Ik zal laten zien hoe je dit kunt vinden op een 'hands on' manier, dus zonder veel voorkennis van homogene coördinaten, partiële afgeleiden en eigenwaarden- en vectoren.
eerst zullen we de noemers al wegwerken:
234x2+106y2+96xy−520x−940y−2350=0(1)
Het idee is om een verschuiving en daarna een rotatie van het assenstelsel toe te passen, zodanig dat de nieuwe vergelijking de vorm x²/a²+y²/b²=1 wordt.
Eerst de verschuiving. We willen een verschuiving van het assenstelsel zodanig dat de x-term en y-term in (1) wegvalt. Daartoe verschuiven we (0,0) naar het voorlopig onbekende punt (r,s):
{x=x′+ry=y′+s(∗)
Ingevuld in vergelijking (1) geeft:
234r2+96rs+468rx+96ry−520r+106s2+96sx+212sy−940s
+234x2+96xy−520x+106y2−940y−2350=0(2)
We willen geen lineaire term, dus we stellen:
{468r+96s−520=096r+212s−940=0
Dit stelsel heeft als oplossing r=2/9 en s=13/3. Als we deze r en s invullen in vergelijking (2), krijgen we:
234x′2+106y′2+96x′y′−40000/9=0(3)
Nu willen we nog de term in x'y' wegwerken. Dit doen we door het (x',y')-assenstelsel te roteren over een voorlopig onbekende hoek θ:
{x′=cosθ⋅x″−sinθ⋅y″y′=sinθ⋅x″+cosθ⋅y″(∗∗)
De vergelijking wordt:
(234cos2θ+106sin2θ+96cosθsinθ)x″+(234sin2θ+106cos2θ−96sinθcosθ)y″
+(−234⋅2cosθsinθ+106⋅2sinθcosθ+96(cos2θ−sin2θ))x″y″−400009=0(4)
De term in x"y" moet wegvallen, dus stellen we
−128⋅2cosθsinθ+106⋅2sinθcosθ+96(cos2θ−sin2θ)=0
We weten uit goniometrie
sin2θ=2sinθcosθcos2θ=cos2θ−sin2θ
Dus kunnen we de voorwaarde herschrijven als
−128sin2θ+96cos2θ=0⇔−4sin2θ+3cos2θ=0
Hieruit is het niet moeilijk om θ te berekenen met een rekenmachine, maar we willen graag exacte waarden, dus moeten we nog wat meer pijn lijden. We vervangen sin 2θ en cos 2θ door een uitdrukking in tan θ (m.b.v. de 't-formules')
−4⋅2tanθ1+tan2θ+3⋅1−tan2θ1+tan2θ=0
⇔−8tanθ+3(1−tan2θ)=0⇔3tan2θ+8tanθ−3=0
Deze vierkantsvergelijking heeft discriminant 100 en als oplossingen voor tan θ:
tanθ=−8±106=−3 of 13
Kies nu (bijvoorbeeld) de θ uit het vierde kwadrant met tangens -3. Visueel gaan we nu het assenstelsel roteren over een hoek Bgtan(-3). Uit de tangens bereken we (met de grondformule) nog de sin en de cos, terwijl we wat betreft de tekens rekening houden met het feit dat we θ in het vierde kwadrant gekozen hebben.
cosθ=1√1+tan2θ=1√10sinθ=−√1−cos2θ=−3√10
Als we deze waarden invullen in vergelijking (4), vinden we:
90x″2+250y″2−400009=0⇔x″2(20√109)2+y″2(4√103)2=1
We hebben dus in dit (x",y")-assenstelsel een ellips die als assen de coördinaatassen heeft, met halve lange as a=20√10/9 en halve korte as b=4√10/3. De parameter voorstelling van deze ellips in dit coördinatenstelsel is:
{x″=20√109costy″=4√103sint
Als we dit invullen in (**), bekomen we
{x′=cosθ⋅20√109cost−sinθ⋅4√103sint=209cost+4sinty′=sinθ⋅20√109cost+cosθ⋅4√103sint=−203cost+43sint
Vullen we dit tenslotte nog in in (*):
{x==209cost+4sint+29y=−203cost+43sint+133
Als je nu nog precies hetzelfde vergelijkingen wil bekomen, moet je nog een substitutie
t=t′+90°
doen. Dan wordt sin t=cos t' en cos t=-sin t'. Als we een andere mogelijkheid voor θ hadden gekozen (in het 1ste kwadrant), was dit ineens op jouw versie uitgekomen.