getallenverzameling

[Math-E-Mad-X]

Wat eventueel wel een mogelijkheid is, is dat we op een gegeven moment ontdekken dat de natuurwetten beter te beschrijven zijn in een wiskundig systeem met de continuum hypothese, of just beter in een wiskundig systeem zonder deze hypothese. Dan zouden in elk geval natuurwetenschappers een voorkeur hebben voor één van de twee systemen. Maar dat is dan dus eerder een natuurkundige kwestie dan een wiskundige kwestie.

Het lijkt me echter zeer onwaarschijnlijk dat de continuum hypothese gevolgen voor de natuurkunde zou hebben, omdat men aan de turing computable numbers waarschijnlijk voldoende heeft om de volledige natuurkunde te beschrijven (ik kan me namelijks niets voorstellen bij een meting waarvan het resultaat niet turing computable is).

[tempelier]

Het probleem is volgens mij dat de huidige axioma's van de verzamelingenleer het begrip verzameling niet scherp genoeg vast leggen. Een aanvullend maar even goed evident axioma zou uitkomst kunnen bieden.

De "Haleb rij" is mij onbekend, en Google levert diverse autorijscholen op....

Zie: https://nl.wikipedia.org/wiki/Transfiniet_getal

Je kunt met de macht verzameling er telkens eentje aan de rij toevoegen.
(Dit is bewijsbaar met de diagonaal methode van Cantor)
Dit werkt dan door tot in het oneindige.

Dit geeft: \(\aleph_0 , \aleph_1 , \aleph_2 , \aleph_3 , ............ \aleph_\infty\)
Het zijn er dus oneindig aftelbaar veel.

Vragen zijn:

1. Zit er tussen twee van deze nog een oneindigheid?
2. De reëel getallen hebben het Kardinaal getal c, zit c in deze rij?
3. Zijn er oneindigheden groter dan \( \aleph_\infty\) ?
4. ...........................

[tempelier]

De kwestie is dus niet of we wel of niet de juiste axioma's kunnen vinden om het vraagstuk op te lossen, want er is geen open vraagstuk. Het vraagstuk is al beantwoord: je kan zelf kiezen of je de continuum hypothese wel of niet als 'waar' wil opvatten.

Daar is niet een ieder het mee eens.

Het zou kunnen dat er precies eentje waar is, maar dat het onbeslisbaar is welke van de twee waar is.

PS.
De intuïtieven (Brouwer) verwerpen het geheel van deze getallen.

[Professor Puntje]

Wat dat betreft ben ik een platonist. Ik kan mij de verzameling der reële getallen als ideel object voorstellen evenals de deelverzameling daarvan bestaande uit precies de natuurlijke getallen. Nu zijn er allerlei deelverzamelingen D van \( \mathbb{R} \) die \( \mathbb{N} \) omvatten, en die stop ik in een verzameling \( \mathbb{D} \). Dan is het vervolgens wel of niet zo dat al die verzamelingen D uit \( \mathbb{D} \) de machtigheid van \( \mathbb{N} \) of \( \mathbb{R} \) (en nooit een tussenliggende machtigheid) hebben.

De wetenschap dat de huidige axioma's van de verzamelingenleer beide opties (wel of niet ooit een tussenliggende machtigheid) open laten doet daar niets aan af.

[tempelier]

Ik zie niet waarom dat zo zou moeten zijn.
Er kunnen er toch in D zitten die daar tussen zitten?

[Math-E-Mad-X]

De wetenschap dat de huidige axioma's van de verzamelingenleer beide opties (wel of niet ooit een tussenliggende machtigheid) open laten doet daar niets aan af.

Jawel, dat doet er wel iets aan af, want het betekent dat als jij beweert dat er wel zo'n tussenliggende verzameling bestaat, en ik beweer dat dat niet zo is, dan is het niet zo dat één van ons gelijk heeft en de ander niet.

Het verschil tussen ons is dan dat jij dan een ietwat andere definitie van het begrip 'verzameling' hanteert dan ik (want we gebruiken verschillende axioma's).

[Math-E-Mad-X]

Het zou kunnen dat er precies eentje waar is, maar dat het onbeslisbaar is welke van de twee waar is.

Okee, dat zou kunnen. Ik weet hier niet genoeg vanaf.

[Professor Puntje]

@tempelier

De twee opties zijn:

1. Alle D in \( \mathbb{D} \) hebben de machtigheid van \( \mathbb{N} \) of \( \mathbb{R} \).
2. Niet alle D in \( \mathbb{D} \) hebben de machtigheid van \( \mathbb{N} \) of \( \mathbb{R} \).

(De regel van het uitgesloten midden, met excuses aan Brouwer.)

[walter-]

Waarom geen quaternionen toevoegen?

[Professor Puntje]

Waarom geen quaternionen toevoegen?

Voor sommige toepassingen zijn quaternionen handig, maar aangezien ze niet langer commutatief zijn houdt men het meestal bij de reële of complexe getallen.

[tempelier]

Waarom geen quaternionen toevoegen?

Deze vormen geen lichaam. (het is een scheef-lichaam)

Ook werkt het niet zo gemakkelijk, daarom geeft men vaak de voorkeur aan hun isomorfe afbeelding op matrices.

Ook waren ze een beetje een tegenvaller:
Men had veel meer generalisaties verwacht in de analyse.

[Professor Puntje]

Er is een heftige strijd gevoerd tussen de aanhangers van vectoren en de aanhangers van quaternionen. Die strijd is door de vector figuren gewonnen, anders hadden we de quaternionen tegenwoordig in de wis- en natuurkunde veel meer gezien.