limiet berekenen

[aadkr]

Geachte forum gebruikers,
Deze limiet kan worden berekent met ,L Hopital

\(\lim_{x \to 2} \frac{x^{4}-3x^{2}-4}{x^{3}+x^{2} -12} \)

het antwoord zou moeten zijn 5/4
maar als ik geen kennis heb van de regel van ,L Hopital, kan dan deze limiet ook op een andere manier berekent worden??

[RedCat]

Als teller en noemer beide nul opleveren voor x=2,
dan kan je (x-2) uit teller en noemer delen:

\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{4}-3x^{2}-4}{x^{3}+x^{2} -12} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^3 + 2x^2 + x + 2)}{(x-2)(x^2 + 3x + 6)}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to 2}\frac{x-2}{x-2} \cdot \lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 3x + 6} = \; ...\)

[aadkr]

Geachte RedCat,
Bedankt voor je antwoord.
Maar mag ik vragen hoe je gezien hebt dat je de teller en de noemer kan delen door (x-2)

[RedCat]

Gegeven:

\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{4}-3x^{2}-4}{x^{3}+x^{2} -12}\)

Als we deze limiet proberen uit te rekenen door x gelijk aan 2 te maken, dan krijgen we

\(\frac{2^4-3\cdot 2^2-4}{2^3+2^2 -12} = \frac{0}{0}\)

Maar dat betekent dat x=2 een oplossing is van x^4 - 3x^2 - 4 = 0,
en dat (x-2) een factor is van de veelterm x^4 - 3x^2 - 4.
Deze veelterm kunnen we daarom schrijven in de vorm (x-2)(ax^3+bx^2+cx+d)
voor te bepalen constanten a, b, c en d.

Soortgelijk voor de veelterm in de noemer.

Bovenstaande is een directe toepassing van de Hoofdstelling van de algebra,
zie bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoofdstel ... de_algebra