4 = x³ wat is X?

[Knightattack]

Hoi allen, ik ben nieuw hier.

Mag ik vragen of er een manier bestaat om deze som te berekenen zonder rekenmachine?
4 = X tot de 3de macht (X3)
Wat is X?
Hoe kan dit op papier worden berekent?

[klazon]

Een mogelijkheid die ik zie is iteratie. Dat is simpel gezegd herhaald proberen.
Je kunt zo uit je hoofd al bepalen dat 1 te weinig is en 2 te veel. Dan probeer je 1,5.
Doe dat tot de derde macht en je ziet dat dat nog te weinig is. Dan probeer je iets tussen 1,5 en 2, b.v. 1,7. Dat is te veel. Je gaat dan het gebied tussen te weinig en te veel steeds verder inperken tot je een benadering hebt die goed genoeg is.

[jkien]

Wikipedia laat zien hoe je het ouderwets kunt oplossen in de stijl van een staartdeling, met pen en papier. Bijvoorbeeld \(\sqrt[3]{3} = 1.44224...\):

[Knightattack]

Geweldig, bedankt voor de reacties.

[efdee]

Ik kende deze methode alleen voor vierkantswortels.

[tempelier]

Ik kende deze methode alleen voor vierkantswortels.

Er zijn ook maar weinig oude leerboeken waar dit instaat.
Werd zo ver ik weet ook niet behandeld op de Middelbare school.

Ik bezit een oud Duits tabellen boek waarin het wordt behandeld.
Die doen het wel met zevenmijlslaarzen door net te doen of we met een honderdtallig stelsel werken.

[kwasie]

Zijn er eigenlijk wortels van getallen die een kommagetal als uitkomst hebben die niet irrationeel zijn?

[jkien]

Bijvoorbeeld √0,16 = 0,4 ?

[flappelap]

Je zoekt dan het nulpunt van f(x) = x^3 -4. Dit kun je doen met de methode van.Newton-Raphson, zie Wiki, een iteratieve methode:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Methode_v ... on-Raphson

En welkom

[kwasie]

Ik doelde op natuurlijke getallen want:

\(\sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}=0,4\)

Zo kan ik dat terugleiden naar wortels van getallen waar geen kommagetal uitkomt.

[tempelier]

Ik doelde op natuurlijke getallen want:

\(\sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}=0,4\)

Zo kan ik dat terugleiden naar wortels van getallen waar geen kommagetal uitkomt.

Dit kan ook:

\(\sqrt{0,16}=\sqrt{\dfrac{16}{100}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}=\dfrac{4}{10} = \frac{2}{5}\)

Deze lijkt me handzamer omdat er snel mee kan worden aangetoond of er zo'n echte breuk wel of niet bestaat.

[OOOVincentOOO]

Je zoekt dan het nulpunt van f(x) = x^3 -4. Dit kun je doen met de methode van.Newton-Raphson, zie Wiki, een iteratieve methode:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Methode_v ... on-Raphson

Uitwerking:

Newton Raphson 3418 keer bekeken

\(x=4^{1/3}=1.587401...\)

[Xilvo]

Zijn er eigenlijk wortels van getallen die een kommagetal als uitkomst hebben die niet irrationeel zijn?

Stel

\(\sqrt{x}=\frac{a}{b}\)

met x, a en b gehele getallen en a/b niet verder te vereenvoudigen. a en b hebben geen gemeenschappelijke factoren.

Dan

\(b^2 .x=a^2\)

Dat betekent dat x een kwadraat moet zijn.
Dan moet a/b een geheel getal zijn en b dus gelijk aan 1.

Het antwoord is dus nee.

[tempelier]

Er is iets bijzonders met die iteratie formule.

De oude Grieken kende die ook (of voor 3 in plaats van 4)

Ik heb nooit kunnen vinden hoe ze die gevonden hebben.
Niet zoals hier want het hele begrip afgeleide was ze onbekend.

[tempelier]

Zijn er eigenlijk wortels van getallen die een kommagetal als uitkomst hebben die niet irrationeel zijn?

Stel

\(\sqrt{x}=\frac{a}{b}\)

met x, a en b gehele getallen en a/b niet verder te vereenvoudigen. a en b hebben geen gemeenschappelijke factoren.

Dan

\(b^2 .x=a^2\)

Dat betekent dat x een kwadraat moet zijn.
Dan moet a/b een geheel getal zijn en b dus gelijk aan 1.

Het antwoord is dus nee.

Dat bewijs is eigenlijk niet goed, maar wordt wel vaak zo gegeven op de middelbare school.