Kubus door kubus.

[tempelier]

Dit is wel een aardig iets om aan te rekenen.

Als men een gat boort in een kubus met ribbe 1 waar een andere kubus door moet kunnen.
Wat is dan de maximale grootte van die andere kubus?

PS.
Het vraagstuk stamt niet van mij maar van Martin Gardner's rubriek in Scientific American

[kwasie]

Wortel (3/4) ?

[tempelier]

Nee, je boort het gat verkeerd denk ik.

[Rik Speybrouck]

[shimmy]

Maar in de vraag wordt specifiek over boren gesproken, dan impliceert toch een cirkelvormig gat? Overal waar deze animatie wordt gebruikt spreekt men over snijden hetgeen een vierkant gat mogelijk maakt. Neemt niet weg dat je de boor wel op de punt van de kubus zal moeten zetten denk ik.

[kwasie]

Als in zo'n vraag gewicht van belang is, neem ik aan op aarde en niet op de maan, tenzij anders gegeven.
Bij boren neem ik aan dat het om een cirkelvormige uitsnede gaat.

[tempelier]

Men moet over de lichaamsdiagonaal boren dan kan men er een kubus door duwen die iets groter is als de eerste.

[OOOVincentOOO]

Net een CAD tekening gemaakt. Leuke oefening om mijn skills up to date te houden. Bedoeld men zoiets als onderstaande figuren?

Figuur 1 gat definitie
Figuur 2 met iets kleiner gat
Figuur 3 met bijna maximaal gat

Is het resterende figuur met gat dan nog een cubes, twee hoekpunten ontbreken? Lijkt mij meer een definitie questie. Lijkt mij een erg flauwe opdracht dan dat het afhangt van de definitie.

[Rik Speybrouck]

volgens mij heeft de vraagsteller het wel degelijk over een cubus die door een andere cubus wordt geduwd, dus niet via een cirkelvormig gat (boren is misschien een beetje slecht gekozen). Wanneer een kubus met zijde x door een kubus met zijde 1 eenheid wordt geduwd dan is x gelijk aan 1.06066. Deze constructie wordt ook wel de Prince Rupert cubus genoemde

[shimmy]

Ik lees toch duidelijk: “ als men een gat boort”.... Dat lijkt me hier de basis van de opgave.

[OOOVincentOOO]

Misschien niet geheel de opgave maar ik heb nog een plaatje gemaakt. Ik ben overgestapt naar Fusion360 een tijdje geleden. Wat duidelijker dan de voorgaande. Ik zal verder de topic niet onnodig storen.

Dadelijk eens proberen met Prince Rupert cube.

Maar dienen de hoekpunten van de orginele vierkant behouden te blijven?

[tempelier]

Het begrip boren moet inderdaad wat ruim worden opgevat.

De naam Prince Rupert cubus wist ik niet (meer?).

[OOOVincentOOO]

Door een gat in een kubes met ribben 1 kan maximaal een zelfde kubes passen met ribben <1. Visueel in CAD is het makkelijk te zien en te meten. Ik heb nog enkele berekeningen gedaan om het te verifieeren.

Ik heb gebruikt gemaakt van twee projecties:

Projectie M: is loodrecht op een lichaamsdiagonaal. Hier is een hexagon te herkennen van de kubus (lengte 1). Ook de ingeschreven circel is geketekend. Uiteinde moet de 2e kubes inschreven worden in de circel.

Projectie N: Is loodrecht op een zijde diagonaal. In deze tekening is ook get gat aangegeven en de uiterste punten van de hexagon.

Aanpak:
Het bepalen van diameter inschreven circel afstand: QP.

Stap 1: Bepalen afstand AB (hexagon)

Afstand HK is de afstand van zijde diagonaal tot een hoekpunt:

$$HK=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Dit betekend dat het figuur zich verhoud als een A4 papier (of ander Ax). De eigenschap is dat bij het haleren de verhoudingen steeds behouden blijven. Meer info op i-net te vinden.

Bepalen afstand JO en dus ook AB (2*HO).

Door de eigenschappen A4 papier is de verhouding:

$$R=\frac{HO}{HI}=\frac{OK}{JK}$$

Afstand HO kan bepaald worden uit de intersectie van de twee lijnen: HI en JK.

$$y_1=\frac{1}{\sqrt{2}}x$$
$$y_2=-\sqrt{2}x+1$$
$$y1=y2$$
$$x=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt2}+\sqrt{2}}, \ y=\frac{1}{3}$$
$$OH=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Zodat de verhouding R bepaald kan worden:

$$R=\frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}=\frac{OK}{JK}$$
$$JK=\sqrt{1+(1/\sqrt{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
$$JO= \sqrt{\frac{2}{3}}$$
$$AB=2 \cdot JO=2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$$

De ingeschreven circel diameter PQ kan dan bepaald worden aan de hand van de: 30-60-90 driehoek (1-2-√3).

$$\sqrt{3} \propto \frac{1}{2} \cdot QP , \ 2 \propto \sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$QP=\sqrt{2}$$

Het ingeschreven vierkant dient dan ribben 1 te hebben 1-1-√2 driehoek.

Het is erg knap als iemand dit zou kunnen doen zonder een goede schets te hebben. Erg leuke opgave.

[kwasie]

Dus door een geboord gat in een kubus kan een kubus die 40% groter is? (QP = wortel 2)

[OOOVincentOOO]

Nee, een kubes (kleiner gelijk) van dezelfde afmetingen kom ik op uit. QP is de diagonaal van de kubes zijde. Had ik niet goed vermeld.