Fatale wiskundige slordigheden

[Professor Puntje]

De Newtonse mechanica is een historisch verschijnsel waarvan geen heel precieze definitie gegeven kan worden. Er zijn altijd grijze gebieden en randverschijnselen aan te wijzen waarvan discutabel is of ze er wel of niet toe behoren. Zoals welke varianten van Newton's gravitatiewet nog wel tot de Newtonse mechanica behoren en welke niet. En bij de relativiteitstheorie en de kwantummechanica is het niet anders.

Natuurlijk kun je de Newtonse mechanica reduceren tot een mathematisch formalisme waarbij je dan onwelgevallige problemen kunt buiten sluiten. Volgens jou begint een zinnige discussie pas na een dergelijke definitie, maar volgens mij eindigt die daar omdat je het dan niet meer hebt over de vraag of de wereld uitgaande van de Newtonse mechanica deterministisch is of niet, maar over de vraag of er binnen een zeker mathematisch formalisme dat voorbeelden van een niet-deterministische evolutie per definitie uitsluit wel of niet voorbeelden bestaan van een niet-deterministische evolutie. Het antwoord daarop is dan uiteraard neen, want die tegenvoorbeelden zijn dan per definitie uitgesloten. Maar dat zo gevonden antwoord is volstrekt irrelevant voor de vraag of de wereld volgens de Newtonse mechanica deterministisch is.

En nu hou ik er toch echt mee op, want deze discussie leidt toch nergens toe.

[flappelap]

De Newtonse mechanica is een historisch verschijnsel waarvan geen heel precieze definitie gegeven kan worden. Er zijn altijd grijze gebieden en randverschijnselen aan te wijzen waarvan discutabel is of ze er wel of niet toe behoren. Zoals welke varianten van Newton's gravitatiewet nog wel tot de Newtonse mechanica behoren en welke niet. En bij de relativiteitstheorie en de kwantummechanica is het niet anders.

Natuurlijk kun je de Newtonse mechanica reduceren tot een mathematisch formalisme waarbij je dan onwelgevallige problemen kunt buiten sluiten. Volgens jou begint een zinnige discussie pas na een dergelijke definitie, maar volgens mij eindigt die daar omdat je het dan niet meer hebt over de vraag of de wereld uitgaande van de Newtonse mechanica deterministisch is of niet, maar over de vraag of er binnen een zeker mathematisch formalisme dat voorbeelden van een niet-deterministische evolutie per definitie uitsluit wel of niet voorbeelden bestaan van een niet-deterministische evolutie. Het antwoord daarop is dan uiteraard neen, want die tegenvoorbeelden zijn dan per definitie uitgesloten. Maar dat zo gevonden antwoord is volstrekt irrelevant voor de vraag of de wereld volgens de Newtonse mechanica deterministisch is.

En nu hou ik er toch echt mee op, want deze discussie leidt toch nergens toe.

Als je het niet erg vindt, reageer ik toch nog even

Ik noem dit, omdat bij de kwantummechanica altijd expliciet gezegd wordt dat de golffunctie in L2 moet liggen; iets soortgelijks zie ik niet in de Newtonse mechanica terug, maar misschien dat wat meer wiskundige boeken die Lipschitz-continuïteit noemen. Ik moet ook zeggen dat ik Nortons artikel niet heb gelezen, dus dat ik alleen een globaal beeld hebt. Dat gezegd hebbende, een paar opmerkingen:

- Dit gebrek aan determinisme is niet vergelijkbaar met die in de kwantummechanica: in de KM kun je in elk geval nog uitrekenen wat de KANS is op een bepaalde gebeurtenis. In Norton's Dome gaat het deeltje op elk mogelijk willekeurig tijdstip bewegen. Dat is dus een veel stevigere vorm van indeterminisme. Maar aangezien je vanuit het correspondentieprincipe de klassieke mechanica zou moeten kunnen afleiden uit de kwantummechanica, kun je wellicht zeggen dat Nortons "indeterminisme-probleem" zich alleen afspeelt wanneer je "de kwantummechanica trunceert tot h=0" (waarbij h de constante van Planck is). Aangezien je in de kwantummechanica volgens mij geen soortgelijke problemen hebt (correct me if I'm wrong), zou Nortons probleem dan een artefact zijn omdat je je beperkt tot een beperkt stukje van je parameterruimte.

- Maar wat ik dan niet begrijp: naast Newtons 2e wet hebben we toch ook nog Newtons 1e wet? Normaliter kun je de 2e wet gebruiken om de 1e wet af te leiden, maar daarvoor moet je waarschijnlijk bepaalde continuïteitsaannames doen, zoals die Lipshitz-continuïteit. Als je de 1e en 2e wet onafhankelijk van elkaar poneert, dan zou ik zeggen dat die extra oplossingen vanwege een gebrek aan Lipshitz-continuïteit worden geëlimineerd; Newtons eerste wet zegt dat het deeltje met de beginconditie v=0 altijd stil blijft liggen op de top. Maar misschien dat ik wat over het hoofd zie.

- Een wiskundige zou ook nog kunnen zeggen dat wanneer je de beginconditie kiest uit een bepaalde snelheidsverdeling, de niet-deterministische situatie (v=0) maat nul heeft in deze snelheidsverdeling. Misschien dat er een stelling bestaat die zegt dat de begincondities die voor niet-deterministische oplossingen zorgen altijd maat nul hebben ten opzichte van de mogelijke begincondities, maar daarvoor ben ik niet wiskundig genoeg onderlegd.

- Tot slot kun je dit soort indeterminisme misschien vergelijken met oneindigheden die je krijgt als je bijvoorbeeld twee puntdeeltjes in EXACT hetzelfde punt neerlegt. Dat de potentiaal dan oneindig groot wordt, daar doet niemand moeilijk over.

Nou ja, zomaar wat overdenkingen zonder dat ik het artikel heb gelezen

[flappelap]

En of deze discussie ergens toe leidt: het laat mij in elk geval nadenken over een stukje elementaire natuurkunde/wiskunde dat ik meende goed te begrijpen. Voor mij is dat heel waardevol

[Marko]

- Maar wat ik dan niet begrijp: naast Newtons 2e wet hebben we toch ook nog Newtons 1e wet? Normaliter kun je de 2e wet gebruiken om de 1e wet af te leiden, maar daarvoor moet je waarschijnlijk bepaalde continuïteitsaannames doen, zoals die Lipshitz-continuïteit. Als je de 1e en 2e wet onafhankelijk van elkaar poneert, dan zou ik zeggen dat die extra oplossingen vanwege een gebrek aan Lipshitz-continuïteit worden geëlimineerd; Newtons eerste wet zegt dat het deeltje met de beginconditie v=0 altijd stil blijft liggen op de top. Maar misschien dat ik wat over het hoofd zie.

Norton gaat wel in op de 1e wet. Zijn argumentatie is dat deze (alleen) instantaan beschouwd moet worden; ook voor de alternatieve oplossing(en) geldt: op t=T geldt F = 0 an a=0 en op alle t>T is a =/= 0 maar F ook. Dus geen probleem!

Ik vind dat een rare interpretatie. Newton formuleerde niet voor niets 3 wetten, en deze interpretatie maakt de 1e letterlijk gelijk aan de 2e.

De 1e wet stelt echter: een lichaam blijft in rust tenzij er een kracht op inwerkt. In afwezigheid van (netto) kracht blijft een voorwerp dus per definitie stil liggen, want wat is anders de waarde van het woord blijft (remains; persevare) en tenzij (unless; nisi)? Waarom anders formuleerde Newton deze wet, die in de interpretatie van Norton volkomen overbodig is; immers identiek aan de 2e wet?

En met die interpretatie, dat de bal op Norton's dome stil blijft liggen, omdat de 1e wet dat nu eenmaal voorschrijft, is ook het hele indeterminisme niet meer van toepassing.

Nu zou je kunnen zeggen dat Newton in zijn formulering kennelijk ruimte geeft voor dit soort interpretaties en dat het dus slordig is geformuleerd, waardoor iemand als Norton tot een resultaat kan komen dat niet in overeenstemming is met de werkelijkheid. Tot zover ben ik mee.

Maar dat hier "de mechanica volgens Newton is niet deterministisch" als vaststaand feit wordt gepresenteerd, vind ik een stap te ver. Men moet om die conclusie te trekken op zijn minst de kop in het zand steken voor alle kritieken die er op het artikel van Norton geschreven zijn.

[flappelap]

- Maar wat ik dan niet begrijp: naast Newtons 2e wet hebben we toch ook nog Newtons 1e wet? Normaliter kun je de 2e wet gebruiken om de 1e wet af te leiden, maar daarvoor moet je waarschijnlijk bepaalde continuïteitsaannames doen, zoals die Lipshitz-continuïteit. Als je de 1e en 2e wet onafhankelijk van elkaar poneert, dan zou ik zeggen dat die extra oplossingen vanwege een gebrek aan Lipshitz-continuïteit worden geëlimineerd; Newtons eerste wet zegt dat het deeltje met de beginconditie v=0 altijd stil blijft liggen op de top. Maar misschien dat ik wat over het hoofd zie.

Norton gaat wel in op de 1e wet. Zijn argumentatie is dat deze (alleen) instantaan beschouwd moet worden; ook voor de alternatieve oplossing(en) geldt: op t=T geldt F = 0 an a=0 en op alle t>T is a =/= 0 maar F ook. Dus geen probleem!

Ik vind dat een rare interpretatie. Newton formuleerde niet voor niets 3 wetten, en deze interpretatie maakt de 1e letterlijk gelijk aan de 2e.

De 1e wet stelt echter: een lichaam blijft in rust tenzij er een kracht op inwerkt. In afwezigheid van (netto) kracht blijft een voorwerp dus per definitie stil liggen, want wat is anders de waarde van het woord blijft (remains; persevare) en tenzij (unless; nisi)? Waarom anders formuleerde Newton deze wet, die in de interpretatie van Norton volkomen overbodig is; immers identiek aan de 2e wet?

En met die interpretatie, dat de bal op Norton's dome stil blijft liggen, omdat de 1e wet dat nu eenmaal voorschrijft, is ook het hele indeterminisme niet meer van toepassing.

Nu zou je kunnen zeggen dat Newton in zijn formulering kennelijk ruimte geeft voor dit soort interpretaties en dat het dus slordig is geformuleerd, waardoor iemand als Norton tot een resultaat kan komen dat niet in overeenstemming is met de werkelijkheid. Tot zover ben ik mee.

Maar dat hier "de mechanica volgens Newton is niet deterministisch" als vaststaand feit wordt gepresenteerd, vind ik een stap te ver. Men moet om die conclusie te trekken op zijn minst de kop in het zand steken voor alle kritieken die er op het artikel van Norton geschreven zijn.

Mmmm, daar moet ik ff over nadenken. Een mogelijk interessant artikel is "What Counts as a Newtonian System?: The View from Norton’s Dome" van Samuel Fletcher. Hij concludeert:

I agree, finally, with Wilson that there is no canonical classical mechanics, but think that
one can still answer the question of determinism once one has specified with mathematical
precision just which one one is talking about. Ultimately, will complicate Norton’s project,
for there is no privileged hill on which he can stand and make claims about the whole of
classical mechanics.

Ik vertel mijn leerlingen ook vaak dat de eerste wet afgeleid kan worden uit de tweede wet, maar dat ligt dus wel iets subtieler.

[Professor Puntje]

Verdere discussie hier is zinloos. Maar omdat flappelap en mogelijk nog enkele anderen in tegenstelling tot Marko en consorten wel open blijkt te staan voor kennisname van onorthodoxe gezichtspunten (die in dit geval ook nog eens degelijk onderbouwd worden) wil ik nog even verwijzen naar Norton's website waar veel meer verrassende inzichten te vinden zijn: https://www.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/index.html

[Marko]

Als je discussie zinloos vindt, hou je dan ook gewoon afzijdig, in plaats van tot vijf keer toe te melden dat je discussie zinloos vindt.

[Marko]

En voor degene die in tegenstelling tot de flamende "professor" niet alleen kennis wil nemen van onorthodoxe gezichtspunten, maar ook graag wil weten wat anderen over die gezichtspunten geschreven hebben:

https://physics.stackexchange.com/quest ... s-equation
https://blog.gruffdavies.com/2017/12/24 ... ry-norton/
https://link.springer.com/article/10.10 ... 012-0105-z
https://arxiv.org/abs/1801.01719
http://jamesowenweatherall.com/SCPPRG/F ... n_Dome.pdf (al genoemd door flappelap)

[die hanze]

@ marko
Ik volg je analyse maar toch een klein "puntje" kritiek. Norton's dome gaat niet over een bal dat van een bizarre bult naar benden rolt maar over een punt dat "glijd". Het is mierenneuken maar in dit voorbeeld is dat toch belangrijk, met een bal verdwijnt de paradox dacht ik. Waarschijnlijk wist je dit wel maar om achteraf discussie en verwarring te vermijden wil ik dit toch vermelden.

Wat betreft je redenering van de 1e en 2e wet van newton, die volg ik. Ik had uit artikels over dit probleem echter opgepikt dat het probleem zat in een "ambiguity" van de afgeleide van de potentiaal aan de pool. Dit zou kunnen leiden tot een onduidelijkheid in wat de kracht nu is op de pool. Wegens symmetrie redenen zou ik ook direct denken dat de kracht nul is maar het puntje glijd dan ook met gelijke kans (symmetrisch) in elke richting. Misschien zit het probleem in de 3de wet omdat we niet eenduidig de kracht op de pool kunnen vinden?

[Marko]

@ marko
Ik volg je analyse maar toch een klein "puntje" kritiek. Norton's dome gaat niet over een bal dat van een bizarre bult naar benden rolt maar over een punt dat "glijd". Het is mierenneuken maar in dit voorbeeld is dat toch belangrijk, met een bal verdwijnt de paradox dacht ik. Waarschijnlijk wist je dit wel maar om achteraf discussie en verwarring te vermijden wil ik dit toch vermelden.

Klopt, dat was slordig van mij. Norton heeft mogelijk complicerende zaken zoveel mogelijk weggelaten, en het gaat inderdaad over een glijdende puntmassa.

Wat betreft je redenering van de 1e en 2e wet van newton, die volg ik. Ik had uit artikels over dit probleem echter opgepikt dat het probleem zat in een "ambiguity" van de afgeleide van de potentiaal aan de pool. Dit zou kunnen leiden tot een onduidelijkheid in wat de kracht nu is op de pool. Wegens symmetrie redenen zou ik ook direct denken dat de kracht nul is maar het puntje glijd dan ook met gelijke kans (symmetrisch) in elke richting. Misschien zit het probleem in de 3de wet omdat we niet eenduidig de kracht op de pool kunnen vinden?

Het kan inderdaad zijn dat de kracht niet goed gedefnieerd is, maar ik ging eigenlijk in op een stelling van Norton zelf:

It is natural to visualize "uniform motion in a straight line" over some time interval, but we will need to apply the law at an instant. At just one instant, the law corresponds to motion with zero acceleration. So the instantaneous form of
Newton's First Law is:

In the absence of a net external force, a body is unaccelerated.


Returning to the concern, there is no net force on the mass at t=T, so, by this law, shouldn't the mass remain at rest? A more careful analysis shows the motions of (3) are fully in accord with Newton's First Law.

For times t ≤ T, there is no force applied, since the body is at position r=0, the force-free apex; and the mass is unaccelerated.

For times t > T, there is a net force applied, since the body is at positions r>0 not at the apex, the only force free point on the dome; and the mass accelerates in accord with F=ma.

Dus Norton zelf gaat ervan uit dat de kracht 0 is.

[Marko]

Het voorbeeld van Norton's dome heeft wat haken en ogen: het is allereerst geen voorbeeld van een experiment, en voor zover het een gedachtenexperiment betreft is de vraag of de gedachtengang wel helemaal klopt. Dat was dus niet helemaal wat ik zocht.

Andere voorbeelden zijn er überhaupt niet, zo lijkt het. Uiteraard houd ik me hier wel voor aanbevolen. Maar het lijkt er toch een beetje op dat er tot op heden daadwerkelijk geen voorbeelden zijn waarin een waarneming niet strookt met de theorie omdat de theorie wiskundig "slordig" is afgeleid en daardoor tot verkeerde voorspellingen komt.