omtrek

[ukster]

Minimale omtrek ΔABC?

Omtrek 2812 keer bekeken

ik vind: a²=b(b+c) , a=2bcosβ en 0<β<π/6
Mag ervan worden uitgegaan dat ggd(a,b,c)=1?

[RedCat]

Ja.
Als ggd(a,b,c) = d > 1, dan kan je de lengte van elke zijde door d delen, waardoor ook de omtrek een factor d kleiner wordt.
De hoeken blijven bij deze deling ongewijzigd.

[tempelier]

Ik heb een doodlopend spoor bewandeld.

Ik heb c=1 genomen.
Een geëist dat b en c echte positieve breuken zijn.

Trekt men de hoogtelijn dan volgt uit de driehoeksongelijkheid dat hoe kleiner de hoogtelijn hoe kleiner de omtrek.
Hiervoor is nodig dat de sinussen van de hoeken ook rationeel zijn.
Het lukte me echter niet hier een kleinste waarde voor te vinden.

[ukster]

Voorwaarde:

pos integers 2634 keer bekeken

Dus positieve integers

[tempelier]

Dat weet ik.

Maar ik wilde daarna de zaak opblazen met een factor om daar aan te voldoen.

[ukster]

Aha..

Voortbouwend op a²=b(b+c) , a=2bcosβ , 0<β<π/6 en ggd(a,b,c,)=1 kan gesteld worden dat ook ggd(b,c)=1 omdat een gemeenschappelijke factor in b en c ook de gemeenschappelijke factor is van a.
Het vierkant a² wordt uitgedrukt als een product van twee priem integers b en c
a²=b(b+c), derhalve moeten b en (b+c) ook vierkanten zijn.
Twee integers m en n met ggd(m,n)=1 hierop toegepast:

vierkant 2613 keer bekeken

hieruit volgt: b=m², b+c=n², a=mn
De minimale omtrek van de driehoek kan nu bepaald worden.

[ukster]

Uiteraard is n>m

vierkant 2600 keer bekeken

[ukster]

integers 2546 keer bekeken

De (kleinste) integer waarde van (m,n) die hieraan voldoet is: (4,7)
Hieruit volgt: b=16 a=28 c=33
Minimale omtrek: a+b+c = 77

[RedCat]

Mooie uitwerking!

[ukster]

Gegeven de twee punten A(−2,0) en B(1,5)
Wat zijn de coördinaten van punt P op de lijn x-2y=6 zodat de omtrek van driehoek ABP minimaal is.
P(26/23,-56/23)??

[RedCat]

Kom ik ook op uit: stel

\(P = (2\lambda + 6, \lambda)\)

en minimaliseer daarmee (|AP| + |BP|) door de afgeleide hiervan naar lambda nul te stellen.
Dit levert

\(805\lambda^2+6560\lambda+11200 = 0\)

\(\Rightarrow \lambda = \frac{-56}{23}\)

(de tweede oplossing vervalt: dat is een valse oplossing door kwadrateren onderweg).

[ukster]

Mooi..

minimale omtrek 2361 keer bekeken

[RedCat]

Meetkundige oplossing:
A = (-2, 0)
B = (1, 5)
l: y = (1/2)*x - 3
definieer A' = spiegelbeeld van A in lijn l:
- loodlijn op l door A: m: y = -2x - 4
- beeldpunt van A: A' = (6/5, -32/5)
noem k = de lijn door A' en B:
k: y = -57x + 62
Dan is P het snijpunt van lijnen l en k:
P = (26/23, -56/23)

[ukster]

Een (nogal bewerkelijke) meetkundige oplossing op basis van de evenwijdige lijnen k: en l:
lijn m: en de normaallijn n:
attachment=0]meetkundige oplossing minimale omtrek.png[/attachment]