Intuïtie Pi is irrationeel en transcendent

[OOOVincentOOO]

Bij een ander forum waar ik af en toe actief [1] ben komen geregeld mensen langs welke nieuwe definities voor \(\pi\) bedenken. Dit is een lange post maar wilde dit graag delen.

De meest creatieve maffe komen voorbij zoals: \(\pi=4/\sqrt{\varphi}\) waar \(\varphi\) de gulden snede. Er zijn mensen die oprecht geloven dat \(\pi\) bepaald word door \(\varphi\) omdat het "cosmologisch" zo is! Vaak is het een struikelblok dat veel mensen niet begrijpen dat \(\pi\) irrationeel en transcendent is. Het is moeilijk deze mensen goed uit te leggen waarom, wat vaak leid tot verwarrende niet overtuigende argumenten/bewijzen van experts. Deze experts weten het vaak ook niet goed te beschrijven omdat er weinig intuïtie is.

In mijn poging: had ik de volgende methode bedacht om intuïtief uit te leggen dat \(\pi\) irrationeel en transcendent is.

Methode:
Neem een superdun en flexibel stuk touw. De touwlengte start op 0 en eindigt op 1 (of ieder ander rationeel getal). Nu wordt het begin en uiteinde met elkaar verbonden, een gesloten lus word gecreëerd. Elke getal tussen 0 en 1 moeten bestaan, het stuk touw is immers continue zonder gaten.

Hoek meetmiddel:
Met behulp van een kompas en kunnen we een cirkel tekenen. De omtrek van de cirkel kunnen we verdelen in \(n\) gelijke stukken. Echter niet alle hoeken zijn te construeren. Het is bijvoorbeeld onmogelijk de omtrek te verdelen in \(9\) gelijke stukken.

Construeerbaar:

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48... (sequence A003401 in the OEIS),

Niet construeerbaar:

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31... (sequence A004169 in the OEIS).

Meer informatie: [wiki]

Het creëren van een cirkel met de lus touw:

1) Construeerbare hoek en construeerbare lengte: Ratio: \(n=4\).
- Neem een willekeurig punt op het touw en plaats dit in de oorsprong.
- Deel de lus op in \(n=4\) stukken:

• Methode 1: Vouw de lus dubbel en meet de lengte met een passer dit zijn 4 delen.

• Methode 2: We weten dat de totale touwlengte is 1. Met een passer en liniaal kunnen we dit lijnstuk opdelen in \(n=4\) gelijke stukken. Zie: [wiki]

- De hoek van de deel cirkel kunnen we bepalen met: \(360/4=90^{\circ}\)

• Voor \(n=4\) is de hoek meetbaar en construeerbaar.

- De gesloten symmetrische lus voor \(n=4\) is construeer en meetbaar.

2) Niet Construeerbare hoek en construeerbare lengte: Ratio: \(n=11\).
- Neem een willekeurig punt op het touw en plaats dit in de oorsprong.
- Deel de lus op in \(n=11\) stukken:

• Methode 1: Lus is niet op te vouwen in \(11\) gelijke delen.

• Methode 2: We weten dat de totale touwlengte is 1. Met een passer en liniaal kunnen we dit lijnstuk opdelen in \(n=4\) gelijke stukken. Zie: [wiki]

- De hoek van de deel cirkel kunnen we bepalen met: \(360/11=32.7272...^{\circ}\)

• Voor \(n=11\) Is de hoek niet meetbaar en construeerbaar.

- De gesloten symmetrische lus voor \(n=11\) is dus alleen mogelijk door deels te gokken.

3) Niet Construeerbare hoek en Niet construeerbare lengte: Ratio: \(n=\sqrt{2}\).
- Neem een willekeurig punt op het touw en plaats dit in de oorsprong.
- Deel de lus op in \(n=\sqrt{2}\) stukken:

• Methode 1: De lus is niet op te vouwen in \(n=\sqrt{2}\) gelijke delen. Tevens is een irrationeel getal onmeetbaar (meten duurt oneindig lang).

• Methode 2: We weten dat de totale touwlengte is 1. Met een kompas en liniaal kunnen we dit lijnstuk niet opdelen in \(n=\sqrt{2}\) gelijke stukken. Een irrationeel getal is onmeetbaar (meten duurt oneindig lang). Zie: [wiki]

- De hoek van de deel cirkel kunnen we bepalen met: \(360/\sqrt{2}=254.5584...^{\circ}\)

• Voor \(n=4\) Is de hoek niet meetbaar en construeerbaar.

- De gesloten symmetrische lus voor \(n=\sqrt{2}\) is dus alleen mogelijk door volledig te gokken.

[edit: het was beter als ik een irrationeel getal had genomen groter dan 2. Maar het principe blijft het zelfde.]

Intuitie.
Stel we delen de lus touw nu in oneindig veel stukken. Een verzameling aan: lengte delen en hoeken. Sommige stukken zijn construeerbaar en andere niet. Het getal \(\pi\) zorgt ervoor dat alle getallen iteratief geplaatst worden. In mijn perceptie is \(\pi\) een ultieme random generator. Omdat ook irrationele getallen geplaats dienen te worden hebben we een getal nodig wat transcendent is niet algebraïsch te bepalen.

Met de volgende formules kan een cirkel geconstrueerd worden met een lus touw:

$$x=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n}cos \left( \frac{k2 \pi}{n} \right)$$
$$y=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n}sin \left( \frac{k2 \pi}{n} \right)$$

Het itereren/berekenen van \(\pi\) volgens bovenstaande methode:


Constructie waarbij \(n\) als continue getal gezien wordt:

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt1
from matplotlib.ticker import (MultipleLocator, FormatStrFormatter, AutoMinorLocator)

%matplotlib inline

fig, ax1a = plt1.subplots(1, figsize=(16, 8))
ax1a.clear()

#Itterations step and circumference
rationals=1000

for p in range(rationals):

    n=p/(rationals/100)
    #counter
    k=np.arange(n)

    #Determine angle and linesegment lenght
    angle=k*2*np.pi/(n+1) +np.pi/(n+1)
    length=1/(1+n)

    #Calculate each individual vector
    x=length*np.cos(angle)
    y=length*np.sin(angle)

    #Cumulative sum vector
    xc=np.cumsum(x)
    yc=np.cumsum(y)

    #Add coordinate 0,0 to start and end.
    xc=np.append(xc,0)
    yc=np.append(yc,0)
    xc=np.concatenate(([0],xc),axis=0)
    yc=np.concatenate(([0],yc),axis=0)

    #Plot points or circumference.
    #ax1a.plot(xc,yc, marker='o', color='black', linestyle='', markersize=0.1)
    ax1a.plot(xc,yc, marker='.', color='black', linestyle='-', linewidth=0.02, markersize=0)

ax1a.plot(xc,yc, marker='.', color='red', linestyle='-', linewidth=1.5, markersize=0,zorder=rationals+1)
ax1a.set_xlabel('$x$',fontsize=20)
ax1a.set_ylabel('$y$',fontsize=20)
ax1a.set_title('Circle Creation, Circumference=1',fontsize=15)
ax1a.grid(b=True, which='major', color='#666666', linestyle='-', zorder=0)

ax1a.axes.set_xlim([-1,0.2])
ax1a.axes.set_ylim([0,0.6])
plt1.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
#plt1.savefig('Circle Plot', dpi=300, bbox_inches='tight')

[OOOVincentOOO]

De tijd om aanpassingen te maken is erg kort. De formules gebruikt in grafieken zijn (met startpunt oorsprong):

$$x=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n} \cdot cos \left( \frac{\pi(1+2k)}{n} \right)$$
$$y=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n} \cdot sin \left( \frac{\pi(1+2k)}{n} \right)$$

Evident voor sommigen maar ik wilde het graag corrigeren. Beide kan men ook makkelijk in excel gebruiken. Zie voorbeeld:

Circel Creation

(41.42 KiB) 109 keer gedownload

[tempelier]

Best leuk gedaan. toch wat opmerkingen.

1. Trancerenten getallen zijn altijd irrationeel.
2. Bij construeerbaarheid is het misschien aardig de samenhang met de Fermat-Priemen te noemen.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Fermat-priemgetal

3. Staat men andere soorten passers toe, dan is pi wel degelijk konstrueerbaar.

[mathfreak]

Indien π = 4/√φ zou dat betekenen dat π algebraïsch is, en dus een oplossing van een polynoomvergelijking. Aangezien er echter geen polynoomvergelijking kan worden gevonden die π als oplossing heeft, betekent dit dat π transcendent is. Daaruit volgt tevens dat het probleem van de cirkelkwadratuur (een vierkant construreren met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel) niet oplosbaar is. Het probleem van de cirkelkwadratuur komt namelijk neer op de constructie van een lijnstuk met lengte √π. Wil een lijnstuk met lengte √a construeerbaar zijn, dan is dat alleen mogelijk als a algebraïsch is. Omdat π niet algebraïsch is betekent dat dus dat het probleem van de cirkelkwadratuur niet oplosbaar is.
Aanvullende opmerking: men spreekt in de wiskunde van (ir)rationale getallen.

[OOOVincentOOO]

Indien π = 4/√φ zou dat betekenen dat π algebraïsch is, en dus een oplossing van een polynoomvergelijking. Aangezien er

Mensen welke dit denken: π = 4/√φ heb ik moeite meer. Veelal zijn dit mensen wat zeer weinig wiskunde kennis hebben en alleen op intuïtie varen. Elke vorm van wiskunde word door deze nagenoeg niet begrepen of gelooft/vertrouwd (zoals men vaak zegt). Deze op puur intuïtie varende mensen is vaak onmogelijk mee te communiceren.

Zo was er iemand die niet begreep dat de omtrek van een cirkel tussen de in- en uitschreven polygon moet liggen. Wat eigenlijk moeilijk aan te tonen is, via verhoudingen van driehoeken en circel segmenten.

Daar ikzelf graag intuïtieve resultaten zie in data/wiskunde (formeel is mijn zwakte) hoop ik juist deze mensen te overtuigen van het tegendeel.

Vanochtend heb ik hetgeen samengevat in een vraag op SE:

https://math.stackexchange.com/q/4036641/650339

Mijn vraag gaat met name over het volgende:

$$x=\frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n} cos \left( \frac{(2k+1) \ \pi}{n} \right)$$
$$y=\frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n} sin \left( \frac{(2k+1) \ \pi}{n} \right)$$

Analysis.
With both equations the n-gon's can be drawn [Github]. It is possible to compute the n-gon's with n as a continuous number a sort of integration. 3 plots have been made:

Top: The polygons with discrete n (red polygons) and continuous n.
Middle: A finite number of continuous n.
Bottom: An infinite “integrated like” continuous n.

The circle diameter can be determined from y-axis an this way we can determine π see: [Youtube].

Intuition.
The side lengths l can be constructed with compass and straight edge for rational numbers only, irrationals take infinate time. The angle α can only be determined for constructible polygons [wiki]. Creating a continuous circle edge would require an iterative/statistical process thus, I would say (intuition): we require a number π to be irrational, transcendental and random/normal to fill in the gaps.

Question.

• Is there formal math describing the method of creating a circle with polygons with constant circumference?

• How must I interpret the graph with a continuous n-gon? What type of math describes that?

[OOOVincentOOO]

Ik heb nog de limiet bepaald van de n-gons met omtrek 1. Hier in het Engels, nog niet vertaald. Zie Stack Exchange versie:

https://math.stackexchange.com/q/4036641/650339

The following method describes how to derive the circle found from n-gons with circumference 1. The n-gons can be described as:

$$x(n)=\frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{p} \ cos \left( \frac{2k+1}{n}\ \pi \right)$$

$$y(n)=\frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{p} \ sin \left( \frac{2k+1}{n} \ \pi \right)$$

As demonstrated in the question n can be substituted for non integer continuous values, interpolating the edge points of the n-gons. Normally the summation will be till p=n and must remain an integer.

Though, by taking the integral also k can be a continuous number. This will give us the limit values of the n-gons:

$$x_c(n)=\frac{1}{n} \int \ cos \left( \frac{2k+1}{n}\ \pi \right)dk= \frac{1}{2 \pi} \cdot sin\left( \frac{2k+1}{n}\ \pi \right)+C$$

$$y_c(n)=\frac{1}{n} \int \ sin \left( \frac{2k+1}{n}\ \pi \right)dk=- \frac{1}{2 \pi} \cdot cos \left( \frac{2k+1}{n}\ \pi \right)+C$$

This parametrized function gives us a circle with radius: \(R=\frac{1}{2 \pi}\):

$$R=\left( \frac{1}{2\pi} \right)^2=x^{2}+y^{2}$$

The circumference C of the circle is:

$$C=2 \pi \ R=2 \pi \cdot \frac{1}{2\pi}=1$$

We defined the circumference of the n-gons 1 this matches the circumference of the found circle. This method is very intuitive and I am not sure if it's valid. Especially substituting the integers for continuous values.

[OOOVincentOOO]

De methode heb ik nog een beetje uitgebreid. Met n-gon met Area \(A=1\) heb ik ook een cirkel gecreëerd. De wiskunde lijkt nog steeds te kloppen.

Ook op SE een vraag gecreëerd. Hopende op meer diepgang. Er is een leuke limiet om de radius te vinden. Opgelost met Wolfram Alpha maar wel herleiding nagegaan en gecontroleerd!

Ik vroeg mij af of deze methode ook een dimensie hoger werkt: soort polygoon opstellen oppervlakte en volume bol. Maar de wiskunde kan dan een stuk complexer worden.

https://math.stackexchange.com/q/4042380/650339

Hier de Engelse versie (is erg veel werk om weer te vertalen):

To gain more knowhow about the irrational and transcendental behavior of \(\pi\) circles were constructed with \(n\)-gons circumference \(C=1\) see [SE]. This method however describes how a circle (I think) can be created from \(n\)-gons with area: \(A=1\). While I am no math expert I would like to know if the method is valid.

Polygons with \(n\) sides (\(n\)-gons) can be defined as function of the side length \(s\) and the angle between \(3\) neighbor edge points. The \(n\)-gons are defined such that one edge point is in the origin.

$$x=s \cdot \sum_{k=0}^{p} cos \left(\frac{2k+1}{n} \pi \right)$$
$$y=s \cdot \sum_{k=0}^{p} sin \left(\frac{2k+1}{n} \pi \right)$$

Normally \(p=n\) completing one pass \(360^{\circ}\). The area of all \(n\)-gons is set to \(A=1\). The side length \(s\) can be determined with \(n\)-gon area formula [Wiki]:

$$A=\frac{ns^{2}}{4 \cdot tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}=1$$
$$s=2 \cdot \sqrt{ \frac{ tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}{n} }$$

Resulting in the following \(n\)-gons:

$$x=2 \cdot \sqrt{ \frac{ tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}{n} } \cdot \sum_{k=0}^{p} cos \left(\frac{2k+1}{n} \pi \right)$$
$$y=2 \cdot \sqrt{ \frac{ tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}{n} } \cdot \sum_{k=0}^{p} sin \left(\frac{2k+1}{n} \pi \right)$$

Empirical (see graphs) it is found that \(n\) and \(k\) could be continuous numbers, though not sure if that is valid hence the question. By integration a circle formula is found:

$$x=2 \cdot \sqrt{ \frac{ tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}{n} } \cdot \int cos \left(\frac{2k+1}{n} \pi \right)dk=\frac{n}{\pi}\cdot \sqrt{ \frac{ tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}{n} } \cdot cos \left(\frac{2k+1}{n} \pi \right)$$
$$y=2 \cdot \sqrt{ \frac{ tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}{n} } \cdot \int sin \left(\frac{2k+1}{n} \pi \right)dk=\frac{n}{\pi}\cdot \sqrt{ \frac{ tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}{n} } \cdot sin \left(\frac{2k+1}{n} \pi \right)$$

This is parametrized function gives us a circle if the radius \(R\) of the circle exists [Wolfram]:

$$R= \lim_{n \rightarrow\infty} \frac{n}{\pi}\cdot \sqrt{ \frac{ tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}{n} } = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$

The radius seems to exist in infinity. We set the area of the \(n\)-gons \(A=1\) the area of the final circle becomes:

$$A=\pi R^{2}=\pi \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \right)^{2}=\frac{\pi}{\pi}=1$$

Here the final circle has the same area as the \(n\)-gons.

Intuition.
For \(n\)-gons with large summations the circle looks like it is more statistical defined see: random dots bottom right Graph 2. Maybe there is statistics involved in a full proof besides mine attempt?

Questions.
I am having difficulties swapping discrete \(n\) and \(k\) for continuity, more information is welcome. Could this method also be scaled up in \(3d\), what math is then involved, maybe link to examples?

Graph 1: \(n\)-gons discrete and continuous.
(x and y swapped so graph is landscape)

Graph 2: Intuition for integration.
(x and y swapped so graph is landscape)