Krachtenspel door een bocht

[guus57]

Misschien een beetje dom, maar hoe los je dit op?
Heb het ooit gedaan maar weet niet meer hoe het werkt...

[Xilvo]

Het stuk in de bocht moet je integreren met als randvoorwaarde de kracht die je al hebt door het stuk met lengte 5 m.
Afzonderlijk is dat analytisch niet moeilijk, als je alleen de wrijvingskracht door de vloer (onafhankelijk van de kracht ter plaatste) of alleen de wrijvingskracht door de wand (wel afhankelijk van die plaatselijke kracht) zou hebben.

Samen zou het wel eens een stuk lastiger kunnen zijn. Daar heb ik niet naar gekeken, ik heb het numeriek geïntegreerd.

[guus57]

Dus als ik het goed begrijp:
F(horizontaal) = g.μ.ρ.L = 9,81*0,5*45,5 = 1100 N

En deze waarde vul je in op de plek F in de volgende formule:
dF=μ*(g*ρ+F/R)*dx
dF=0,5*(9,81*45+(1100/1,1))*dx
dF=720,725*dx

Maar hoe los je dit op naar F=...... N

[Xilvo]

F=1100
x_totaal=R*π/2 [dit is de totale afstand in de bocht]
x=0
dx=0.001 [kies een kleine waarde]

herhaal tot x>x_totaal
dF=0,5*(9,81*45+(F/1,1))*dx
F=F+dF
x=x+dx
einde herhaal

[guus57]

Afstand van de bocht is toch R²*π voor een hele cirkel.
De bocht is 90° oftwel 1/4 van de gehele cirkel.
Is het dan niet X_totaal=R²*π/4 ??

[Xilvo]

Afstand van de bocht is toch R²*π voor een hele cirkel.

R²π is het oppervlak van een cirkel.
Een hele omtrek is 2.π.R.

[guus57]

Klopt heb me vergist.

Waar moet ik de waardes nu invullen dan?
Want in principe klopt deze formule wel:
dF=720,725*dx

Waar moet ik dan x invullen?

[Xilvo]

Want in principe klopt deze formule wel:
dF=720,725*dx

Nee, die klopt niet. Dat is alleen waar bij het begin van de bocht, onderaan.

dF is hoeveel er steeds aan kracht bijkomt, de F in de formule
dF=0,5*(9,81*45+(F/1,1))*dx
wordt in die bocht steeds groter.

[guus57]

Ik heb even gepuzzeld.
Hieronder staat het resultaat maar waarom kom ik anders uit dan u?
Waarschijnlijk doe ik weer iets fout

[Xilvo]

Het gaat fout in de vierde regel.
Je integreert alsof F de variabele is, maar x is de variabele (er staat niet voor niets 'dx' helemaal rechts).

[guus57]

Hoe moet ik dan van regel 3 naar regel 4?

[Xilvo]

Je moet de differentiaalvergelijking

\(\frac{dF}{dx}=\mu .g. 45+\frac{\mu.F}{R}\)

oplossen.

WolframAlpha geeft voor

\(\frac{dF(x)}{dx}=a+b.F(x)\)

als oplossing

\(F=c.\exp{(b.x)}-\frac{a}{b}\)

De waarde voor c haal je uit de randvoorwaarde, de kracht F bij x=0 is 1103,6 N.

[guus57]

Hoe kom ik aan de c, oftewel wat zijn de randvoorwaarde?

[Xilvo]

x=0, dan exp(b.x)=1, F=1103.6 N
a=220,73, b=0,4545

Daaruit haal je c=1589.2

[guus57]

Okee.
Dus x=1 geeft 2018,12N
X=2 geeft 3458,9 N
X=3 geeft 5728,8 N

Enzovoort. Maar waar eindigt de reeks en hoe wordt dit bepaald?