Is de waarde van pi constant bij toenemende afstand?

[Ruud1234]

Wat houd je tegen, de tweede editie van dat boek is gratis en voor niets te downloaden. En ik zal mijn best doen je eventuele vragen in dat topic te beantwoorden.

Hartelijk dank voor uw aanbod.
Het boek had ik al gedownload, maar mijn wiskundige kennis heeft bijna 50 jaar op een zolder liggen verstoffen, mijn leven heeft een loop zonder die formules gehad en mijn geestelijke flexibiliteit is de laatste jaren ook aan het teruglopen.
Ik zal dat niet meer op een niveau kunnen brengen, om met die formules nog overweg te kunnen.
Ik kan nog wel nadenken over dingen en me dingen afvragen, maar met die formules werken, gaat toch echt niet meer lukken.

De antwoorden op de vraag de en het nadenken erover hebben me in ieder geval weer een aantal vragen rijker gemaakt.
Kromt massa de ruimte, of veroorzaakt de gekromde ruimte het verschijnsel massa, of zijn beide het resultaat van een ander fenomeen, of zijn beide dingen identiek?
Is de ART uitsluitend een beschrijving van een gekromde ruimte en zou die niet bestaan in een vlak heelal?
Hoe groot is de kromming van de ruimte per lichtjaar?
Wordt de lichtsnelheid oneindig in een vlak heelal - hoewel daarin mogelijk niets zou bestaan, om die lichtsnelheid te meten.
Wat dat betreft, ben ik erop vooruit gegaan.
Ik ga ze niet stellen, want ik denk niet, dat die een zinnige bijdrage op zouden leveren voor het forum.

[Professor Puntje]

In elk geval is het verstandig om je vragen niet allemaal tegelijk te stellen.

[Ruud1234]

@Professor puntjes:
Naar aanleiding van deze vraag heb ik nog eens nagedacht over kromming van de ruimte en massa.
De (uitzettende) bol lijkt mij een mooie voorstelling van een vierdimensionaal heelal minus 1 dimensie.
Toch ben ik op een probleem gestoten.
Massa kromt de ruimte heb ik begrepen.
Toen heb ik me afgevraagd, hoe dat er op die bol dan uit zou zien.
Ik had het voorbeeld van dat rubbervel en die biljardballen in mijn achterhoofd en vroeg mij af of die massa - we noemen hem M1 - dan een deuk, of een uitstulping in de bol zou veroorzaken.
Toen bedacht ik mij, dat beide niet kunnen, omdat dan een andere (kleine) massa - M2 - die langskomt een langere afstand af zou moeten leggen, naarmate hij dichter in de buurt van M1 komt.
De ruimte wordt door M1 immers uitgerekt, naar het middelpunt van de bol toe, of juist ervan af.

Mijn conclusie is voorlopig, dat M1 met elastiekjes die straalsgewijs uit het middelpunt van M1 komen aan het oppervlak van de bol zit gelijmd en daarmee aan het heelal trekt.
Dat zou echter betekenen, dat M1 het heelal niet kromt, maar juist afvlakt.
De oppervlakte van het gebied rond de massa wordt namelijk kleiner door het samentrekken van de elastiekjes, dus de bolling zal kleiner moeten worden.

Dat lijkt me echter in tegenspraak met "massa kromt de ruimte".
Iets soortgelijks zou voor het rubberen vel moeten gelden.

Enig idee?

Ruud

[Professor Puntje]

Ik zou dat rubberen vel als ik jou was heel snel weggooien. Ik ken geen natuurkundige analogie die meer onbegrip heeft veroorzaakt dan dat. De kromming van de ruimtetijd bestaat uit afwijkingen van de gebruikelijke euclidische meetkunde, de Stelling van Pythagoras gaat bijvoorbeeld in een gekromde ruimtetijd niet meer exact op. De precieze wijze en mate van de afwijking van de euclidische meetkunde wordt beschreven door de lokale metriek van de ruimtetijd. Metingen op het oppervlak van een bol geven een indruk van de gekromde ruimtetijd zolang je dat voorbeeld niet al te letterlijk neemt. De ruimtetijd heeft immers vier dimensies en een oppervlak maar twee.

[Ruud1234]

Ik zou dat rubberen vel als ik jou was heel snel weggooien. Ik ken geen natuurkundige analogie die meer onbegrip heeft veroorzaakt dan dat. De kromming van de ruimtetijd bestaat uit afwijkingen van de gebruikelijke euclidische meetkunde, de Stelling van Pythagoras gaat bijvoorbeeld in een gekromde ruimtetijd niet meer exact op. De precieze wijze en mate van de afwijking van de euclidische meetkunde wordt beschreven door de lokale metriek van de ruimtetijd. Metingen op het oppervlak van een bol geven een indruk van de gekromde ruimtetijd zolang je dat voorbeeld niet al te letterlijk neemt. De ruimtetijd heeft immers vier dimensies en een oppervlak maar twee.

Dat van die bol ben ik niet met u eens.
De de kromming van de bol is de vierde dimensie.
Wat ontbreekt is een van de drie dimensies hoogte, breedte of lengte.
Je kunt immers niet van het oppervlak van de bol af stappen en naar het middelpunt gaan.

Dat het rubber vel met blijartballen niet klopt, is duidelijk.
Dat rubber vel is een tweedimensionale weergave van een driedimensionale ruimte, of een vlakke vierdimensionsle ruimte - als daar verschil in zit tenminste - en daar gooi je dan een paar vierdimensionale ruimtekrommende , of ruimtevervormende biljartballen in, die de ruimte krommen of vervormen.
Dat kan nooit een goed beeld schetsen.

[Professor Puntje]

De vierde dimensie is de tijd, die doet ook mee in de kromming. Vandaar dat de kromming van een boloppervlak enkel een grove indruk geeft van de gekromde ruimtetijd. Wat je aan metingen op het boloppervlak wel kunt zien is dat er andere meetkundes dan de euclidische mogelijk zijn. In de algemene relativiteitstheorie wordt de kromming van de ruimtetijd als een eigenschap van de ruimtetijd zelf gezien die geen extra dimensies vereist waarin die kromming zo moeten plaatsvinden.

[tempelier]

De vierde dimensie is de tijd, die doet ook mee in de kromming. Vandaar dat de kromming van een boloppervlak enkel een grove indruk geeft van de gekromde ruimtetijd. Wat je aan metingen op het boloppervlak wel kunt zien is dat er andere meetkundes dan de euclidische mogelijk zijn. In de algemene relativiteitstheorie wordt de kromming van de ruimtetijd als een eigenschap van de ruimtetijd zelf gezien die geen extra dimensies vereist waarin die kromming zo moeten plaatsvinden.

In de wiskunde kennen we het begrip tijd niet, maar wel vier dimensionale ruimten.
Overigens kan in de wiskunde een ruimte niet Euclidisch zijn zonder ingebed te zijn in een hogere Euclidische ruimte.
Dat men het vaak doet, is om het wat bevattelijker te maken voor mensen met wat minder abstract vermogen.

[tempelier]

Ik zou dat rubberen vel als ik jou was heel snel weggooien. Ik ken geen natuurkundige analogie die meer onbegrip heeft veroorzaakt dan dat. De kromming van de ruimtetijd bestaat uit afwijkingen van de gebruikelijke euclidische meetkunde, de Stelling van Pythagoras gaat bijvoorbeeld in een gekromde ruimtetijd niet meer exact op. De precieze wijze en mate van de afwijking van de euclidische meetkunde wordt beschreven door de lokale metriek van de ruimtetijd. Metingen op het oppervlak van een bol geven een indruk van de gekromde ruimtetijd zolang je dat voorbeeld niet al te letterlijk neemt. De ruimtetijd heeft immers vier dimensies en een oppervlak maar twee.

De stelling van Pyth. is niet zo'n goede keus in dit verband.
De Stelling heeft namelijk op de bol (een Riemann meetkunde) een equivalente stelling.
Beter is om op de som van de hoeken van de driehoek te wijzen.
(daaruit is de niet Euclidische meetkunde ook ontstaan)

[Professor Puntje]

De metriek zoals gebruikt in de ART kun je zien als een infinitesimale generalisatie van de Stelling van Pythagoras.

[Bladerunner]

Toch ben ik op een probleem gestoten.
Massa kromt de ruimte heb ik begrepen.
Toen heb ik me afgevraagd, hoe dat er op die bol dan uit zou zien.
Ik had het voorbeeld van dat rubbervel en die biljardballen in mijn achterhoofd en vroeg mij af of die massa - we noemen hem M1 - dan een deuk, of een uitstulping in de bol zou veroorzaken.

Die bol (of het rubberen vel) is slechts een versimpelde voorstelling van de 3 dimensionale ruimte. Het is als kijken naar de 2D doorsnede van een bol. De massa die ergens op dat vel de ruimte vervormd laat dus een 'put' zien maar is in werkelijkheid een vervorming die er van alle kanten het zelfde uitziet. Als je wel eens een tekening ziet van de trechtervorm van de vervormde ruimte rond een zwart gat met in de 'punt' het gat zelf dan moet je je realiseren dat als je er in alle richtingen omheen zou vliegen je steeds het zelfde ziet want die trechter is geen 3D tekening ook al ziet het er visueel soms zo uit.

De bol analoog (die langzaam 'opgeblazen' wordt) wordt gebruikt om de uitdijing van het heelal voor te stellen, de kromming van die bol is niet de kromming van de ruimte het is dus geen dimensie waar je in deze analoog rekening mee moet houden. Sta je 'op' die bol dan zie je ongeacht waar je staat alle verre stelsels zich van je verwijderen. Op die manier wordt er eigenlijk gezegd: het heelal heeft geen middelpunt.

Het vel met de biljartballen echter is een versimpelde voorstelling van lokale vervorming en heeft niets met de bol analoog te maken. In beide analogieën speelt de 4e dimensie (de tijd dus van de ruimte-tijd) geen rol. Dus kun je deze analogieën niet 1 op 1 gebruiken om zaken in de ruimte-tijd te duiden.

"Kromt massa de ruimte, of veroorzaakt de gekromde ruimte het verschijnsel massa, of zijn beide het resultaat van een ander fenomeen, of zijn beide dingen identiek?"

Massa (maar ook energie) kromt de ruimte en die kromming ervaren wij als zwaartekracht. De kromming van de ruimte dicteert dus hoe een vrij bewegende massa zich gedraagt in de buurt van een andere (grotere) massa en omgekeerd. (Zo 'trekken' b.v. alle planeten ook aan de zon waardoor deze zich niet in een volkomen perfecte boog beweegt rond het centrum van de Melkweg.)

[HansH]

Je zou je het versimpeld alsvolgt voor kunnen stellen volgens mij:
neem een bol van schuimrubber die een stukje heelal voorstelt zonder ruimtetijd kromming en zet daar met een lineaal een maatverdeling op rond de omtrek. Doe datzelfde na doorsnijden van de bol door het middelpunt. (2 halve bol delen) met maatverdeling. De verhouding tussen omtrek van de bol en lengte van de lijn door het middelpunt is dan pi.
nu plak je beide helften weer aan elkaar en zet op elk punt in de bol een denkbeeldige kracht naar het middelpunt volgens F= k1 x 1/r^2. Dat is nl wat de zwaartekracht ook doet als zich een puntmassa in het centrum van de bol bevindt.

Nu zul je zien dat de bol zichzelf probeert samen te trekken van binnenuit. Als je nu kijkt naar de maatverdeling die je hebt aangebracht dan zul je zien dat de verhouding tussen omtrek en diameter niet meer pi is, maar kleiner. dat komt vanwege de ontstane kromming van de ruimte in de bol waardoor de maatstreepjes nu vervormd zijn tov de situatie zonder krachten.

[tempelier]

Probleem is natuurlijk wel dat dan de bol geel bol meer is en ook het begrip omtrek van de bol dus komt te vervallen.

Ten tweede is het nog steeds de vraag af een leeg heelal een glome zou zijn.

[HansH]

De Bol blijft nog steeds een bol als alle krachten regelmatig zijn verdeeld over een bolschil. Wat ik aangaf met F= k1 x 1/r^2 is immers volledig symmetrisch en alleen afhankelijk van r en dus niet van de hoek die r maakt met de x,y of z as.

Een leeg heelal kun je denk ik niet beschrijven met een bol omdat er immers geen middelpunt is in het heelal. Maar je kunt natuurlijk wel spreken over een bolvormige ruimte binnen het heelal.

[tempelier]

Waarom zou een bol een middelpunt nodig hebben?

Je kunt een bol prima omschrijven via kromming.

PS.
Het model dat De Sitter had van het heelal was leeg.