn gehele getallen met T het aantal reflecties nodig per periodieke cyclus en n het aantal afglegde rotaties per cyclus.

[die hanze]

De distributie \(I(r,\Theta)\) zal in de limiet naar oneindig uniform zijn in de \(\Theta\) coördinaat.

Een poging tot "bewijs" dit aan te tonen:

De hoeksnelheid \(\dot{\Theta}\) is een constante voor elke lichtstraal en gegeven door:

\(\dot{\Theta}=\frac{c(\pi - 2\theta)}{2d cos(\theta)}\)

Als we dit integreren krijgen we:
Merk op dat \(\Theta\) hier niet de reflectie hoek is maar letterlijk de pool coördinaat van het licht.
\(\theta\) is de reflectie hoek.

Triviaal integreren in de tijd geeft:

\(\Theta(t)=t\frac{c(\pi - 2\theta)}{2d cos(\theta)}\)

Om de intensiteit te krijgen moeten me nu integreren over alle invalshoeken \(\theta\) van onze laser bundel.

\(I(\Theta)=\int_{-\theta_{max}}^{+\theta{max}} \Theta(\theta) d\theta\)

Met \(\theta_{max}\) de maximale reflectiehoek van licht uit onze laser gegeven door:

\(\theta_{max}=bgsin(\frac{2r}{D})\)

Aan deze integraal moet ik even werken, denk dat ik een aantal dingen ook over het hoofd zie.