expressie

[ukster]

expressie met twee variabelen β en θ

Expressie 3498 keer bekeken

Is er een algebraïsche oplossing voor β en θ ?

[tempelier]

Ik heb hem in Maple gezet.
Het is een wilde vorm en ik maak nog wel eens tik fouten dus dit onder voorbehoud.

Voor \(\theta = \frac{1}{3}\pi \) verkreeg ik een derde graadvergelijking met precies één reële oplossing.
Er is er dus tenminste eentje.

Nogmaals onder voorbehoud van tik fouten.

[ukster]

Sorry! Ik zie nu dat mijn vraagstelling in het openingsbericht niet deugt. Er zijn dan oneindig veel oplossingen waarbij de expressie de waarde 1 heeft.
Voor het fysische probleem dat ik met deze expressie wil oplossen moet de vraag luiden:
Voor welke waarde van β en θ is de maximumwaarde van de expressie 1
Het mooiste zou zijn dit algebraische op te lossen, maar ik vermoed dat het uitdraait op een numerieke probeer-en verfijn methode om het maximum precies op 1 te krijgen

[tempelier]

Ik vermoed dat er slechts een beperkt aantal algebraïsche oplossingen zijn.
Maar een formeel bewijs heb ik niet)
Reële oplossingen zijn er zonder meer oneindig veel.

------------------------------

Zal straks eens via XMaple de partiële afgeleiden bepalen.
(gelukkig heb ik de vergelijking er nog instaan)
Maar ik vrees met je dat het een numeriek zaak wordt.

PS.
Weet je zeker dat er zo'n maximum bestaat?

[ukster]

Ja ,het gaat om dit fysische probleem.

buis met staaf 3404 keer bekeken

Een dunwandige plastic buis met massa M.
Aan de binnenkant van de buis wordt een staaf met massa m>M bevestigd, parallel aan de as van de buis. De buis wordt op een horizontale vloer gelegd waarbij de staaf zich in de bovenste positie bevindt en wordt vervolgens losgelaten om weg te rollen van de instabiele evenwichtspositie. Er is geen slip.
Beschouw het systeem als een puntmassa m op een ring met massa M en straal R. Definieer hoek θ als de hoek die de puntmassa m maakt met de verticaal.
Bij welke minimale verhouding β=m/M komt de buis los van de grond (begint te stuiteren) en bij welke hoek θ treedt dit verschijnsel op?

[tempelier]

Ik heb die afgeleide bepaald, daar zitten termen van de vierde en derde graad in.
Algebraïsch oplossen lijkt me bijna onmogelijk.

Vraag me af of numeriek oplossen met X-Maple lukt.

Ben niet zo zo goed in dit soort vraagstukken, maar als je een redelijke schatting kunt maken hoe groot de waarden ongeveer zijn dan kun je daar de functie tekenen.

[ukster]

Ja, zo heb ik dat gedaan voor een aantal waarden van β (1..20)

De buis blijft contact houden met de grond zolang de opwaarste normaalkracht op de buis niet negatief is.
Bij exact β=13 ligt de topwaarde van de expressie precies op 1
Hierbij is de normaalkracht op de buis nul (= voorwaarde voor loskomen van de buis)
(Met de nodige wiskunde heb ik dit kunnen aantonen)
Maple geeft de oplossing θ=π-cos^-1(5/13) ≈112,62°),en dus ook θ=247,38°

[tempelier]

Ik bedoelde eigenlijk een 3d plot.

[ukster]

??
Het probleem speelt toch in het 2D-vlak
voor β=20 geeft Maple aan dat de buis los van de grond is in het interval 99,01°<θ<129,42°
(en dus ook in het interval 230,58°<θ<261°)

[tempelier]

Je gegeven formule is een functie van twee variabelen.
Dus lijkt het mij voor de hand te liggen dat er in 3D wordt geplot.

[ukster]

De waarde van de expressie (y-as) is uitgezet tegen hoek θ (x-as), met β (1..20) als parameter.

[tempelier]

Dat kan, maar ik zie niet in waarom niet te plotten \( (f(\theta , \beta) = .......... , \quad 0<\theta < 2\pi\quad ,\quad 0<\beta < 21 \)

[ukster]

Dit is het 3D-plaatje voor β=13

Voor een aantal parameterwaarden β tussen 1..21 wordt dit dan een heel erg warrig plaatje en heeft zeker geen meerwaarde t.o.v. de 2D voorstelling

[tempelier]

Je moet het zien als een eerste plaatje, je kunt het domein dan steeds verder insnoeren.

Ook is het geen plaatje met \(\beta\) als variabele.

[ukster]

dit is de benodigde wiskunde om de juistheid van de expressie aan te tonen