Sinus gedefinieerd als Taylor-reeks

[Professor Puntje]

Een ander topic riep bij mij de vraag op hoe je nog kunt bewijzen dat de sinusfunctie de gebruikelijke meetkundige betekenis in een rechthoekige driehoek heeft (als het quotiënt van de lengtes van de overstaande zijde en de hypotenusa) indien je de sinusfunctie langs analytische weg definieert als de bijbehorende Taylor-reeks.

[Math-E-Mad-X]

Definieer twee functies: sinA en sinB.

sinA is gedefinieerd via de Taylor-reeks, en sinB is gedefinieerd via de gebruikelijke meetukindige manier. In het topic waar je naar refereerd staat uitgelegt hoe je de afgeleide van sinB kunt berekenen. Als je dat eenmaal weet (en hoe je de afgeleide van de cosinus berekent) dan kun je de Taylor-reeks van sinB berekenen, en dan hoef je alleen nog maar te laten zien dat die Taylor-reeks gelijk is aan de reeks waarmee sinA was gedefinieerd.

[Professor Puntje]

Aha! Inderdaad, zo simpel kan het zijn.