x^n als functie van Combinaties

[Human]

Word161

(38.48 KiB) 53 keer gedownload

[tempelier]

1. Wel dat moet me dan ontgaan zijn in de hectiek misschien wil je het nog even herhalen.

2. Privacy? Dat kennen we in deze niet in de wiskunde.

[Xilvo]

Dit moet de formule zijn:

\(x^m=\sum\limits_{i=0}^{m}\left(\begin{array}{cols} {x-1} \\i \end{array}\right)\sum\limits_{j=0}^{i}\left(\begin{array}{cols} {i} \\j \end{array}\right)(-1)^j(i+1-j)^m\)

waarbij

\(\left(\begin{array}{cols} n \\k \end{array}\right) \)

nul is indien k>n of n<0 of k<0

In Python:

Code: Selecteer alles

x=5
m=3
sm=0
for i in range(m+1):
    bf=comb(x-1,i)
    sm2=0
    for j in range(i+1):
        sm2+=comb(i,j)*(-1)**j*(i+1-j)**m
    sm+=bf*sm2
    
print(sm)

[Professor Puntje]

Is deze formule al voor een aantal concrete waarden van m gecontroleerd?

[Xilvo]

Is deze formule al voor een aantal concrete waarden van m gecontroleerd?

Uiteraard, anders had ik de moeite niet eens genomen 'm uit te schrijven

[Professor Puntje]

Goed dan hoeven we enkel nog te bewijzen dat de formule ook geldt voor m+1 als die geldt voor m.

[tempelier]

Dat gaat niet op, het moet gelden voor m=1 en elke x.

Dat geeft in deze vorm problemen want:

$$x=\sqrt{2} \quad \text{geeft de vorm} \quad {\sqrt{2}-1 \choose i }$$

Daar is wel een mouw aan te passen, maar vereist wel uitbreiding van de definitie.

[Math-E-Mad-X]

Dat gaat niet op, het moet gelden voor m=1 en elke x.

Dat geeft in deze vorm problemen want:

$$x=\sqrt{2} \quad \text{geeft de vorm} \quad {\sqrt{2}-1 \choose i }$$

Daar is wel een mouw aan te passen, maar vereist wel uitbreiding van de definitie.

Dat hangt er vanaf wat de topicstarter precies claimt. Misschien bedoelt hij alleen maar te zeggen dat zijn formule geldig is voor alle natuurlijke getallen x.

[Professor Puntje]

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_ ... ve_formula

Hiermee hoeft x geen natuurlijk getal te zijn.

[Xilvo]

Dat hangt er vanaf wat de topicstarter precies claimt. Misschien bedoelt hij alleen maar te zeggen dat zijn formule geldig is voor alle natuurlijke getallen x.

Gezien zijn uitleg gaat het hier inderdaad alleen over natuurlijke getallen x en m.

[tempelier]

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_ ... ve_formula

Hiermee hoeft x geen natuurlijk getal te zijn.

Dat is mij ook bekend, maar de topic starter werkt met de C van Combinaties die laten zich niet uitbreiden.

[tempelier]

Dat gaat niet op, het moet gelden voor m=1 en elke x.

Dat geeft in deze vorm problemen want:

$$x=\sqrt{2} \quad \text{geeft de vorm} \quad {\sqrt{2}-1 \choose i }$$

Daar is wel een mouw aan te passen, maar vereist wel uitbreiding van de definitie.

Dat hangt er vanaf wat de topicstarter precies claimt. Misschien bedoelt hij alleen maar te zeggen dat zijn formule geldig is voor alle natuurlijke getallen x.

Hij claimt ergens dat de formule ook werkt voor niet natuurlijke getallen.

[Xilvo]

Hij claimt ergens dat de formule ook werkt voor niet natuurlijke getallen.

Waar? Dat staat mij niet bij.

[tempelier]

Hij claimt ergens dat de formule ook werkt voor niet natuurlijke getallen.

Waar? Dat staat mij niet bij.

Mij wel.

Ik probeerde het stapje voor stapje te doen door eerst de zaak om te zetten naar pseudo machten.

Dat werd ruw afgekapt met de woorden dat het voor alle waarden zo gelden.

[Xilvo]

Hij claimt ergens dat de formule ook werkt voor niet natuurlijke getallen.

Waar? Dat staat mij niet bij.

Mij wel.

Nogmaals, waar dan?