Twee pieken of toch maar één?

[Marko]

Ik snap niet zo goed waar je huiverig voor bent. Het voordeel van zelf benaderingen doen is dat je dan ook weet wat je weglaat. En het effect van een term in, x of r of t of welke parameter dan ook (en van het weglaten ervan), kun je uitwerken. Ook zonder uitwerken kun je beredeneren dat het weglaten van een term in x in een uitdrukking als (1 + x) * ... nooit tot extra pieken kan leiden.

En in alle gevallen zou het een optie zijn om die vergelijking 16 om te schrijven zodat er alleen termen in x in voorkomen en vervolgens de afgeleide uit te werken. Dat wordt een gigantische uitdrukking en het zou best kunnen dat daaruit niet zomaar anaalytisch de nulpunten kunnen worden berekend. Maar dan kun je alsnog nagaan of er op of rond de eerder genoemde pieken en dalen inderdaad een nulpunt zit.

Dan is er geen numerieke simulatie en visuele beoordeling van die numerieke situatie nodig.

[HansH]

ook ik denk dat de situatie met 1 of 2 pieken niet komt door benaderingen (immers zoals Marko ook al aangeeft hebben benaderingen als het goed is geen significant effect op het resultaat), maar komen die 2 pieken er waarschijnlijk in een veel vroeger stadium al in

[Professor Puntje]

@ Marko en HansH

Alles goed en wel, maar waar komen die twee pieken volgens jullie dan vandaan wanneer ze geen effect van benaderingen zijn. En minstens zo belangrijk: hoe denken jullie dat dan aan te tonen.

[Professor Puntje]

Substitutie van (23) in (24) geeft:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \ln \left (\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \left \{ \ln \left ((1 - \frac{r_s}{r})^2 \right ) \, - \, \ln \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right )\right \} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \ln \left ((1 - \frac{r_s}{r})^2 \right ) \, - \, \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \ln \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial y} \ln (1 - \frac{r_s}{r}) \, - \, \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \ln \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial y} (1 - \frac{r_s}{r})}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{ \frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right ) }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{- r_s \frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{r}}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{r_s x^2 \frac{ \partial}{\partial y} \frac{1}{r^3} - r_s \frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{r} }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{ r_s \frac{y}{r^3}}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 r_s x^2 \frac{y}{r^5} + r_s \frac{y}{r^3} }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{y}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (25) \)

\(\)

Waarbij y = g(x) en r = √(x² + g²(x)). Met nu wederom de cruciale vraag: zitten ook hier die twee pieken er al in...?

[Marko]

Ik heb geen flauw idee waar die 2 pieken vandaan komen en of er een fout in de afleiding zit. Ik stel alleen dat je door het toevoegen van termen in x aan een functie zeker niet minder nulputen in de afgeleide van die functie naar x hoeft te verwachten. En omgekeerd dus ook, dat je door het weglaten van termen in x niet ineens extra nulpunten zult krijgen.

Vergelijking 25 is gelijk aan vergelijking 16. y is immers R.


Ik heb een vraag over de afleiding, meer bepaald de stap richting (5). Ik weet niet of dat zomaar kan. Immers, als

\(r^2dr^2=x^2dx^2\)

\(2r^3dr=2x^3dx\)

\(r^3dr=x^3dx\)

En tegelijk geldt

\(rdr = xdx\)

Dat kan volgens mij niet allebei (tenzij r en x beide 1 zijn)

Volgens mij is de stap tussen

\(rdr = xdx\)

en

\(r^2dr^2=x^2dx^2\)

niet juist, en daarmee de gevolgtrekking

\(dr^2 = \frac{x^2}{r^2}dx^2\)

ook niet.

Uit

\(rdr = xdx\)

volgt immers ook

\(\frac{dr^2}{2} = \frac{dx^2}{2}\)

en dus

\(dr^2 = dx^2\)

[Professor Puntje]

Hier een Python programmaatje voor het plotten van (25):

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def aanw(x):
    r0 = 7e8
    rs = 2.95e3 
    phi = 8.48e-6
    a = (np.tan(phi))/(2*r0)
    y = r0*(2 - np.sqrt((a**2)*(x**2) + 1))
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    A = 1/(1 - rs/r) 
    B = 0.5*(-3*((x**2)/(r**2)) + 1)/((rs/r)*((x**2)/(r**2)) + 1 - rs/r)
    C = rs*((y)/(r**3)) 
    return (A - B)*C


fig, ax= plt.subplots(figsize=(15, 15))

x=np.linspace(-1e10,1e10, 1000)
y=aanw(x)

ax.plot(x,y)

Resultaat:

[Professor Puntje]

Ik heb geen flauw idee waar die 2 pieken vandaan komen en of er een fout in de afleiding zit. Ik stel alleen dat je door het toevoegen van termen in x aan een functie zeker niet minder nulputen in de afgeleide van die functie naar x hoeft te verwachten. En omgekeerd dus ook, dat je door het weglaten van termen in x niet ineens extra nulpunten zult krijgen.

Vergelijk y = x³+ x met y = x³. Of bedoel je iets anders?

Vergelijking 25 is gelijk aan vergelijking 16. y is immers R.

Onjuist. Voor de afleiding van (25) geldt: y = g(x)

Ik heb een vraag over de afleiding, meer bepaald de stap richting (5). Ik weet niet of dat zomaar kan. Immers, als

\(r^2dr^2=x^2dx^2\)

\(2r^3dr=2x^3dx\)

\(r^3dr=x^3dx\)

En tegelijk geldt

\(rdr = xdx\)

Dat kan volgens mij niet allebei (tenzij r en x beide 1 zijn)

Volgens mij is de stap tussen

\(rdr = xdx\)

en

\(r^2dr^2=x^2dx^2\)

niet juist, en daarmee de gevolgtrekking

\(dr^2 = \frac{x^2}{r^2}dx^2\)

ook niet.

Uit

\(rdr = xdx\)

volgt immers ook

\(\frac{dr^2}{2} = \frac{dx^2}{2}\)

en dus

\(dr^2 = dx^2\)

Daar kan ik geen wijs uit worden.

[Professor Puntje]

Er is nu nog maar één benadering over die mogelijk de twee pieken veroorzaakt zou kunnen hebben: de veronderstelling dat de toename van de afbuigingshoek voor zwakke afbuigingen vrijwel onafhankelijk is van de bewegingsrichting van het licht. MathPages gaat er voor het gemak vanuit dat het licht voor ieder infinitesimaal stukje afbuiging weer horizontaal komt aanvliegen. Omdat het hier over de toename van de afbuiging gaat is dat in principe geen probleem, ware het niet dat het zo zou kunnen zijn dat die afbuigingstoename een merkbare afhankelijkheid vertoont van de hoek waaronder het licht ten opzichte van de zon beweegt...

[HansH]

@ Marko en HansH

Alles goed en wel, maar waar komen die twee pieken volgens jullie dan vandaan wanneer ze geen effect van benaderingen zijn. En minstens zo belangrijk: hoe denken jullie dat dan aan te tonen.

Je hebt 2 formules/methodes gebruikt als start begreep ik. Misschien goed om nog eens samen te vatten waar die formules vandaan komen.
mathpages:

en waar kwam die andere ook weer vandaan? en wat is het verschil tussen beide
?

[Professor Puntje]

Omdat ik het artikel op MathPages lastig te volgen vond heb ik zaak hier zelf met de benaderingen van MathPages nog eens nagerekend. Als bekend vond ik zelf toen ook de twee pieken. Later hebben OOOVincentOOO en ik uitgaande van exacte formules uit een ander artikel en Python voor de simulatie gecontroleerd of die twee pieken er in een xy-stelsel echt moeten zijn. Dat was in het topic: viewtopic.php?f=85&t=212427 Daar vonden we dat er maar één piek is. Vervolgens ben ik weer naar dit topic (Twee pieken of toch maar één?) teruggekeerd om te onderzoeken welke toegepaste benaderingen van MathPages voor die twee pieken verantwoordelijk zijn. Dat heb ik gedaan door mijn eigen reconstructie van de MathPages afleiding nog een paar keer over te doen zonder verdachte benaderingen. Tot nu toe blijven de twee pieken echter terugkomen welke benaderingen ik ook weet te vermijden. Mijn uitgangspunt bij de afleidingen was steeds de schwarzschildmetriek, behalve in het topic "Python en Jacobi" waar we direct werkten met een exacte oplossing voor de lichtbaan op basis van een ander artikel (zie daar).

[Marko]

Ik heb geen flauw idee waar die 2 pieken vandaan komen en of er een fout in de afleiding zit. Ik stel alleen dat je door het toevoegen van termen in x aan een functie zeker niet minder nulputen in de afgeleide van die functie naar x hoeft te verwachten. En omgekeerd dus ook, dat je door het weglaten van termen in x niet ineens extra nulpunten zult krijgen.

Vergelijk y = x³+ x met y = x³. Of bedoel je iets anders?

Zoiets bedoel ik inderdaad.

y'=3x²+1 --> maxima bij \(x= \pm \frac {\sqrt{3}}{3}\)
y'=3x² --> buigpunt bij x=0

Onjuist. Voor de afleiding van (25) geldt: y = g(x)

Sorry, overheen gelezen. Dat gezegd hebbende, als je, in grote lijnen, weet hoe y afhangt van x kun je, denk ik, alsnog een uitspraak doen over het effect op het aantal maxima. Volgens mij is af te leiden dat g(x) een monotoon stijgende functie is tussen -∞ en 0.

Daar kan ik geen wijs uit worden.

Laat ik het dan bij deze vraag houden: kun je aangeven hoe je van

\(rdr = xdx\)

naar

\(r^2dr^2=x^2dx^2\)

komt?

(bericht 11 van dit topic)

[Professor Puntje]

Ik heb geen flauw idee waar die 2 pieken vandaan komen en of er een fout in de afleiding zit. Ik stel alleen dat je door het toevoegen van termen in x aan een functie zeker niet minder nulputen in de afgeleide van die functie naar x hoeft te verwachten. En omgekeerd dus ook, dat je door het weglaten van termen in x niet ineens extra nulpunten zult krijgen.

Vergelijk y = x³+ x met y = x³. Of bedoel je iets anders?

Zoiets bedoel ik inderdaad.

y'=3x²+1 --> maxima bij \(x= \pm \frac {\sqrt{3}}{3}\)
y'=3x² --> buigpunt bij x=0

De bovenste afgeleide heeft geen nulpunten.

Onjuist. Voor de afleiding van (25) geldt: y = g(x)

Sorry, overheen gelezen. Dat gezegd hebbende, als je, in grote lijnen, weet hoe y afhangt van x kun je, denk ik, alsnog een uitspraak doen over het effect op het aantal maxima. Volgens mij is af te leiden dat g(x) een monotoon stijgende functie is tussen -∞ en 0.

Dat komt erop neer dat je voor een net bewijs met benaderingen even veel werk moet verrichten als voor mijn aanpak door het omzeilen van benaderingen.

Daar kan ik geen wijs uit worden.

Laat ik het dan bij deze vraag houden: kun je aangeven hoe je van

\(rdr = xdx\)

naar

\(r^2dr^2=x^2dx^2\)

komt?

(bericht 11 van dit topic)

Dat heet kwadrateren.

[Marko]

Dat heet kwadrateren.

Maar (dr)² is toch iets anders dan dr²?

[Professor Puntje]

@ Marko

In boeken en artikelen over relativiteitstheorie schrijft men \( dr^2, dt^2, ... \) voor wat formeel correct geschreven \( (\mathrm{d} r)^2, (\mathrm{d} t)^2, ... \) is. Dat is te billijken omdat d's en kwadraten in de relativiteitstheorie volop voorkomen en het een heidens karwij is om steeds weer een rechte d in plaats van de cursieve d te gebruiken en om steeds die haakjes te plaatsen. Uit de context is immers duidelijk wat er bedoeld is. Ik heb zelf uit een behoefte tot precisie tot voor kort nog de rechte d gebruikt, maar dat blijkt nu zelfs tot misverstanden te leiden. Het beste maakt men zich daarom de conventionele schrijfwijze van de relativiteitstheorie eigen.

[Marko]

Ach ja, dat is waar.

Je merkt dat ik er mijn aandacht niet helemaal bij heb. Gaat allemaal tussen de bedrijven door op het werk.

Voor de goede orde: ik heb mij wel eens verdiept in de ART, en ook in de oorspronkelijke artikelen van Einstein. Niet echt makkelijk te volgen moet ik zeggen, en het meeste is ervan weggezakt.

Maar merk op dat ik niks anders probeer te doen dan waar jij om vraagt: namelijk je afleiding nalopen op correctheid. En dat ik niks anders deed dan een vraag stellen over een stap in de afleiding.

Als je het nodig vindt om meteen verbaal om je heen te slaan ben ik er snel klaar mee.