Oplossingen van differentiaalvergelijking

[Professor Puntje]

2D3367DD-DE95-4D9C-8843-3F1E9029B52F.jpeg
Kan je hier iets mee?

Ik vraag mij af wat die h te betekenen heeft? Kan h willekeurig klein zijn?

[Xilvo]

\(y=-x^2\)

\(E=-m.g.y=x^2=\frac{1}{2}.m.v^2\)

aangenomen dat het voorwerp stil ligt op de top van de parabool
Kies g=1

\(v^2=2.x^2\)

\(v_x^2=\frac{v^2}{1+4x^2}=(\frac{dx}{dt})^2=\frac{2x^2}{1+4x^2}\)

Ik kom niet op een afgeleide van x² naar de tijd.

[Professor Puntje]

\( y = x^2 \)

\( E_k = \frac{1}{2} \mathrm{m} ((v_x)^2 + (v_y)^2) \)

\( E_p = - \mathrm{m} \mathrm{g} y \)

\( E_k + E_p = 0 \)

[Xilvo]

Dat is precies wat ik ook doe.

Daar komt

\(v_x^2=\frac{v^2}{1+4x^2}\)

vandaan.

Als je nu je hele afleiding plaatst dan kunnen we alle twijfels hierover wegnemen.

[Professor Puntje]

\( E_k + E_p = 0 \)

\(\)

\( \frac{1}{2} \mathrm{m} ((v_x)^2 + (v_y)^2) + - \mathrm{m} \mathrm{g} y = 0 \)

\(\)

\( \frac{1}{2} ((v_x)^2 + (v_y)^2) = \mathrm{g} y \)

\(\)

\( (v_x)^2 + (v_y)^2 = 2 \mathrm{g} y \)

\(\)

\( (\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^2 + (\frac{\mathrm{d} (x^2)}{\mathrm{d} t})^2 = \mathrm{a} x^2 \)

[Xilvo]

\((\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^2 + (\frac{\mathrm{d} (x^2)}{\mathrm{d} t})^2 = \mathrm{a} x^2\)

Deze vergelijking is dimensioneel niet correct.

De eerste term links van het =teken heeft dimensie m².s^-2, de tweede m⁴.s^-2.

[Professor Puntje]

Dat is eenvoudig te verhelpen door met geometrische eenheden te werken.

[Xilvo]

Dat is eenvoudig te verhelpen door met geometrische eenheden te werken.

Denk ik niet.

[CoenCo]

Van: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics

Normaal gesproken gebruik ik de lagrange equation als ik obv energie een equation of motion wil opstellen.
Er zal dan altijd een 2e afgeleide naar de tijd verschijnen.

[CoenCo]

\((\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^2 + (\frac{\mathrm{d} (x^2)}{\mathrm{d} t})^2 = \mathrm{a} x^2\)

Deze vergelijking is dimensioneel niet correct.

De eerste term links van het =teken heeft dimensie m².s^-2, de tweede m⁴.s^-2.

Als y=a*x^2
En vx = dx/dt
Dan lijkt me dat: vy = dy/dt= dy/dx * dx/dt = 2ax * dx/dt
Waarbij 2ax nu een dimensieloze richtingscoefficient is.

[Professor Puntje]

Dat is eenvoudig te verhelpen door met geometrische eenheden te werken.

Denk ik niet.

Inderdaad - je hebt gelijk. Het volstaat niet om de eenheden voor afstand en tijdsduur gelijk te maken. Natuurkundig gezien moet je hier en daar factoren voor dimensionale correctie toevoegen. y = x² deugt bijvoorbeeld natuurkundig gezien ook al niet. Dat moet y = (1 m^-1)*x² zijn. Maar we weten hoe zulke "fouten" te verhelpen zijn, en maken ons daar in de regel dan ook niet al te druk om...

Nu het duidelijk is hoe ik aan de DV gekomen ben graag weer teug naar de wiskunde.

[Xilvo]

Als y=a*x^2
En vx = dx/dt
Dan lijkt me dat: vy = dy/dt= dy/dx * dx/dt = 2ax * dx/dt
Waarbij 2ax nu een dimensieloze richtingscoefficient is.

Je hebt gelijk.

Maar dan wordt

\(v_y^2=4a^2x^2(\frac{dx}{dt})^2\)

[CoenCo]

Mee eens

[Professor Puntje]

Maar het verband tussen y en x is gegeven als y = x², of als je héél precies wilt zijn door y = (1 m^-1) * x² . Daar komt helemaal geen "a" aan te pas...

[Xilvo]

Maar het verband tussen y en x is gegeven als y = x², of als je héél precies wilt zijn door y = (1 m^-1) * x² . Daar komt helemaal geen "a" aan te pas...

Die a is verwarrend, hij wordt hier soms gebruikt om g in te verstoppen, een andere keer wordt hij in de formule van de parabool gebruikt, y=a.x²

Ik heb hier eerder y=-x² gesteld en g=1. Dan heb je geen a nodig en het maakt voor het principe niet uit.