Fourier analyse en synthese

[Professor Puntje]

Goed - het boek waarmee ik dit topic begon heeft dus gelijk.

Is nog even de vraag hoe dat er in de praktijk uit ziet (bijvoorbeeld met vier sinustonen die op verschillende tijden klinken).

[Xilvo]

Als je alle frequenties in een interval rond een centrale frequentie met gelijke amplitude optelt (rechthoekige omhullende) (dan moet die amplitude natuurlijk oneindig klein zijn omdat dat oneindig veel frequenties zijn) dan krijg je een signaal met de centrale frequentie met een sinc-vormige (sin(x)/x vormige) omhullende.
Het signaal is het sterkst waar alle fases gelijk zijn. Tel je alleen cosinussen op dat is het signaal maximaal bij t=0.

Neem je niet alle frequenties in dat interval maar alle frequenties met een stap van Δf, dan herhaalt het signaal zich periodiek met periode T=1/Δf.

Neem je niet alle frequenties even sterk maar gebruik je in het frequentiedomein een sinc-vormige omhullende, dan krijg je in het tijdsdomein een signaal met een rechthoekige omhullend: Het signaal begint, blijft een zeker tijd even sterk, en stopt.

[Xilvo]

Dit is het resultaat als je de frequenties van 990 t/m 1010 Hz optelt, met Δf=0.01 Hz. In het eerste plaatje is de periodiciteit door die Δf nog niet te zien.

Hier is een andere tijdschaal gekozen (tijd steeds in seconde) en is de periodiciteit te zien:

[OOOVincentOOO]

Ja je krijgt het tijd signaal terug uit het frequentie signaal.

Echter de moraal van jouw artikel volgens mij:
Als je van het hele muziekstuk totaal de Fourier transformatie neemt kun je niets zeggen over de bepaalde frequentie (toonhoogte) van een gespeelde noot op tijdstip x. De tijdinformatie ben je dan kwijt om uit het spectrum te zien welke frequentie op welk tijdstip gespeeld is.

Je kunt dan zoals jouw artikel zegt over een kleiner tijdinterval het spectrum opnemen. Echter dan neemt de onnauwkeurigheid in het bepalen van de frequentie toe: dit is het onzekerheidsprincipe (dit is dezelfde zoals in QM).

In woorden van Xilvo wat het goed beschrijft: het aantal cyclussen neemt af (als je een kleiner sample neemt) dus de bepaalde frequentie is onnauwkeuriger.

Wiskundig:
exp(-x^2)*cos(x) een voorbeeld van een tijd gelimiteerde toon en heeft een spectrum signaal evenredig met een normaal verdeling: exp(-ω^2) Wolfram, dus hoe hoger de frequentie des te smaller het spectrum, ergo: de frequentie word beter bepaald als er meer cyclussen zijn.

[Xilvo]

Als je van het hele muziekstuk totaal de Fourier transformatie neemt kun je niets zeggen over de bepaalde frequentie (toonhoogte) van een gespeelde noot op tijdstip x. De tijdinformatie ben je dan kwijt om uit het spectrum te zien welke frequentie op welk tijdstip gespeeld is.

Die tijdinformatie ben je niet kwijt, die zit nog steeds in het signaal. Anders zou terugtransformeren niet het oorspronkelijke signaal kunnen opleveren.

Maar je kunt het inderdaad niet makkelijk zien, aan dat signaal in het frequentiedomein

[OOOVincentOOO]

Excuses, inderdaad ik bedoel het frequentie signaal heeft geen tijdinformatie.

Ik heb nog nagedacht over mijn voorbeeld van de: mug (makkelijke bepalen locatie) en de bas speaker (slecht bepalen locatie).

Zoals ik begrijp heeft richting gehoor twee factoren: intensiteit verschil tussen links en rechts en/of fase verschuiving tussen links en rechts. Het intensiteit verschil heeft niets te maken met Fourier of bandbreedten. Echter de fase verschuiving is toch wel voor te stellen als een radar system, zoals hier (echter zonder doppler dan): 3Blue1Brown maar dan met radar op twee locaties (twee oren)? Het spectrum tussen oren links en recht: De lage tonen hebben een breed spectrum waargenomen door oren (verschil tussen links rechts kan niet bepaald worden frequentie is slecht bepaald) dan is de locatie slecht waar te nemen t.o.v. een hoge frequentie mug?

Excuses als ik afdwaal dan moet topic starter maar ingrijpen.

[Professor Puntje]

@000Vincent000

Ik vind het niet erg zolang mijn eigen vragen uiteindelijk ook nog aan bod komen.

[Xilvo]

De lage tonen hebben een breed spectrum waargenomen door oren (verschil tussen links rechts kan niet bepaald worden frequentie is slecht bepaald) dan is de locatie slecht waar te nemen t.o.v. een hoge frequentie mug?

Ook lage frequenties kunnen uitstekend en met precisie bepaald worden.

Richtingsbepaling heeft te maken met ruimtelijk oplossend vermogen, niet op oplossend vermogen in het frequentiedomein.

Net als voor langgolvige EM straling een grotere schotel nodig is om een zekere resolutie te bereiken dan voor kortgolvige straling of licht, zo zal je ook een grote afstand tussen "oren" moeten hebben om de richting van de bron van laagfrequent geluid met een zekere precisie te bepalen.

[Xilvo]

@000Vincent000

Ik vind het niet erg zolang mijn eigen vragen uiteindelijk ook nog aan bod komen.

Welke zijn nog niet beantwoord?

[Professor Puntje]

@Xilvo

Deze:

@HansH

Dat begrijp ik, maar het gaat mij om het geval van een aantal (zeg 4) tonen van eindige duur met onderling verschillende begin- en eindtijd. Keren die tonen na Fouriertransformatie en terug-transformatie ook weer met hun juiste begin- en eindtijden terug? Kun je dat ook laten zien?

Goed - het boek waarmee ik dit topic begon heeft dus gelijk.

Is nog even de vraag hoe dat er in de praktijk uit ziet (bijvoorbeeld met vier sinustonen die op verschillende tijden klinken).

Dat wil zeggen ik zie nog graag een praktisch voorbeeldje van vier sinustonen van verschillende frequentie die op verschillend tijdstippen beginnen en stoppen en met een verschillende duur. En dan hoe dat totaalsignaal via de inverse transformatie uit de Fouriergetransformeerde van het totaalsignaal weer terug kan worden gevonden.

[OOOVincentOOO]

Dankjewel Xilvo,

Ik heb 3b1b nog goed bekeken en het gaat uitdrukkelijk om doppler radar voor snelheden te bepalen, het ging dus om het onzekerheid principe in relatie tot de snelheid en afstand (analoog aan Heisenberg momentum en positie).

Misschien was een vleermuis een betere intuïtie verklaring van het onzekerheid principe:
Een vleermuis gebruikt ultrasoon geluid om vliegende insecten te kunnen positioneren. Uit deze video hoor je ook dat hij korte pulsen gebruikt met grote tussenpozen Youtube Bat.

Om de locatie/afstand van het insect te bepalen kan hij/zij theoretisch de afstand tussen korte pulsen gebruiken vermoed ik.
Ik vermoed dat wanneer de vleermuis dichter bij de prooi is de langere tonen gebruikt om de met de frequentieshift dus de snelheid van de prooi te vinden en zijn route te bepalen.

Echter dit is intuïtie en niet gecontroleerd op internet.

[OOOVincentOOO]

Dat wil zeggen ik zie nog graag een praktisch voorbeeldje van vier sinustonen van verschillende frequentie die op verschillend tijdstippen beginnen en stoppen en met een verschillende duur. En dan hoe dat totaalsignaal via de inverse transformatie uit de Fouriergetransformeerde van het totaalsignaal weer terug kan worden gevonden.

Ik kan je wel een voorbeeldje maken. Maar dat kost me wel wat tijd. Ik weet nog niet in Python of Origin (de laatste is sneller en makkelijker maar dat lukt alleen op het werk).

Echter een vraag: Indien de sinussen abrupt eindigen en beginnen krijg je dirac delta pulsen. En een erg lelijk spectrum.

Kun je beter geen signaal gebruiken in de vorm van: sin(a*x)*exp(-b*x^2) zoals ik bij eerdere voorbeeld gaf? Tijd fase verschuiving en breedte pulsen is makkelijk in te stellen.

[Professor Puntje]

Echter een vraag: Indien de sinussen abrupt eindigen en beginnen krijg je dirac delta pulsen. En een erg lelijk spectrum.

Kun je beter geen signaal gebruiken in de vorm van: sin(a*x)*exp(-b*x^2) zoals ik bij eerdere voorbeeld gaf? Tijd fase verschuiving en breedte pulsen is makkelijk in te stellen.

Ja hoor - met zo'n gladde window is ook de bedoeling. Anders krijg je inderdaad allerlei artefacten.

[Xilvo]

Dat wil zeggen ik zie nog graag een praktisch voorbeeldje van vier sinustonen van verschillende frequentie die op verschillend tijdstippen beginnen en stoppen en met een verschillende duur. En dan hoe dat totaalsignaal via de inverse transformatie uit de Fouriergetransformeerde van het totaalsignaal weer terug kan worden gevonden.

Ik denk niet dat ik daar hier een antwoord op kan geven. Niet om dat het moeilijk is, maar omdat het veel werk is.

Heb je één enkel frequentie, die oneindig doorloopt, dan is het simpel.

Vermenigvuldig dat signaal met de frequentie waarvan je de sterkte in het spectrum wilt weten. Neem een sinus zowel als een cosinus, om de fase te weten te komen. Bepaal de integraal van dat vermenigvuldigde signaal

Bij een enkel frequentie is er maar één frequentie waarvoor die integraal niet nul is. Iedere frequentie die niet exact gelijk is gaat op den duur uit de pas lopen, dan, als je verder komt, weer in de pas en de integraal wordt nul.

Heb je een toon met eindige duur, bijvoorbeeld een toon van 1000 Hz die 1 seconde duurt, dan houd je ook nog wat over als de frequentie niet helemaal precies gelijk is. Die gaat pas merkbaar uit de pas lopen als de toon al opgehouden is.

Maar op een gegeven moment heb je de frequentie zover veranderd dat hij de eerste helft in fase loopt met de toon, bij de tweede helft in tegenfase. De integraal is nul, die frequentie is niet aanwezig.

Verder verandering geeft dat de eerste derde in fase is, de tweede derde in tegenfase, de derde derde weer in fase. Je houdt weer wat over. Zo ontstaat een sync-verloop voor de aanwezigheid van frequenties.

Bij optische buiging aan een spleet zie je iets soortgelijks.

Wil je precies zien hoe het werkt, dan moet je het doen voor heel veel frequenties. Dan heb je het spectrum (de Fourier transform).
Vervolgens moet je al die frequenties, met gevonden amplitude en fase, weer optellen om te zien dat jet het oorspronkelijke signaal terugkrijgt.

Dat is werk voor een computer. Met de hand duurt zelfs een eenvoudig voorbeeld je uren, misschien dagen, werk.

In Excel kun je Fourier transforms doen. Handig vind ik het niet, omdat je heel veel cellen nodig hebt om een behoorlijk signaal te maken.
En dan nog, je krijgt het resultaat van de software. De vraag is of dat veel extra inzicht geeft.

Maar je hoeft het maar voor één toon te doen. Tel je in het tijdsdomein twee signalen bij elkaar op, dan moet je in het frequentiedomein ook die signalen simpelweg optellen.

Dat betekent dat als je het hebt aangetoond voor één toon, het automatisch ook aangetoond is voor vier, of honderd tonen.

[Xilvo]

Ik kan je wel een voorbeeldje maken. Maar dat kost me wel wat tijd. Ik weet nog niet in Python of Origin (de laatste is sneller en makkelijker maar dat lukt alleen op het werk).

Met python gaat het prima.
De vraag is, als je een signaal laat zien, z'n transform en het teruggetransformeerde signaal, hoeveel overtuigender is dat dan iemand die zègt het gedaan te hebben en gezien te hebben dat het klopt?