Wiskundige uitleg balans weegschaal

[TomVH]

Dit lijkt een simpele vraag, maar het antwoord erop kan ik nergens vinden.

Ik ben op zoek naar de wiskundige verklaring waarom een balans weegschaal horizontaal is wanneer beide gewichten dezelfde massa hebben, en hoe men de hoek kan berekenen die de weegschaal maakt indien de massa's verschillen.

Theoretisch zou ik verwachten dat een mechanische weegschaal hetzelfde gedrag vertoont als wanneer men de twee gewichten via een katrolwiel met elkaar verbindt: indien hun massa's gelijk zijn, maakt het niet uit hoe hoog je de ene massa hangt, ze blijven altijd in evenwicht. Als één gewicht zwaarder is, blijft dat gewicht vallen - het stopt niet op een bepaalde afstand die afhankelijk is van het verschil in massa's.
In de praktijk doet een weegschaal dat niet: de uitslag is functie van het verschil tussen de massa's.

Wat ik al gevonden of geprobeerd heb:

Het scharnierpunt kan geen momentkracht opnemen; als er een moment ontstaat, begint de weegschaalarm te roteren. Het moment dat elke arm uitoefent is: de loodrechte afstand van de zwaartekracht uitgeoefend op de massa vermenigvuldigd met de massa. De loodrechte afstand is voor beide armen L x cos(hoek) en is dezelfde voor de linker- als de rechterarm. Indien beide massa's verschillen, ontstaat er een netto-moment waardoor de balans begint te roteren. Omdat de lengte van de massa's tot het scharnierpunt hetzelfde blijft voor beide kanten ongeacht de hoek die de weegschaalarm maakt, blijft dit moment bestaan en zou de weegschaal blijven kantelen tot het niet meer verder kan.
Waar ga ik in de mist met mijn redenering?
Al heel veel gegoogeld en rondgevraagd.

[HansH]

Wat je zegt klopt denk ik wel.Maar er is nog een extra vreiheidsgraad die je nog niet hebt gebruikt en dat is de verbindingslijn tussen de 2 massa's. die verbindings lijn kan precies door het scharnierpunt gaan of er bovenlangs of eronderlangs. dat bepaalt of het evenwicht stabiel, labiel of precies daartussenin zit. beide armen samen vormen een koppel.

(balletje op een recht vlak)
als de verbindings lijn precies door het scharnierpunt gaan dan wordt het koppel ook precies in het scharnierpunt gegenereert en kan de weegschaal net niet blijven staan. hij gaat of linksom draaien of rechtsom omdat het koppel positief of negatief is, of exact 0 dan gaat hij net niet draaien. Maar de verhouding tussen hoek en onbalans is oneindig.

stabiel evenwicht: (balletje in een kuil)
als de verbindings lijn onder het scharnierpunt loopt dan wordt het koppel ook precies daaronder gegenereert en kan de weegschaal wel onder een hoek blijven staan, immers er is dan een resulterend koppel, maar zodra er een hoek komt zit het aangrypingspunt niet meer precies onder het scharnierpunt, dus krijg je een horizontale kracht naar hetr scharnierpunt toe.

labiel evenwicht: (balletje op de top van een berg)
als de verbindings lijn boven het scharnierpunt loopt dan wordt het koppel ook precies daarboven gegenereert maar ontstaat er bij scheefstand een kracht in de richting van de scheefstand, dus gaat de weegschaal steeds sneller die kant op roterenkan de weegschaal wel onder een hoek blijven staan, immers er is dan een resulterend koppel, maar zodra er een hoek komt zit het aangrypingspunt niet meer precies onder het scharnierpunt, dus krijg je een horizontale kracht van het scharnierpunt af.

[HansH]

je hebt ook weegschalen waarbij verbindings lijn precies door het scharnierpunt gaan, maar een extra veer wordt gebruikt. die veer bepaalt dan het verband tussen massaverschil en hoek omdat de veer bij een hoek iets uitrekt of tordeert en zo een tegenkracht geeft gelijk aan de kracht die door het verschil in massa wordt veroorzaakt.

[tempelier]

Ik snap niet goed wat de vraag is.

Is die waarom een weegschaal bij niet evenwicht helemaal doorslaat dan weet ik het antwoord.
Dat komt omdat het scharnier punt boven het zwaartepunt ligt van de weegschaal.
Bij een niet al te groot verschil gaat dan het zwaartepunt wat omhoog en wijkt uit dat geeft een extra momentje.

[ukster]

Voor alle posities is er evenwicht als ten opzichte van het draaipunt geldt: ∑momenten=0
Er is dan in principe geen voorkeurspositie.
Ik schat in dat als je (vanuit een willekeurige evenwichtspositie) een impuls(moment) aanbrengt (dit vertegenwoordigt tenslotte een hoeveelheid kinetische energie) en er sprake is van wrijving in het draaipunt (=energieverlies), er een nieuwe evenwichtspositie ontstaat die je dan zou kunnen uitrekenen.

[HansH]

Dat komt omdat het scharnier punt boven het zwaartepunt ligt van de weegschaal.
Bij een niet al te groot verschil gaat dan het zwaartepunt wat omhoog en wijkt uit dat geeft een extra momentje.

is dat niet hetzelfde effect wat ik ook al gemeld had?

[tempelier]

Nee in mijn verhaal is er geen veer.

[HansH]

Nee in mijn verhaal is er geen veer.

Bij mij ook niet in de 3 eerste voorbeelden. dus focus daar even op, gaat om ligging van zwaartepunten.

[ukster]

Voorbeeld: AC=15cm d=1cm L=100gram G=98 gram θ=8,62°

[tempelier]

Een mooier voorbeeld is misschien zo'n weegschaal met een lange wijzer.

[HansH]

evenwichtspositie balans.png
Voorbeeld: AC=15cm d=1cm L=100gram G=98 gram θ=8,62°

misschien voor het begrip ook nog goed om even de afleiding erbij te zetten.

[ukster]

Op verzoek