Twee pieken of toch maar één?

[Professor Puntje]

@ Marko

Verbaal om mij heen slaan? Daar ben ik mij niet van bewust. Als de moderatoren ook vinden dat mijn antwoorden op je kritiek ongepast zijn hoor ik dat graag.

[Professor Puntje]

De laatste benadering die ik hier onderzoek bestaat daaruit dat MathPages de infinitesimale stukjes afbuiging berekent alsof het licht voor ieder stukje afbuiging steeds weer horizontaal komt aanvliegen. Dat is in werkelijkheid immers niet het geval. Hier neem ik aan dat het licht voor iedere waarde van x al een begin-afbuiging β(x) = -arctan(g'(x)) heeft die we berekenen uitgaande van de eerder geïntroduceerde functie y = g(x). Wel neem ik als beginpunten van de stukjes afbuiging punten op de lijn y = R_zon. Zodoende onderzoeken we specifiek het effect van de benadering dat het licht voor ieder stukje afbuiging steeds horizontaal komt aanvliegen, door die benadering hier zelf niet te gebruiken. De vraag is dan ook hier weer of de door ons berekende afbuigingsaanwas dφ/dx als functie van x nog steeds de twee pieken vertoont.

Onderstaand een schets van de nu te bekijken situatie:

[Professor Puntje]

Wat levert Huygens' principe in deze situatie op? We vinden op grond van figuur 3 voor kleine dφ dat:

\(\)

\( (\frac{dx}{dt} )_{y = \mathrm{R}_{zon} + \delta} \cdot dt \,\, - \,\, ( \frac{dx}{dt} )_{y = \mathrm{R}_{zon}} \cdot dt \,\, \approx \,\, d\varphi \cdot \delta \)

\(\)

\( \frac{(\frac{dx}{dt} )_{y = \mathrm{R}_{zon} + \delta} \,\, - \,\, ( \frac{dx}{dt} )_{y = \mathrm{R}_{zon}}}{\delta} \approx \frac{d\varphi}{dt} \)

\(\)

\( \frac{d\varphi}{dt} \, = \, ( \frac{\partial}{\partial y} \frac{dx}{dt})_{y=R_{zon}} \,\,\,\,\,\, (26) \)

[Professor Puntje]

Dit laat zich als volgt omwerken:

\(\)

\( \frac{d\varphi}{dt} \, = \, ( \frac{\partial}{\partial y} \frac{dx}{dt})_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{d \varphi}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \left ( \frac{\partial}{\partial y} \frac{d x}{ d t} \right )_{y=R_{zon}} \cdot \frac{d t}{d x} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{d x} = \frac{\left ( \frac{\partial}{\partial y} \frac{d x}{ d t} \right )_{y=R_{zon}}}{\frac{d x}{d t}} \)

\(\)

\( \frac{d \varphi}{d x} = \frac{\left ( \frac{\partial}{\partial y} \frac{d x}{c d t} \right )_{y=R_{zon}} }{\frac{ d x}{c \, d t}} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{dx} = \left ( \frac{\partial}{\partial y} \ln(\frac{d x}{c \, d t}) \right )_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{d \varphi}{d x} = \left ( \frac{\partial}{\partial y} \ln \sqrt{\frac{d x^2}{c^2 d t^2}} \right )_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \frac{1}{2} \left (\frac{\partial}{\partial y} \ln \left ( \frac{ d x^2}{c^2 d t^2} \right ) \right )_{y=R_{zon}} \,\,\,\,\,\,\,\, (27) \)

\(\)

[Professor Puntje]

Voor het berekenen van de term dx²/dt² gebruiken we de schwarzschildmetriek en de afgeleide g' van de eerder geïntroduceerde functie y = g(x). Even recapituleren:

\( y = \mathrm{R}_{zon} \cdot \left (2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 x^2 +1} \right ) \,\,\, \mbox{met} \,\,\, \mathrm{a} = \frac{\tan(\Phi)}{2 \mathrm{R}_{zon}} \,\,\,\,\,\, (17) \)

Hierin is Φ de bekende totale lichtafbuiging. Voor het gemak schrijven we (17) ook wel als \( y = \mathrm{g}(x) \).

We zien dat:

\(\)

\( (y)_{x=0} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \left (2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 0^2 +1} \right ) \)

\(\)

\( (y)_{x=0} = \mathrm{R}_{zon} \cdot (2 - 1) \)

\(\)

\( (y)_{x=0} = \mathrm{R}_{zon} \,\,\,\,\,\, (18) \)

\(\)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 x^2 +1} }{x} \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left (\frac{2}{x} \mp \sqrt{\mathrm{a}^2 + \frac{1}{x^2}} \right ) \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \mp \sqrt{ \mathrm{a}^2 } \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \mp \mathrm{a} \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mp \mathrm{R}_{zon} \cdot \mathrm{a} \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mp \mathrm{R}_{zon} \cdot \frac{\tan(\Phi)}{2 \mathrm{R}_{zon}} \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mp \frac{\tan(\Phi)}{2} \,\,\,\,\,\, (19) \)

\(\)

Volgens (18) gaat de curve van y = g(x) door het punt (0,R_zon) en volgens (19) heeft zij ook de gewenste asymptoten.

En:

Voor onze zon gebruiken we de Schwarzschild metriek:

Bron: https://hepweb.ucsd.edu/ph110b/110b_notes/node75.html

We hebben het over een lichtstraal in het xy-vlak dus ds = 0 en:
θ = 90º
dθ = 0

Bovendien schrijven we de azimut hoek φ wederom als α om verwarring met de afbuiging φ(x) te voorkomen. Dat geeft:

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 \mathrm{d}\alpha^2 \,\,\,\,\,\, (20) \)

[Professor Puntje]

Uit bovenstaand plaatje zien we dat:

\(\)

\( dx^2 + dy^2 = r^2 d \alpha^2 + dr^2 \,\,\,\,\, (28) \)

[Professor Puntje]

Combinatie van (20) en (28) geeft:

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + dx^2 + dy^2 - dr^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \left (\frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} - 1 \right ) dr^2 + dx^2 + dy^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \left (\frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} - \frac{1 - \frac{r_s}{r}}{1 - \frac{r_s}{r}} \right ) dr^2 + dx^2 + dy^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \frac{\frac{r_s}{r}}{1 - \frac{r_s}{r}} dr^2 + dx^2 + dy^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \frac{\frac{r_s}{r}}{1 - \frac{r_s}{r}} dr^2 + dx^2 + (g'(x))^2 dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \frac{\frac{r_s}{r}}{1 - \frac{r_s}{r}} dr^2 + (1 + (g'(x))^2) dx^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\, (29) \)

[Professor Puntje]

Nu nog dr² in dx² uitdrukken:

\(\)

\( r^2 = x^2 + y^2 \)

\(\)

\( d(r^2) = d(x^2) + d(y^2) \)

\(\)

\( 2r dr = 2x dx + 2y dy \)

\(\)

\( r dr = x dx + y dy \)

\(\)

\( r dr = x dx + y \mathrm{g}'(x)dx \)

\(\)

\( r dr = (x + y \mathrm{g}'(x))dx \)

\(\)

\( r^2 dr^2 = (x + y \mathrm{g}'(x))^2 dx^2 \)

\(\)

\( dr^2 = \frac{(x + y \mathrm{g}'(x))^2}{r^2} dx^2 \,\,\,\,\,\, (30) \)

\(\)

[Professor Puntje]

Combinatie van (29) en (30) levert:

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \frac{\frac{r_s}{r}}{1 - \frac{r_s}{r}} \frac{(x + y \mathrm{g}'(x))^2}{r^2} dx^2 + (1 + (g'(x))^2) dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \left ( \frac{\frac{r_s}{r}}{1 - \frac{r_s}{r}} \frac{(x + y \mathrm{g}'(x))^2}{r^2} + (1 + (g'(x))^2) \right ) dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \left ( \frac{\frac{r_s}{r^3}}{1 - \frac{r_s}{r}} (x + y \mathrm{g}'(x))^2 + (1 + (g'(x))^2) \right ) dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 dt^2 = \left ( \frac{r_s}{r^3} (x + y \mathrm{g}'(x))^2 + (1 - \frac{r_s}{r})(1 + (g'(x))^2) \right ) dx^2 \)

\(\)

\( \frac{dx^2}{ c^2 dt^2 } = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r^3} (x + y \mathrm{g}'(x))^2 \, + \, (1 - \frac{r_s}{r})(1 + (g'(x))^2) } \,\,\,\,\,\,\,\, (31) \)

[Professor Puntje]

Formule (31) levert de x-component van de lichtsnelheid van het onderste donkerblauwe lichtstraaltje in figuur 3. Daarbij is x de x-coördinaat van het beginpunt van het lichtstraaltje, is y de y-coördinaat van het beginpunt van het lichtstraaltje, is r de lengte van de voerstraal van het beginpunt van het lichtstraaltje, en is de helling van het lichtstraaltje aangenomen gelijk te zijn aan de helling van de grafiek voor y = g(x) voor dezelfde x-coördinaat als het beginpunt van het lichtstraaltje. Om later partieel naar y te kunnen differentiëren moeten we echter de situaties in figuur 3 van het onderste donkerblauwe lichtstraaltje en die van het bovenste donkerblauwe lichtstraaltje met elkaar vergelijken. Dat roept de vraag op of formule (31) ook nog geldig is voor het bovenste donkerblauwe lichtstraaltje. Bekijken we figuur 4 nog eens zorgvuldig dan zien we dat vergelijking (28) ook voor het bovenste donkerblauwe lichtstraaltje gewoon opgaat. De afleiding die van (20) & (28) naar (29) voert blijft ook voor het bovenste donkerblauwe lichtstraaltje gewoon opgaan. En omdat ook het bovenste lichtstraaltje de helling van y = g(x) volgt geldt ook (30) voor het bovenste lichtstraaltje. De afleiding van (31) uit (29) & (30) tenslotte is simpele algebra die uiteraard zowel voor het onderste als het bovenste lichtstraaltje opgaat. Conclusie: formule (31) is zowel geldig voor het onderste als voor het bovenste donkerblauwe lichtstraaltje uit figuur 3.

[Professor Puntje]

Voor de overzichtelijkheid schrijven we:

\(\)

\( \left. \begin{array} {lcrr} A = \frac{r_s}{r^3} (x + y \mathrm{g}'(x))^2 \\ B = (1 - \frac{r_s}{r})(1 + (g'(x))^2) \end{array} \right \} \,\,\,\,\,\, (32) \)

\(\)

Zodat:

\(\)

\( \frac{dx^2}{ c^2 dt^2 } = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ A \, + \, B } \,\,\,\,\,\,\,\, (33) \)

[Professor Puntje]

Combinatie van (27) en (33) geeft:

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \frac{1}{2} \left (\frac{\partial}{\partial y} \ln \left ( \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ A \, + \, B } \right ) \right )_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \frac{1}{2} \left (\frac{\partial}{\partial y} \left \{ \ln \left ( (1 - \frac{r_s}{r})^2 \right ) \,\, - \,\, \ln (A \, + \, B ) \right \} \right )_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \frac{1}{2} \left (\frac{\partial}{\partial y} \left \{ 2 \ln \left ( 1 - \frac{r_s}{r} \right ) \,\, - \,\, \ln (A \, + \, B ) \right \} \right )_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \frac{1}{2} \left ( 2 \frac{\partial}{\partial y} \ln \left ( 1 - \frac{r_s}{r} \right ) \,\, - \,\, \frac{\partial}{\partial y} \ln (A \, + \, B ) \right )_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \left ( \frac{\partial}{\partial y} \ln \left ( 1 - \frac{r_s}{r} \right ) \,\, - \,\, \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \ln (A \, + \, B ) \right )_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \left ( \frac{\frac{\partial}{\partial y} \left ( 1 - \frac{r_s}{r} \right )}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \,\, - \,\, \frac{ \frac{\partial}{\partial y} (A \, + \, B )}{2 (A \, + \, B)} \right )_{y=R_{zon}} \)

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \left ( \frac{\frac{r_s y}{r^3} }{ 1 - \frac{r_s}{r} } \,\, - \,\, \frac{ \frac{\partial}{\partial y} A \, + \, \frac{\partial}{\partial y} B }{2 (A \, + \, B)} \right )_{y=R_{zon}} \,\,\,\,\,\,\,\, (34) \)

[Professor Puntje]

Dit gaat vermoedelijk een erg lelijke uitdrukking worden, dus zullen we er niet veel meer aan doen behalve dat we de partiële afgeleiden van A en B die we C en D zullen noemen nog even uitwerken. Dit geeft:

\(\)

\( \frac{ d \varphi}{ d x} = \left ( \frac{\frac{r_s y}{r^3} }{ 1 - \frac{r_s}{r} } \,\, - \,\, \frac{C \, + \, D }{2 (A \, + \, B)} \right )_{y=R_{zon}} \,\,\,\,\,\,\,\, (35) \)

\(\)

Met:

\(\)

\( C = \frac{\partial}{\partial y} A \)

\(\)

\( C = \frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{r_s}{r^3} (x + y \mathrm{g}'(x))^2 \right ) \)

\(\)

\( C = \left ( \frac{\partial}{\partial y} \frac{r_s}{r^3} \right ) (x + y \mathrm{g}'(x))^2 \,\,\, + \,\,\, \frac{r_s}{r^3} \frac{\partial}{\partial y} \left ( (x + y \mathrm{g}'(x))^2 \right ) \)

\(\)

\( C = \frac{-3 r_s y}{r^5} \cdot (x + y \mathrm{g}'(x))^2 \,\,\, + \,\,\, \frac{r_s}{r^3} \cdot 2 (x + y \mathrm{g}'(x)) \, \mathrm{g}'(x) \,\,\,\,\,\,\,\, (36) \)

\(\)

En:

\(\)

\( D = \frac{\partial}{\partial y} B \)

\(\)

\( D = \frac{\partial}{\partial y} \left ( (1 - \frac{r_s}{r})(1 + (g'(x))^2) \right ) \)

\(\)

\( D = (1 + (g'(x))^2) \frac{\partial}{\partial y} (1 - \frac{r_s}{r}) \)

\(\)

\( D = (1 + (g'(x))^2) \frac{r_s y}{r^3} \,\,\,\,\,\,\,\, (37) \)

[Professor Puntje]

Correctie: Als commentaar bij (18) en (19) schreef ik:

Volgens (18) gaat de curve van y = g(x) door het punt (0,Rzon) en volgens (19) heeft zij ook de gewenste asymptoten.

Maar dat laatste is met (19) niet bewezen, uit (19) volgt enkel maar dat de lichtstraal onder de juiste hoek vanuit het oneindige komt aanvliegen en ook onder de juiste hoek weer naar het oneindige wegvliegt. Maar dat is voor dit topic ook mooi genoeg. Dus laat ik het daarbij.

[Professor Puntje]

Op grond van (17) zien we nog dat:

\(\)

\( \mathrm{g}(x) = \mathrm{R}_{zon} \cdot \left (2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 x^2 +1} \right ) \,\,\, \mbox{met} \,\,\, \mathrm{a} = \frac{\tan(\Phi)}{2 \mathrm{R}_{zon}} \)

\(\)

\( \mathrm{g}'(x) = \frac{d}{dx} \left \{ \mathrm{R}_{zon} \cdot \left (2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 x^2 +1} \right ) \right \} \)

\(\)

\( \mathrm{g}'(x) = \mathrm{R}_{zon} \cdot \frac{d}{dx} \left (2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 x^2 +1} \right ) \)

\(\)

\( \mathrm{g}'(x) = \mathrm{R}_{zon} \cdot - \frac{1}{2} ( \mathrm{a}^2 x^2 +1 )^{-\frac{1}{2}} \cdot \mathrm{a}^2 \cdot 2 x \)

\(\)

\( \mathrm{g}'(x) = - \mathrm{R}_{zon} \cdot \frac{ \mathrm{a}^2 x }{\sqrt{ \mathrm{a}^2 x^2 +1 }} \,\,\,\,\, (38) \)