Laser in holle bol spiegel.

[Xilvo]

Als de afstand, langs de omtrek gemeten als fractie van die omtrek, tussen twee reflecties een rationaal getal is, dan komt de straal na een eindig aantal reflecties weer op hetzelfde punt terecht. Als het een irrationaal getal is niet.

[die hanze]

Ja en de reflectiehoek blijft gelijk.

[HansH]

Dus dan is het een kwestie van kijken hoe vaak een reflectie patroon past op de cirkel. En dan kom je dus op rationele en irrationele getallen. en als je de invalshoek als startvariabele wilt gebruiken dan zul je uit moeten rekenen hoe de hoek omgezet wordt in L1 (zie mijn eerdere schetsje) Dat kun je doen door de vergelijking van de cirkel en van de lijn met hoek alpha op te stellen en het snijpunt te berekenen (met middelbare schoolwiskunde dus) en vanaf daar de lengte van het cirkelsegment te berekenen.

[HansH]

vanavond toch even wat moeite genomen voor meer detailberekeningen.
zie bijgaande mathcad sheet:
Er zit nog ergens een foutje in. Maar idee wordt wel weergegeven volgens mij.

Mathcad_bol

(165.8 KiB) 128 keer gedownload

[die hanze]

Ik zie dat je moeite gedaan hebt maar dit is veel te veel werk.
Teken eens een aantal opeenvolgende weerkaatsingen van een lichtstraal, je zult al snel het patroon zien.
Focus je niet op de precieze locatie van het eerste snijpunt maar vraag je af hoe dit snijpunt veranderd na elke weerkaatsing. Wat is de afstand afgelegde tussen 2 weerkaatsingen? Deze vragen gaan je veel meer leren.
Voordat je je calculus boven haalt, bekijk het probleem eens vanuit een traditionele euclidische "hoek", dus met passer en liniaal.

[HansH]

Het voordeel van mathcad is dat je je kunt concentreren op het eigenlijke probleem ipv de wiskunde truukjes.
De afstand tussen 2 weerkaatsingen heb ik berekend, zie L2(a) a is de richtingscoefficient van de invallende lijn, L2(a) is de lengte van het cirkelsegment na 1 keer spiegelen tussen intredende lijn en snijpunt. en dat verplaatst zich bij iedere volgende spiegeling met het zelfde stukje L2, dat hadden we al eerder geconcludeerd. dus dan weet je gelijk hoeveel keer zich dat kan herhalen voordat je 1 x rond bent: n(a).
alle grafiekjes tekenen en bepalen wat je tegen elkaar wilt uitzetten is een paar minuutjes werk in mathcad. en mathcad kan ook symbolisch vergelijkingen oplossen, bv het snijpunt tussen lijn en cirkel rolt er zo uit. dan weet je ook zeker dat er geen foutjes in de formules meer kunnen zitten.

[die hanze]

Ok, heb je dan ook het resultaat gevonden dat de lichtstraal blijft weerkaatsen onder dezelfde hoek en dat de afstand tussen twee weerkaatsingen dezelfde blijft?

Een tekening in zulke discussies is zeer handig, ik heb geen online scanner en ben niet zo vlot in wiskundige rekenpaketten als matlab etc... .
Op het internet heb ik een gratis webbrowser tool gevonden waarmee je mooie eenvoudige tekeningetjes kunt maken.
Het heet geogebra en je kan je afbeelding exporteren naar verschillende bestandformaten. Heb het programma nog niet zo goed onder de knie maar bij deze een afbeelding van 3 weerkaatsingen binnen de cirkel:

geogebra-export

(6.89 KiB) 103 keer gedownload

De groene hoek is de weerkaatsingshoek, deze blijft dezelfde. Ook de afstand blijft dezelfde. Let niet op de benaming van de punten want daar is iets mis meegelopen, ik heb spiegelingen rond een as gebruikt en dat heeft heel mijn benaming overhoop gegooid.

De lichtstraal vertrekt onderaan bij het punt C naar boven. Zou nog moeten uitzoeken hoe ik de lijnen kan inkleuren.

[HansH]

Ok, heb je dan ook het resultaat gevonden dat de lichtstraal blijft weerkaatsen onder dezelfde hoek en dat de afstand tussen twee weerkaatsingen dezelfde blijft?
De lichtstraal vertrekt onderaan bij het punt C naar boven. Zou nog moeten uitzoeken hoe ik de lijnen kan inkleuren.

dat de lichtstraal blijft weerkaatsen onder die hoek is niet een resultaat wat uit de software komt, maar een conclusie op basis van symmetrieoverwegingen. Daaruit volgt ook de conclusie dat de afstand tussen 2 weerkaatsingen hetzelfde blijft.
Ik kan met de software wel de afstand (booglengte op de cirkel) berekenen tussen 2 weerkaatsingen als functie van de hoek alpha.

[HansH]

vanavond toch even wat moeite genomen voor meer detailberekeningen.
zie bijgaande mathcad sheet:
Er zit nog ergens een foutje in. Maar idee wordt wel weergegeven volgens mij.Mathcad_bol.pdf

Er zit geen foutje in, maar de n (aantal keren dat je heen en weer moet spiegelen) die ik bereken is niet simpel het aantal keren dat lengte 2 x l1 op de cirkel past.

voor alpha=30 graden is 2 x L1 gelijk aan 1/3 cirkelomtrek, maar n is dan niet 3 maar slechts 1.5 omdat na een halve spiegeling je weer op het beginpunt zit. Dat zou je dus in een algemeen werkend concept moeten gieten.