Twee pieken of toch maar één?

[HansH]

Het gaat om de situatie dat de lichtstraal precies langs de zon gaat, dus x=0 toch?

nee het gaat juist om de baan van het licht in x richting en welke hoek die maakt tov de x richting, immers het ging om het al of niet aanwezig zijn van pieken (dphi/dx) op x ongelijk aan 0.

[Professor Puntje]

Zoals het bij discussies met Marko over relativiteit nu al jaren lang gaat loopt ook deze discussie weer op niets uit. Ik geef het op.

Misschien kan HansH het overnemen? Die heeft meer uithoudingsvermogen dan ik.

[Marko]

Zoals het bij discussies met Marko over relativiteit nu al jaren lang gaat loopt ook deze discussie weer op niets uit. Ik geef het op.

Misschien kan HansH het overnemen? Die heeft meer uithoudingsvermogen dan ik.

Dat is jammer. Ik stel een aantal vragen, mogelijk interpreteer je die als kritiek, maar ik weet het gewoon echt niet en de vragen zijn enkel bedoeld ter verheldering.

- Waarom mag je in de aanpak die je voor vergelijking (3) gebruikt wel differentialen gebruiken en in de schetsen die ik heb gemaakt niet?

- Mogelijk klopt mijn interpretatie van de betreffende tekening niet, dus vandaar de vraag of de consequenties zoals ik denk dat die zijn, kloppen. Het kan best zijn dat het niet klopt, dat hoor ik dan ook graag. Of dat het wel klopt, maar geen probleem zou moeten zijn, idem.

- Idem voor de vraag over de tekening in dit bericht. Je geeft aan

Het vreemde van deze specifieke situatie is dat we hier x = dx hebben. Of dat kwaad kan weet ik niet. Ik denk het niet, maar op het laatst ga je overal aan twijfelen....

Maar ik veronderstelde dat de tekening betrekking heeft op de situatie dat x=0, en ik begrijp daarom niet waarom x=dx.

[HansH]

Ik stel een aantal vragen, mogelijk interpreteer je die als kritiek, maar ik weet het gewoon echt niet en de vragen zijn enkel bedoeld ter verheldering.

Een aantal vragen worden denk ik helder als je het topic grof afscant, maar ik geef toe dat sommige topics al behoorlijk groot zijn. Dus dan is het mooi meegenomen als iemand je snel op weg kan helpen met het overzicht. Aan de andere kant kan ik me ook voorstellen dat prof Puntje niet steeds weer alles opnieuw wil toelichten als het er al staat. Beetje geven en nemen dus qua energie investering van beide kanten.

[HansH]

Mogelijk is er iets met vergelijking (3) aan de hand.
Voor kleine hoeken α gaat deze benadering zeker op, maar naarmate α dichter tot 90° nadert wordt de relatieve fout groter.

Wat het uiteindelijke effect hiervan is weet ik niet.

We hebben het hier over een totale hoekverandering van een paar boogseconden over een lichtpad van x=-oneindig naar x=+oneindig.
Dus hoeveel fout maak je dan en is dat acceptabel?

[HansH]

Mogelijk is er iets met vergelijking (3) aan de hand.
Voor kleine hoeken α gaat deze benadering zeker op, maar naarmate α dichter tot 90° nadert wordt de relatieve fout groter.

Wat het uiteindelijke effect hiervan is weet ik niet.

We hebben het hier over een totale hoekverandering van een paar boogseconden over een lichtpad van x=-oneindig naar x=+oneindig.
Dus hoeveel fout maak je dan en is dat acceptabel? en kan dat enige invloed hebben op 2 pieken of geen 2 pieken?

[Marko]

Ik stel een aantal vragen, mogelijk interpreteer je die als kritiek, maar ik weet het gewoon echt niet en de vragen zijn enkel bedoeld ter verheldering.

Een aantal vragen worden denk ik helder als je het topic grof afscant, maar ik geef toe dat sommige topics al behoorlijk groot zijn. Dus dan is het mooi meegenomen als iemand je snel op weg kan helpen met het overzicht. Aan de andere kant kan ik me ook voorstellen dat prof Puntje niet steeds weer alles opnieuw wil toelichten als het er al staat. Beetje geven en nemen dus qua energie investering van beide kanten.

Maar beste Hans. Ik héb het topic doorgenomen. En ik bén de hele afleiding nagelopen. Die afleiding kan ik volgen. Geen enkel probleem met de aanpak. Dat is het hele punt niet.

Er is een specifiek punt in die afleiding waar ik concrete vragen over stel. Het kan best zijn dat die vragen onzinnig zijn en dat ik puntje's antwoorden niet goed begrijp, maar het is niet zo dat de vragen al gesteld zijn en het antwoord al ergens staat. Mocht dat toch wel het geval zijn, dan graag een verwijzing, want ik vraag niemand om in herhaling te vallen. Maar niet in herhaling vallen hoeft toch niet te betekenen dat ik geen vervolgvragen mag stellen of nadere toelichting mag vragen.

We hebben het hier over een totale hoekverandering van een paar boogseconden over een lichtpad van x=-oneindig naar x=+oneindig.
Dus hoeveel fout maak je dan en is dat acceptabel? en kan dat enige invloed hebben op 2 pieken of geen 2 pieken?

We hebben het hier over de afleiding van dx in termen van r, dr en dα, vergelijking (3), die als basis dient voor vergelijking 4-7, 11, 13 en zijn weg vindt in de integraal in vergelijking (14).

Ik weet niet hoe groot de fout c.q. verwaarlozing is, ik weet niet eens of daar wel sprake van is. En ook niet of er wel of geen 2 pieken door ontstaan. De aanpak die ik voorstelde biedt denk ik ruimte om daar een inschatting van te maken. Maar als die aanpak zelf niet deugt heeft dat weinig zin. Dus ik zou toch graag uitgelegd krijgen wat er dan anders moet.

[HansH]

We hebben het hier over de afleiding van dx in termen van r, dr en dα, vergelijking (3), die als basis dient voor vergelijking 4-7, 11, 13 en zijn weg vindt in de integraal in vergelijking (14).

Ik weet niet hoe groot de fout c.q. verwaarlozing is, ik weet niet eens of daar wel sprake van is. En ook niet of er wel of geen 2 pieken door ontstaan. De aanpak die ik voorstelde biedt denk ik ruimte om daar een inschatting van te maken. Maar als die aanpak zelf niet deugt heeft dat weinig zin. Dus ik zou toch graag uitgelegd krijgen wat er dan anders moet.

Volghens mij gaf je aan dat er een verwaarlozing gemaakt was die voor grote hoeken van belang is. vandaar mijn aanvuling dat het hier om kleine hoeken gaat. maar ik zie nu dat ik verkeerd zit te denken. De hoek die het licht maakt tov de x-as is welleswaar klein, maar jouw punt gaat over de hoek tussen middelpunt zon en lixchtstraal an die wordt groot als het licht verder weg is van de zon. maar punt is wel dat je dan ook vrijwel geen afbuiging meer hebt, en de evt pieken liggen bij een hoek van ca 45 graden.

[HansH]

Er is een specifiek punt in die afleiding waar ik concrete vragen over stel. Het kan best zijn dat die vragen onzinnig zijn en dat ik puntje's antwoorden niet goed begrijp, maar het is niet zo dat de vragen al gesteld zijn en het antwoord al ergens staat. Mocht dat toch wel het geval zijn, dan graag een verwijzing, want ik vraag niemand om in herhaling te vallen. Maar niet in herhaling vallen hoeft toch niet te betekenen dat ik geen vervolgvragen mag stellen of nadere toelichting mag vragen.

ik heb de afleidingen van prof p niet echt gevolgd, dus zou er eerst verder in moeten duiken. Maar als jij een specifiek punt hebt waar geen antwoord op is gegeven dan lijkt me dat wel een terecht punt voor prof p om verder toe te lichten. ik ga er even vanuit dat iedereen hier constructief mee denkt.

[Professor Puntje]

@ HansH

Ik heb in dit topic inmiddels allerlei toegepaste benaderingen van MathPages onderzocht door de afleiding nog eens over te doen zonder die benadering. Dat geldt ook voor de benadering dat het licht kan worden beschouwd alsof het de afbuiging langs de lijn y=R opbouwt. Dus zelfs als Marko gelijk zou hebben maakt dat voor het twee pieken verhaal niets uit. Die twee pieken heb ik namelijk ook gevonden voor het geval dat het licht langs een hyperbool afbuigt.

[Marko]

We hebben het hier over de afleiding van dx in termen van r, dr en dα, vergelijking (3), die als basis dient voor vergelijking 4-7, 11, 13 en zijn weg vindt in de integraal in vergelijking (14).

Ik weet niet hoe groot de fout c.q. verwaarlozing is, ik weet niet eens of daar wel sprake van is. En ook niet of er wel of geen 2 pieken door ontstaan. De aanpak die ik voorstelde biedt denk ik ruimte om daar een inschatting van te maken. Maar als die aanpak zelf niet deugt heeft dat weinig zin. Dus ik zou toch graag uitgelegd krijgen wat er dan anders moet.

Volghens mij gaf je aan dat er een verwaarlozing gemaakt was die voor grote hoeken van belang is. vandaar mijn aanvuling dat het hier om kleine hoeken gaat. maar ik zie nu dat ik verkeerd zit te denken. De hoek die het licht maakt tov de x-as is welleswaar klein, maar jouw punt gaat over de hoek tussen middelpunt zon en lixchtstraal an die wordt groot als het licht verder weg is van de zon. maar punt is wel dat je dan ook vrijwel geen afbuiging meer hebt, en de evt pieken liggen bij een hoek van ca 45 graden.

Zoals de hoek gedefinieerd staat in de tekening wordt de hoek groot als het licht dichterbij de zon is. Het gaat om de uitdrukking van een horizontale lijn in poolcoordinaten, dus α=π/2 voor x=0. Puntje construeert die vervolgens zo dat er een handige uitdrukking ontstaat die in de Schwarzschild oplossing gestoken kan worden. Op zich niks mis mee.

Maar in de tekening staat een driehoekje waar de stelling van Pythagoras wordt gebruikt, met als zijden dx, dr en rdα. En bij die dr en rdα wringt het. Want als je dr handhaaft is het stukje kennelijk een cirkelsegmentje overeenkomstig met een hoek dα. De lengte rdα is hiermee consistent. Maar de stelling van Pythagoras geldt natuurlijk alleen voor driehoeken, niet voor een driehoek met een kromme zijde. Het driehoekje dat getekend staat is een benadering. Als je een lijn trekt die loodrecht staat op de lijn tussen de oorsprong en (x+dx,R), dan heeft die niet de lengte rdα (maar r sin dα, een stukje korter) en tussen snijpunt en (x+dx,R) zit geen afstand dr (maar een stukje langer).

Het kan zijn dat die fouten elkaar opheffen. Maar dat zou uitgezocht moeten worden. Zeker omdat eenzelfde aanpak wordt gebruikt bij de "lichtbaan is een hyperbool" benadering.

[Professor Puntje]

Het soort schetsjes met differentialen dat ik hier gebruik zijn in de meer gevorderde natuurkundeleerboeken schering en inslag. Daarmee vermijd je een boel onnodig rekenwerk. Natuurkunde is nu eenmaal geen strenge wiskunde. Met mijn aanpak is niets mis. Maar omdat strenge wiskunde mij eveneens interesseert wilde ik het toch nog even nagaan hoe je zulke zaken ook streng wiskundig kunt bewijzen. Hier een nieuw plaatje zonder ingetekende differentialen:

Daaruit zien we dat:

\(\)

\( r \sin(-\Delta \alpha) = \Delta x \sin(\alpha + \Delta \alpha) \)

\(\)

\( -r \frac{\sin(\Delta \alpha)}{\Delta x} = \sin(\alpha + \Delta \alpha) \)

\(\)

\( -r \frac{\sin(\Delta \alpha)}{\Delta \alpha} \frac{\Delta \alpha}{\Delta x} = \sin(\alpha + \Delta \alpha) \)

\(\)

Als Δx nu tot nul nadert dan nadert Δα ook tot nul zodat de limietovergang voor Δx nadert nul geeft:

\(\)

\( -r \cdot 1 \cdot \frac{d \alpha}{d x} = \sin(\alpha) \)

\(\)

\( -r \cdot \frac{d \alpha}{d x} = \sin(\alpha) \)

\(\)

\( -r \cdot d \alpha = \sin(\alpha) \cdot dx \)

\(\)

\( r^2 \cdot d \alpha^2 = \sin^2(\alpha) \cdot dx^2 \,\,\,\,\, (i) \)

\(\)

Verder krijgen we voor de grote driehoek:

\(\)

\( r^2 = x^2 + \mathrm{R}^2 \)

\(\)

\( 2 r dr = 2 x dx \)

\(\)

\( r dr = x dx \)

\(\)

\( dr = \frac{x}{r} dx \)

\(\)

\( dr = \cos(\alpha) \, dx \)

\(\)

\( dr^2 = \cos^2(\alpha) \, dx^2 \)

\(\)

\( dr^2 = (1 - \sin^2(\alpha)) \, dx^2 \)

\(\)

\( dr^2 = dx^2 - \sin^2(\alpha) \, dx^2 \,\,\,\,\,\, (ii) \)

\(\)

Combinatie van (i) en (ii) geeft:

\(\)

\( dr^2 = dx^2 - r^2 d \alpha^2 \)

\(\)

\( dx^2 = r^2 d \alpha^2 + dr^2 \,\,\,\,\,\,\, (iii) \)

\(\)

En dat is weer de bekende vergelijking (3). Maar waarom zou het voor een natuurkundeprobleem langs die omslachtige weg doen wanneer je het via een plaatje met ingetekende differentialen veel sneller ziet?

[Marko]

Precies omdat je het met ingetekende differentialen wel sneller, maar mogelijk niet correct ziet. Je kunt het wel stiekem dr en rdα noemen en bij benadering zijn ze dat ook zeker. Dát zie je meteen. Zelfs ik, met mijn beperkte collectie meer gevorderde natuurkundeboeken, zie dat. Maar, dat zien is nog iets anders dan zien - laat staan aantonen - dat die benaderingen inderdaad wegvallen.

Het punt was dat jij op zoek was naar benaderingen die mogelijk voor 2 pieken zorgden, en ik heb een benadering aangedragen die je nog niet had nageplozen. In voorgaand bericht heb je dat wel gedaan. Dat was de insteek van mijn suggestie, en daarmee is ook dat geadresseerd.

[Professor Puntje]

Het opstellen van schetsjes met ingetekende differentialen leert men al doende. En voor de natuurkunde volstaat dat ook. Anders had deze kwestie ook op ons Wetenschapsforum veel vaker aangekaart geworden. De precisie van mijn hiervoor gegeven rigoureuze bewijs vind je zelden of nooit in een natuurkundeleerboek. Als je zó rigoureus te werk wilt gaan zou je voor het beantwoorden van (nagenoeg) ieder wat meer gevorderd natuurkundeprobleem een microcursus analyse moeten toevoegen.

Opmerking moderator

slotzin verwijderd

[Professor Puntje]

https://www.cambridge.org/core/journals ... 22714BC4F8

https://physics.stackexchange.com/quest ... spacetimes

Wat betekent dat? Geldt Huygens' principe dan toch niet exact in gekromde ruimtetijd?