normaalkracht

[ukster]

Een dunne uniforme staaf met massa m waarvan het onderste uiteinde op een wrijvingsloze tafel rust, wordt losgelaten onder een hoek Θ_o ten opzichte van de verticaal. Op basis van de afgeleide formule N=mg/(1+3sin²Θ_o) zal dus de kleinst mogelijk voorkomende normaalkracht op de staaf op infinitesimaaltijd na loslaten ongeveer mg/4 zijn ? (Θ_o≈89,9999 …..°)

[irArjan]

Waar komt die afgeleide formule vandaan? sinΘ is alleen gelijk aan 1 als Θ gelijk is aan 90 graden, maar dan ligt je staaf horizontaal op tafel.

Wat bedoel je met 'kleinst mogelijk voorkomende normaal kracht'?

Volgens mij is de kracht in lengte richting van de staaf t.g.v. de zwaartekracht gelijk aan N = mg*cos(Θ)

[ukster]

Waar komt die afgeleide formule vandaan? sinΘ is alleen gelijk aan 1 als Θ gelijk is aan 90 graden, maar dan ligt je staaf horizontaal op tafel.

staaf 2880 keer bekeken

Afleiding Normaalkracht N

Wat bedoel je met 'kleinst mogelijk voorkomende normaal kracht'?
De Normaalkracht bij net geen 90°

Normaalkracht 2880 keer bekeken

Volgens mij is de kracht in lengte richting van de staaf t.g.v. de zwaartekracht gelijk aan N = mg*cos(Θ)

zie afleiding Normaalkracht N

[irArjan]

Wat er hier niet goed gaat is dat je de beginwaarden te vroeg invult. Dat doe je al in de stap \(\ddot{y} = a_y=-\frac{l}{2}\ddot{\theta}\sin(\theta_0)\) maar dat is te vroeg. Daardoor valt de \(\dot{\theta}\) term te vroeg uit je analyse, terwijl die term de oplossing juist zo moeilijk maakt.

Wat je uiteindelijk moet oplossen zijn de gekoppelde, niet lineaire differentiaal vergelijkingen \(\Sigma F_y = ma_y\) en \(\Sigma M = I\alpha\). Dat wordt dan volgens mij deze vergelijkingen: \[N - mg = -m\frac{l}{2}\left(\dot{\theta}^2\cos(\theta) + \ddot{\theta}\sin(\theta)\right),\] \[\frac{l}{2}N\sin(\theta) = I\ddot{\theta}\] Dit zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden (\(\theta\) en \(N\)) die je moet integreren van \(t=0\) tot \(t\). De beginwaarden kan je pas bij dit integreren toepassen, niet eerder. Het analytisch integreren van dit stelsel vergelijkingen is geen sinecure (voor mij iig ), dus je zal het numeriek moeten doen.

Als ik dat doe, en ik heb geen foutjes gemaakt kom ik op het volgende plaatje, zie hieronder. De minimale \(N = 9.4N\) op \(\theta = 45^{\circ}\) En daarbij heb ik een massa van 1kg, een lengte van 2m en een \(\theta_0\) van 1 graad gebruikt.

[irArjan]

Laat dat plaatje maar zitten, daar klopt niks van . Iets te snel op de 'solve' knop gedrukt. Misschien dat ik het later nog eens probeer.

[ukster]

Dat wordt dan volgens mij deze vergelijkingen: \[N - mg = -m\frac{l}{2}\left(\dot{\theta}^2\cos(\theta) + \ddot{\theta}\sin(\theta)\right),\] \[\frac{l}{2}N\sin(\theta) = I\ddot{\theta}\] Dit zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden (\(\theta\) en \(N\))

Klopt helemaal!
Isoleren van de hoekversnelling uit de 2e vergelijking en invullen in de 1e vergelijking levert:

Normaalkracht op staaf 2507 keer bekeken

[irArjan]

Op die manier kan je echter geen initiële condities mee geven, dat was mijn eerdere punt ook.

De relatie waar je mee eindigt is alleen geldig op de initiële conditie, dus als \(\theta = \theta_0\). Die vergelijking zegt dus alleen wat op \(t = 0\) en niet later. Wat je ook kan zeggen is dat je alle initiële condities tegelijk moet mee geven, en dan eindig je met:

\[
N = \frac{mg}{1 + 3\sin^2\theta_0}
\]

wat dus niks zegt over het verloop van \(N\) over \(\theta\)

[ukster]

De relatie waar je mee eindigt is alleen geldig op de initiële conditie, dus als \(\theta = \theta_0\). Die vergelijking zegt dus alleen wat op \(t = 0\) en niet later.
wat dus niks zegt over het verloop van \(N\) over \(\theta\)

Klopt, maar de vraag was dan ook: Wat is de normaalkracht N die de tafel uitoefent op de staaf op infinitesimaaltijd na loslaten. . niet meer en niet minder!

[irArjan]

Ok, als je vraag was wat de normaal kracht N is als functie van de beginwaarde van de hoek, dan is dit je antwoord idd. Maar ik had de vraag geïnterpreteerd als: "klopt het dat de minimale reactiekracht direct na het loslaten optreed" (en dus niet later na het loslaten...)

Anyway, dan zijn we eruit

[irArjan]

Om toch nog even het juiste plaatje te produceren, dit is dus wat er gebeurd als je de staaf los laat

[ukster]

Als de staaf wordt losgelaten op θ=0° komt de onderkant van de staaf volgens dit plaatje los van de ondergrond bij ca 64,7°
(m=1kg, L=1m)

vallende staaf 2267 keer bekeken

[ukster]

vallende staaf 2229 keer bekeken

op basis van deze uitleg.

[ukster]

Niet dus .... slordigheidje
Denk dat dit wel goed is.

[irArjan]

Net niet hetzelfde als wat ik heb:

Dit is wat ik in ode45 stop:
\[ \ddot{\theta} = \left[ \frac{m}{2} Lg\sin\theta - \frac{m}{4} L^2\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta\right] / \left( \frac{m}{12}L^2(1+3\sin^2\theta \right) \]

Met \(\theta(0) = 0.01\pi/180 \) en \(\dot{\theta}(0)\) = 0.

Hier komt \(\theta\) en \(\dot{\theta}\) uit. Vervolgens bereken ik \(\ddot{\theta}\) gewoon met \(d\dot{\theta} / dt\) en daarna \(N\) uit deze vergelijking:
\[
N = mg - m \frac{L}{2} \ddot{\theta} \sin(\theta) - m \frac{L}{2} \dot{\theta}^2 \cos(\theta)
\]

Hier komt bij mij dit uit:

[irArjan]

Oh, wacht, ik heb \(L = 2m\)... Met \(L=1m\) krijg ik wel hetzelfde idd

(oh, mijn labels staan verkeerd)