Oneindige decimale getallen?

[Professor Puntje]

Is het bewijs in het voorgaande berichtje correct? Mij lijkt het wel, maar laat het weten mocht iemand daar toch een fout in vinden?

Volgende vraag:

Zijn er pl-getallen x = ...x_n...x₂x₁x₀ en y = ...y_n...y₂y₁y₀ met hetzelfde panorama ( pan(x) = pan(y) ) die niettemin op oneindig veel plaatsen van cijfer verschillen ( x_k ≠ y_k voor oneindig veel k ∈ N)?

Het zou leuk zijn als lezers hun eigen bewijzen en voorbeelden aandragen zodat dit topic een gezamenlijk project wordt in plaats van een monoloog van ondergetekende.

[Professor Puntje]

Volgende vraag:

Zijn er pl-getallen x = ...x_n...x₂x₁x₀ en y = ...y_n...y₂y₁y₀ met hetzelfde panorama ( pan(x) = pan(y) ) die niettemin op oneindig veel plaatsen van cijfer verschillen ( x_k ≠ y_k voor oneindig veel k ∈ N)?

Er zijn nu drie gevallen te bekijken:

1. De pl-getallen x en y bevatten beide slechts eindig veel cijfers ongelijk aan nul.

2. Het ene pl-getal (noem dat getal x) bevat slechts eindig veel cijfers ongelijk aan nul, en het andere pl-getal (noem dat getal y) bevat oneindig veel cijfers ongelijk aan nul.

3. De pl-getallen x en y bevatten beide oneindig veel cijfers ongelijk aan nul.

[Professor Puntje]

Geval 1. Stel dat x slechts eindig veel cijfers ongelijk aan nul bevat en dat x en y op oneindig veel plaatsen van cijfer verschillen, dan moet y oneindig veel cijfers ongelijk aan nul bevatten. Dus zijn er géén pl-getallen x en y met beide slechts eindig veel cijfers ongelijk aan nul die niettemin op oneindig veel plaatsen van cijfer verschillen.

Geval 1. levert ons dus geen pl-getallen x en y die aan de gestelde voorwaarden van de vraag voldoen.

[Professor Puntje]

Geval 2. Het ene pl-getal (noem dat getal x) bevat slechts eindig veel cijfers ongelijk aan nul, en het andere pl-getal (noem dat getal y) bevat oneindig veel cijfers ongelijk aan nul.

Dan geldt:
pq(x,y) = {0} & pq(y,y) = {1}
[pan(x)](y) ≠ [pan(y)](y)
pan(x) ≠ pan(y)

Ook geval 2. levert ons dus geen pl-getallen x en y die aan de gestelde voorwaarden van de vraag voldoen.

[tempelier]

Ik heb me niet goed ingelezen beste Puntjes.

Maar misschien kun je hier iets mee:
Zet de boel om naar het tweetallig stelsel je hoeft dan alleen in nullen en enen te denken.

[Professor Puntje]

Dat zou kunnen. Aan de ene kant zou het daar eenvoudiger van worden (want dan heb je maar twee cijfers om uit te kiezen), maar aan de andere kant zou dit topic voor Jan met de Pet dan nog onbegrijpelijker worden dan het nu waarschijnlijk al is. En dat is jammer want in principe leent het getallensysteem waar ik hier aan bouw zich goed voor interessant puzzelwerk met getalletjes, zie de vragen die ik hier stel en de oplossingen die ik geef.

Helaas ziet het er naar uit dat mijn aanvankelijke volgers inmiddels vrijwel allemaal hebben afgehaakt. Wat moet ik doen om dit topic aantrekkelijker te maken?

[tempelier]

Mij ontbreekt het aan de tijd om me er echt in verdiepen.

[Professor Puntje]

Mij ontbreekt het aan de tijd om me er echt in verdiepen.

Jammer!

[Professor Puntje]

Kan pq(x,y) = {1} alleen optreden voor pl-getallen x en y die hoogstens op eindig veel plaatsen in cijfer verschillen?

[Math-E-Mad-X]

Mij ontbreekt het aan de tijd om me er echt in verdiepen.

Inderdaad, voor mij geldt hetzelfde. Ik kijk er steeds wel even naar als er een nieuw bericht is, maar het gaat allemaal net iets te diep om snel een antwoord klaar te hebben liggen en ik heb simpelweg geen tijd om er lang over na te gaan zitten denken.

[Math-E-Mad-X]

maar aan de andere kant zou dit topic voor Jan met de Pet dan nog onbegrijpelijker worden dan het nu waarschijnlijk al is.

Ik denk dat je je daar echt geen zorgen over hoeft te maken. Degenen die niet met binaire getallen om kunnen gaan zullen allang afgehaakt zijn.

[Professor Puntje]

Hoe gaat dat in de professionele wiskunde, is dat echt eenzaam ploeteren tot je iets hebt dat het publiceren waard is?

[Math-E-Mad-X]

Hoe gaat dat in de professionele wiskunde, is dat echt eenzaam ploeteren tot je iets hebt dat het publiceren waard is?

Wat betreft het eenzame: nee, meestal werk je samen met collega's. Maar het verschil is dat in dat geval het ook voor die collega's hun dagelijkse werk is, dus die hebben wel alle tijd om er mee bezig te zijn.

Verder is het inderdaad "ploeteren tot je iets hebt dat het publiceren waard is". Maar normaal gesproken hou je je als wiskundige bezig met een heel specifiek onderwerp waar je zelf een expert in bent, dus je weet wat er al wel en niet gedaan is, en je zal vrijwel altijd wel iets nieuws ontdekken wat te publiceren valt. Het blijft alleen wel altijd de vraag hoe spectaculair die resultaten zullen zijn.

Je hebt natuurlijk ook wel mensen die niet in staat zijn om nieuwe dingen te ontdekken, maar die zullen grote moeite hebben hun PhD af te ronden en als ze daar al in slagen dan zullen ze daarna waarschijnlijk niet meer verder gaan in de academische wereld, dus die verdwijnen vanzelf.

[Professor Puntje]

Ah - juist. Dank voor de info.

[Professor Puntje]

Kan pq(x,y) = {1} alleen optreden voor pl-getallen x en y die hoogstens op eindig veel plaatsen in cijfer verschillen?

Dat lijkt zo vanzelfsprekend! Bij ieder verschil in cijfers (x_k ≠ y_k) krijgt \( \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \) voor n = k immers weer een "zwieper" die een eventueel naderen tot 1 ongedaan maakt. Toch wil het bewijs maar niet lukken...