Twee pieken of toch maar één?

[flappelap]

https://www.cambridge.org/core/journals ... 22714BC4F8

https://physics.stackexchange.com/quest ... spacetimes

Wat betekent dat? Geldt Huygens' principe dan toch niet exact in gekromde ruimtetijd?

Mmm, dat zou me verbazen, maar dat zegt niet alles natuurlijk. Zal zelf ook eens even sneupen.

[flappelap]

Ik zie dat er al wat verwarring is rond wat exact "Huygens principe" betekent in algemene zin. Mathpages heeft er ook een psgina aan gewijd:

https://www.mathpages.com/home/kmath242/kmath242.htm

Zie ook referenties in

https://www.physicsforums.com/threads/h ... le.883654/

Licht beschrijf je in de ART meestal met nulgeodeten, maar is eigenlijk een (golf!)oplossing van de Maxwellvergelijkingen. Ik zou hier zelf ook wat dieper in moeten duiken, maar dank voor je opmerking!

[Professor Puntje]

Dank! Maar die links gaan mij boven de pet. Ik ga mij binnenkort weer in tensoren verdiepen, maar voorlopig moet ik het nog met "gewone wiskunde" doen. Het zou voor dit topic nog wel aardig zijn om te zien of de twee pieken ook nog optreden als we de zaak in een pseudo-cartesiaans xy-frame met behulp van een nulgeodeet berekenen, maar ik weet niet of dat voor mij nog te behappen is.

[Professor Puntje]

\( \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

Die formule leidde ik ergens helemaal in het begin van dit topic af nog voordat ik Huygens' principe toepaste. Hier een Python-progje en bijbehorend plotje van die functie:

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def aanw(x):
    r0 = 7e8
    rs = 2.95e3 
    c = 3e8
    r = np.sqrt(x**2 + r0**2)
    A = (1 - rs/r)**2 
    B = (rs/r)*((x**2)/(r**2)) + 1 - rs/r
    C = c**2 
    return (A/B)*C


fig, ax= plt.subplots(figsize=(15, 15))

x=np.linspace(-1e10,1e10, 1000)
y=aanw(x)

ax.plot(x,y)

Zodat Huygens' principe vrijuit gaat - de twee pieken moeten ergens anders door komen...

[Professor Puntje]

Wat nog zou kunnen is dat de euclidische meetkunde in het pseudo-cartesiaanse xy-stelsel (althans voor een lichtstraal) niet precies opgaat. Dan zijn de twee pieken (in plaats van één) een artefact van het onterechte gebruik van euclidische meetkunde in een door de zon gekromde ruimtetijd.

[HansH]

ik ben je even kwijt hoe je van dx^2/dt^2 naar dphi/dx komt en wat voor conclusie je daaruit trekt over de 2 pieken.

[Professor Puntje]

Het belangrijke van het plotje is dat daar die twee pieken al in te zien zijn, voordat dat ik nog maar aan de toepassing van Huygens' principe was toegekomen. In dx^2/dt^2 zou je die twee pieken immers evenmin verwachten als in dphi/dx. Huygens' principe is hier dus niet de kwaaie pier, want dat principe heb ik pas later in mijn afleiding gebruikt. Als het plotje met één piek op basis van de exacte oplossing met de Jacobi elliptische functie correct is mag er maar één piek zijn, dus moet er dan iets met de wiskunde van MathPages mis zijn. Of in elk geval voor het gedrag van het licht nabij de zon. Wat dat precies is, daar zoek ik naar.

[HansH]

Je antwoord brengt mij niet veel verder. Je hebt een formule met dx^2/dt^2 en maakt daarmee een plotje met 2 pieken.
Wat bedoel je precies met dx^2/dt^2 blijkbaar is dat dus iets met die hoekverandering. is dx^2/dt^2 het kwadraat van de afgeleide van de snelheid in x richting (dx/dt) of is het de 2e afgeleide van de snelheid in x richting? in beide gevallen zie ik niet wat dat te maken heeft met de hoekverandering. dus ik mis wat stappen lijkt het.

[Professor Puntje]

Die stappen van de afleiding staan al in dit topic. En samenvatten gaat niet zonder stappen weg te laten. Dus zit er niets anders op dan even naar het begin van dit topic terug te bladeren en te beginnen met lezen...

[HansH]

ik heb de eerste 7 pagina's van het topic nogmaals doorgescand, maar zie nog geen aanknoping die leidt tot meer begrip over wat je met dx^2/dt^2 wilt bereiken en wat de link is met de hoekverandering. ik tast dus in het duister.

[Professor Puntje]

OK - dat is dan jammer, want duidelijker kan ik het niet uitleggen.

[HansH]

OK - dat is dan jammer, want duidelijker kan ik het niet uitleggen.

Ik hoop dat anderen het dan snappen wat je bedoelt met dx^2/dt^2 en wat de link is met de afbuiging van het licht. Zo ja misschien kan iemand anders het dan uitleggen.

[Professor Puntje]

@ Marko

In boeken en artikelen over relativiteitstheorie schrijft men \( dr^2, dt^2, ... \) voor wat formeel correct geschreven \( (\mathrm{d} r)^2, (\mathrm{d} t)^2, ... \) is. Dat is te billijken omdat d's en kwadraten in de relativiteitstheorie volop voorkomen en het een heidens karwij is om steeds weer een rechte d in plaats van de cursieve d te gebruiken en om steeds die haakjes te plaatsen. Uit de context is immers duidelijk wat er bedoeld is. Ik heb zelf uit een behoefte tot precisie tot voor kort nog de rechte d gebruikt, maar dat blijkt nu zelfs tot misverstanden te leiden. Het beste maakt men zich daarom de conventionele schrijfwijze van de relativiteitstheorie eigen.

@ HansH

Zie hierboven. Daar staat uitleg over de kwadraatjes. Het is even wennen, maar steeds die haakjes schrijven is geen doen.

[HansH]

In dx^2/dt^2 zou je die twee pieken immers evenmin verwachten als in dphi/dx.

Wt je met dphi/dx bedoelt is duidelijk: dat is de hoekverandering in x richting dus in de richting van de lichtstraal.
Maar wat stelt dx^2/dt^2 voor en waarom bereken je die?

[Professor Puntje]

De uitdrukking dx^2/dt^2 stelt het kwadraat van de snelheid van de lichtdeeltjes in de lichtstraal voor wanneer ze zich langs de baan y=Rzon zouden bewegen. Dit alles beschouwd in een pseudo-cartesiaans xy-frame. Dat is een benadering die MathPages gebruikt, en die ik in mijn eerste afleiding in dit topic gevolgd heb. In een latere afleiding in dit topic ga ik van een realistische lichtbaan uit, maar dat blijkt voor het optreden van de twee pieken niets uit te maken. Wat dat betreft was de benadering van MathPages dus onschuldig. Je kunt het je zo voorstellen dat het licht steeds gedurende een infinitesimaal tijdje dt van de lijn y=Rzon mag afbuigen maar dat het ook steeds weer op die lijn y=Rzon wordt terug geplaatst. MathPages neemt dus aan dat de zo gevonden gesommeerde (totale) afbuiging gelijk is aan de werkelijke afbuiging.