Fourier analyse en synthese

[Professor Puntje]

In Microsound van Curtis Roads lezen we dit:

Klopt dat? Kun je inderdaad ook de volgorde van deelsignalen uit de Fourier getransformeerde van een totaalsignaal terugvinden?

[Xilvo]

Wat bedoel je met volgorde? Wanneer bijvoorbeeld een bepaalde toon klinkt en hoe lang?

[Professor Puntje]

Inderdaad wanneer die klinkt, maar niet hoelang. Enkel het tijdstip waarop noten door bepaalde instrumenten gespeeld worden variëren we. Dus de vraag is: Maakt het voor de Fourier transformatie uit waar (op welk tijdstip) in een muziekstuk een bepaalde noot gespeeld wordt?

[Xilvo]

Maakt het voor de Fourier transformatie uit waar (op welk tijdstip) in een muziekstuk een bepaalde noot gespeeld wordt?

Ja.

Niet voor de sterkte van de frequentiecomponenten maar wel voor de fase.

[Professor Puntje]

En uit die fase kun je dat exacte tijdstip weer terugvinden? Ook als een noot bijvoorbeeld twee keer in het muziekstuk voorkomt?

[Xilvo]

En uit die fase kun je dat exacte tijdstip weer terugvinden? Ook als een noot bijvoorbeeld twee keer in het muziekstuk voorkomt?

Ja, die fase samen met de frequenties en hun amplitude bepalen hoe een bepaalde toon klinkt.
Komt die toon twee keer voor, dan tel je de componenten die voor die tweede toon verantwoordelijk zijn gewoon op bij die eerste componenten.
Ieder van die frequenties die voor die tonen verantwoordelijk zijn krijgt dan een nieuwe amplitude en fase.

Het tijdstip/de tijdstippen ligt/liggen daardoor vast maar of er een makkelijke manier is die terug te vinden zonder in ieder geval het signaal gedeeltelijk te reconstrueren betwijfel ik.

[OOOVincentOOO]

Dit wil ik ook beter begrijpen. Volgens mij begrijp ik de vraag niet.

Hoe ik begrijp:

• De tijdcomponent bestaat toch niet meer in de Fourier getransformeerde?

• Op een bepaald tijdinterval bepaal je het spectrum/Fourier getransformeerde toch?

• Door het onzekerheidprincipe Fourier. Kun je de positie van hoge tonen/frequenties beter vaststellen dan lage frequenties. Zie Gabor limit (wiki: a function and its Fourier transform cannot both have bounded domain) het vaststellen van de frequentie heeft een bandbreedte.

Aangezien het frequentie spectrum bepaald word op een tijdinterval kun je toch nooit precies weten wanneer de noot gespeeld is (het vaststellen van de frequentie heeft een bandbreedte)?

Wat is er verkeerd met mijn logica kennis?

[Xilvo]

Een toon heeft niet één tijdstip maar een tijdsduur.
Is die duur oneindig lang, dan heb je exact één frequentie.

Bij een beperkte duur moet je frequenties rond de basisfrequentie van die toon bij elkaar optellen. Hoe korter de duur van de toon, hoe breder het frequentiegebied moet zijn.

Is dit wat je bedoelt?

[OOOVincentOOO]

Inderdaad dankjewel Xilvo.

Dus uit het artikel:

Indien men het spectrum bepaald in een korter tijdstip:

Intuïtie:
Hoe korter de toon (sample) des te onnauwkeuriger de frequentie bepaald word, korte slag op snare drum (heeft geen definieerbare toonhoogte) versus arco (strijkstok spelen) viool het toon lang aanhouden een definieerde toonhoogte. Let maar eens op het stemmen bij een symfonieorkest men houdt altijd lange tonen aan.

Hetzelfde voor de frequentie van de toon, hoge frequenties worden nauwkeurig bepaald dan lage frequenties. Het hoge zoemen van een mug kun je volgen in een kamer. Een luidspreker set heeft maar een lage bas speaker nodig (speakerset PC bijvoorbeeld) omdat de positie van de bas niet bepaald kan worden.

Wiskundige basis:
De Fourier transformatie van een Dirac delta de ultieme korte toon heeft een constante 1 als Fourier getransformeerde, een oneindige bandbreedte dus.

Anderzijds heeft een: exp(-x^2)*cos(x) een voorbeeld van een tijdgelimiteerde aangehouden toon heeft een spectrum evenredig met een normaal verdeelde vorm als: exp(-ω^2) zie: Wolfram, dus hoe hoger de frequentie des te smaller het spectrum.

Maar heeft dit met de vraag van doen? Of ben ik als gewoonlijk aan het wegdwalen van de vraag?

[HansH]

je kunt van een signaal een fourier transformatie doen en omgekeerd kun je al die frequenties met fase weer bij elkaar optellen en dan krijg je het oorspronkelijke signaal weer terug. (voor zover je de hoge frequenties hebt meegenomen en afgezien van wat schoonheidsfoutjes zoals oneindig hoge pulsen bv bij een blokgolf op de flanken). Dus ja dan zie je het moment waarop een fluit speelt of instrument ook weer terug. Ik heb dat wel eens met mathcad gebrobeerd voor een niet al te ingewikkeld signaal anders duurt de berekening wat langer.

[Xilvo]

Hetzelfde voor de frequentie van de toon, hoge frequenties worden nauwkeurig bepaald dan lage frequenties. Het hoge zoemen van een mug kun je volgen in een kamer. Een luidspreker set heeft maar een lage bas speaker nodig (speakerset PC bijvoorbeeld) omdat de positie van de bas niet bepaald kan worden.

Maar heeft dit met de vraag van doen? Of ben ik als gewoonlijk aan het wegdwalen van de vraag?

Het klopt wat je schrijft, maar bij die bepaling die ik hier citeer haal je twee dingen door elkaar.

Een hoge toon van een zeker tijdsduur, gemeten in aantal periodes, is relatief even nauwkeurig bepaald als een lage toon met eenzelfde aantal periodes.
De bandbreedte gedeeld door de centrale frequentie is dan gelijk.

Richting bepalen heeft met onze bouw te maken, bij lage frequentie is het faseverschil tussen de twee oren te klein om nog een richting te kunnen bepalen. Ook buigen lange golflengtes makkelijker om ons hoofd zodat ook amplitudeverschillen tussen de oren onderling minder worden.

Bij heel hoge frequenties (pure tonen) krijg je weer andere problemen, als de afstand tussen de oren groter is dan de golflengte. In een ruimte kun je bovendien allerlei interferenties krijgen.
Bij samengestelde geluiden die veel frequenties bevatten zoals die drumtik heb je dat niet of veel minder.

[OOOVincentOOO]

Klopt , ik liet de intuitie iets te ver gaan. Inderdaad, het stereo effect is doorslaggevend bij positioneren geluid.

Inderdaad, het aantal cycles is doorslaggevend bij frequentie bepalen. Vandaar het voorbeeld lange tonen aanhouden bij het stemmen wat ik bedoelde! Bij korte tonen is het moeilijk de frequentie vast te stellen.

[HansH]

Hier een voorbeeldje;
een signaal F(t) met in dit geval 4 frequenties wordt fourier getransformeerd en daarna weer teruggetransformeerd.
Je ziet dan dat beide signalen precies gelijk zijn omdat in dit voorbeeld alle frequenties die erin zitten meegenmen zijn.

[Professor Puntje]

@HansH

Dat begrijp ik, maar het gaat mij om het geval van een aantal (zeg 4) tonen van eindige duur met onderling verschillende begin- en eindtijd. Keren die tonen na Fouriertransformatie en terug-transformatie ook weer met hun juiste begin- en eindtijden terug? Kun je dat ook laten zien?

[Xilvo]

Keren die tonen na Fouriertransformatie en terug-transformatie ook weer met hun juiste begin- en eindtijden terug? Kun je dat ook laten zien?

Beschrijving in het tijdsdomein (functiewaarde als functie van de tijd) en beschrijving in het frequentiedomein (amplitude en fase per frequentie, of complexe amplitude) zijn beide volledige beschrijvingen van een signaal.

Een Fouriertransformatie zet de een beschrijving in de andere om.

Heen- en terugtransformatie levert daarom het oorspronkelijke "signaal" weer op.