1 probleem 3 oplossingen

[Naessens]

Dit is niet een vraag, maar een verzoek!

Het verzoek is, om alleen antwoord te geven als in 1 keer de drie verschillende oplossingen kan worden gegeven. Met uitzondering over reacties op het onderwerp.

Het probleem

Als een klok op twee uur staat, hoelang duurt het voor de grote wijzer, om de kleine wijzer in te halen? Nauwkeurig tot op 1 seconde.

oplossingen (zijn mij bekend)
1) met algebra (wetenschap)
2) met reeksen (computer techniek)
3) hoofdrekenen (gezond verstand, geen hulpmiddelen gebruiken)

succes

[tempelier]

Vroeger al een zoiets opgelost.

Kan heel simpel via de hoeksnelheid.


PS.
Vroeger was dat een standaard sommetje onder ingeklede vergelijkingen.

[aadkr]

hoezo 3 oplossingen.
volgens mij zijn er 2 oplossingen dat zijn 2 uur in de nacht en 14:00 uur in de middag.
maar in werkelijkheid is er maar 1 oplossing.

[aadkr]

2 uur betekend 2:00 uur
Zie het bericht van tempelier
de hoeksnelheid omega van de grote wijzer is pi gedeeld door 1800 rad/sec
de hoeksnelheid van de kleine wijzer is pi gedeeld door 21600 rad/sec.

[aadkr]

nog even voor de duidelijkheid.
Er is 1 oplossing als je ervan uitgaat dat je het tijdsinterval bekijkt dat de kleine wijzer loopt van 3:00 uur tot 4:00 uur.

[RedCat]

Als je 3 manieren van oplossen bedoelt (die alle 3 tot de enige oplossing leiden):

1) met hoeksnelheden, zie de eerdere berichten hierboven.

2) een oneindige reeks: als in Zeno's paradox (met de grote wijzer = Achilles; de kleine wijzer = de schildpad):
- na 10 minuten is de grote wijzer op de oude positie van de kleine wijzer (2uur), maar dan is de kleine wijzer inmiddels al (1/12)*10 minuten verder
- na nog eens (1/12)*10 minuten is de grote wijzer op de oude positie van de kleine wijzer (2uur+(1/12)*10 minuten), maar dan is de kleine wijzer al (1/12)*(1/12)*10 minuten verder
etc.
De wijzers staan dus gelijk na

\(10 \cdot \displaystyle \sum_{i=0}^\infty \left(\frac{1}{12}\right)^i = 10 \cdot \frac{1}{1-(1/12)} = 10 \cdot \frac{12}{11} = 10\frac{10}{11}\)

minuten

3) Derde alternatief:
De grote en kleine wijzer staan per 12-uurs cyclus met regelmatige tussentijden 11 keer op elkaar,
dat is elke 60*(12/11) minuten, ofwel elke 60 + (60/11) minuten.
Modulo 60 minuten levert dat 60/11 minuten verder per keer = 5 + (5/11) minuten per keer
Gerekend vanaf 12 uur is dit de eerste keer tussen 1 en 2 uur,
en de tweede keer tussen 2 en 3 uur, en deze tijd zoeken we.
Dat is dus 2*(5+(5/11)) minuten ofwel 10 + (10/11) minuten.

[ukster]

θ=ωt

hoeksnelheid 1768 keer bekeken

[RedCat]

ad optie 1: hoeksnelheden:

Of beschouw de beweging lineair, met lengte-eenheid = L = de afstand tussen de minutenstreepjes op de klok, en tijd-eenheid = de minuut:

Grote wijzer: snelheid = 1 L/minuut, start vanaf L=0:
x(t) = 1*t + 0
Kleine wijzer: snelheid = (1/12) L/minuut, start vanaf L=10:
x(t) = (1/12)*t + 10

Samenstand:
t = (1/12)t + 10
(11/12)t = 10
t = 120/11 = 10+(10/11) minuut

[Naessens]

RedCat heeft het goed begrepen, bedankt.
De derde methode had ik iets anders, maar het resultaat is uiteraard het zelfde.
Namelijk:
Om tot 12:00 uur te komen moet de grote wijzer 11 keer een inhaal manoeuvre uitvoeren. Om van de stand 11:00 uur tot 12:00 uur te komen heeft de grote wijzer 5 minuten nodig. Dat zijn 300 seconden. 300/11 is 27,27... seconden.
Om vanaf de stand 2:00 uur bij de kleine wijzer te komen heeft de grote wijzer
10 min. + 2 * 27,27 sec.dat is 10 min. plus 54 sec. nodig.