Oneindige decimale getallen?

[Professor Puntje]

Je zou voor

\(a_{i}\)

een series voor bijvoorbeeld pi kunnen invullen. Van pi=3,141592653589..... het leuke is dat de 3 voor de komma dan het kleinste getal word en met de decimalen word het getal steeds groter .....9853562915413.

Inderdaad - en zulke primitieve linkse getallen zijn heel moeilijk op grootte te schatten. Je weet immers niet wat hun cijfers doen, er zit geen (bekende) regelmaat in.

[Professor Puntje]

OPMERKING: de uitdrukking "primitieve linkse getallen" zal ik verder veelal afkorten tot "pl-getallen". Dat is niet zo'n mond vol.

[Professor Puntje]

(2) DEFINITIE. We noemen twee pl-getallen x en y verwant dan en slechts dan als onderstaande oneindige rij precies één verdichtingspunt op 1 heeft:

\(\)

\( \frac{x(0) + 1}{y(0) +1} , \frac{x(1) + 1}{y(1) +1} , \frac{x(2) + 1}{y(2) +1} , \frac{x(3) + 1}{y(3) +1} , ... \)

\(\)

Dit volstaat nog nog niet voor "gelijkheid" maar legt al wel een flinke beperking op aan welke pl-getallen we later gelijk gaan noemen. Heeft iemand nog ideeën voor een aansprekende nadere aanscherping?

Correctie: hier klopt iets niet! Ik was in de veronderstelling dat de eis van een uniek verdichtingspunt op 1 zwakker was dan de eis van een limiet gelijk aan 1, maar op Wikipedia lees ik dat dit op hetzelfde neerkomt.

[Professor Puntje]

Laten we eens een concreet geval bekijken. Neem x = ...101010 en y = ...010101 . Wat zijn dan de verdichtingspunten van de rij uit definitie 2? Dus van de rij:

\(\)

\( \frac{0 + 1}{1 +1} , \frac{10 + 1}{01 +1} , \frac{010 + 1}{101 +1} , \frac{1010 + 1}{0101 +1} , ... \)

[Professor Puntje]

Ik heb zo'n idee dat de verdichtingspunten dan 0,101010.../0,010101... en het omgekeerde daarvan moeten worden. Dus 10 en 1/10.

[Professor Puntje]

Na een nachtje slapen denk ik dat onderstaande definitie meer oplevert:

(2) DEFINITIE. Onder het pseudoquotiënt pq(x,y) van twee pl-getallen x en y verstaan we de verzameling van alle verdichtingspunten van de onderstaande oneindige rij quotiënten:

\(\)

\( \frac{x(0) + 1}{y(0) +1} , \frac{x(1) + 1}{y(1) +1} , \frac{x(2) + 1}{y(2) +1} , \frac{x(3) + 1}{y(3) +1} , ... \)

[Professor Puntje]

Vraag: zijn er pl-getallen x en y waarvoor pq(x,y) de lege verzameling is?

[Professor Puntje]

Correctie: hier klopt iets niet! Ik was in de veronderstelling dat de eis van een uniek verdichtingspunt op 1 zwakker was dan de eis van een limiet gelijk aan 1, maar op Wikipedia lees ik dat dit op hetzelfde neerkomt.

Maar heeft Wikipedia hier wel gelijk? Bekijk onderstaande rij eens:

1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, ...

Deze rij heeft maar één verdichtingspunt (namelijk op 1) maar dat is niet de limiet van die rij!

[Math-E-Mad-X]

Ik was ook even verbaasd, maar ik zie het nu: op de wiki-pagina nemen ze niet R, maar de afsluiting van R. Oftwel, R plus het 'punt' oneindig. In dat geval heeft jouw voorbeeld dus twee ophopingspunten: 1 en oneindig.

[Professor Puntje]

Ik hoop toch niet dat dat tegenwoordig gangbaar is?! Zo word ik langzaam maar zeker uitgerangeerd omdat men zo nodig de vanouds bekende betekenis van wis- en natuurkundige termen wil aanpassen.

[Math-E-Mad-X]

Er is helemaal geen enkele betekenis aangepast.

De vraag of een rij een ophopingspunt heeft hangt af van de ruimte waarin deze rij zich bevindt (en dat is altijd zo geweest). Het enige is dat wikipedia er hier voor kiest om de afsluiting van R als ruimte te nemen, wat misschien wat ongebruikelijk is.

Ik denk dat de stelling dat een rij met 1 ophopingspunt altijd een limiet heeft alleen geldig is voor compacte ruimtes, en waarschijnlijk wilden ze daar niet te diep op in gaan en hebben ze gewoon gelijk de afsluiting van R genomen (wat inderdaad een compacte ruimte is).

[Professor Puntje]

OK - dus als ik hier afspreek dat we in dit topic met R werken en niet met de afsluiting van R, dan kan ik gewoon op de oude voet voort gaan?

[Professor Puntje]

Vraag: zijn er pl-getallen x en y waarvoor pq(x,y) de lege verzameling is?

Iemand een idee hoe dit aan te pakken?

[Professor Puntje]

Gevonden!

pq(...111 , ...000) = ∅

Ik zat weer veel te moeilijk te denken.

[Professor Puntje]

Maar omgekeerd hebben we wel: pq(...000 , ...111) = {0} .

En zo begin ik dan toch weer te twijfelen of het niet eleganter was geweest om toch met de afsluiting van R te werken zodat we pq(...111 , ...000) = {∞} zouden hebben gehad.

(Maar dan moet ik mij dan wel eerst in de theorie van zulke afsluitingen verdiepen.)