Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

[Professor Puntje]

Ik zie nog een paar fouten in mijn vorige post, dus even opnieuw:

Laat \( \mathfrak{e}_i \) voor i=1 t/m 3 de afbeelding van \( \mathbb{E}^3 \) (met orthonormale basis {e₁,e₂,e₃}) naar \( \mathbb{R} \) zijn waarvoor voor alle \( \mathbb{x} \in \mathbb{E}^3 \) geldt dat:

\(\)

\( \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \, = \, \langle \mathbf{x} | \mathbf{e}_i \rangle \)

\(\)

Dan is \( \mathfrak{e}_i \) een (0,1)-tensor.

[Professor Puntje]

Voor de componenten \( ( \mathfrak{e}_i )_j \) van de tensoren \( \mathfrak{e}_i \) over \( \mathbb{E}^3 \) ten opzichte van de orthonormale basis {e₁,e₂,e₃} vinden we dan:

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i )_j \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbb{e}_j) \)

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i )_j \, = \, \langle \mathbb{e}_j | \mathbb{e}_i \rangle \)

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i )_j \, = \, \delta^i_j \)

\(\)

Dus laten de tensoren \( \mathfrak{e}_i \) over \( \mathbb{E}^3 \) zich ten opzichte van de orthonormale basis {e₁,e₂,e₃} schrijven als de kolomvectoren:

\(\)

\( \mathfrak{e}_1 \, \widehat{=} \, \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathfrak{e}_2 \, \widehat{=}\, \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathfrak{e}_3 \, \widehat{=} \, \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ) \)

[Professor Puntje]

Laten we nu eens kijken wat \( \mathbb{e}_i \otimes \mathbb{e}_i \) wordt als daarmee eigenlijk \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) bedoeld is. De \( \mathfrak{e}_i \) zijn (0,1)-tensoren dus de tensorproducten \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) zijn (0,2)-tensoren met:

\(\)

\( [ \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i](\mathbf{x},\mathbf{y}) \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{y}) \)

\(\)

Voor de componenten van \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) vinden we dus:

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbf{e}_j) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{e}_k) \)

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \langle \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_i \rangle \cdot \langle \mathbf{e}_k | \mathbf{e}_i \rangle \)

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \delta^j_i \cdot \delta^k_i \)

\(\)

In matrixvorm geschreven:

\(\)

\( \mathfrak{e}_1 \otimes \mathfrak{e}_1 \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

\(\)

\( \mathfrak{e}_2 \otimes \mathfrak{e}_2 \, \widehat{=}\, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

\(\)

\( \mathfrak{e}_3 \otimes \mathfrak{e}_3 \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(\)

Als je die matrices optelt krijg je inderdaad de eenheidsmatrix 1 . Maar wat gebeurt er als je de tensoren optelt die door die matrices gerepresenteerd worden?

[HansH]

\(\)

\( \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \, = \, \langle \mathbf{x} | \mathbf{e}_i \rangle \)

\(\)

Dan is \( \mathfrak{e}_i \) een (0,1)-tensor.

wat betekent dat vertikale streepje eigenlijk?

[flappelap]

Iets als |x> stelt een vector voor, en <y| een duale vector, zodat het inproduct genoteerd wordt als <y|x>. Dit is zgn. bra-ket notatie.

[flappelap]

Laten we nu eens kijken wat \( \mathbb{e}_i \otimes \mathbb{e}_i \) wordt als daarmee eigenlijk \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) bedoeld is. De \( \mathfrak{e}_i \) zijn (0,1)-tensoren dus de tensorproducten \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) zijn (0,2)-tensoren met:

\(\)

\( [ \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i](\mathbf{x},\mathbf{y}) \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{y}) \)

\(\)

Voor de componenten van \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) vinden we dus:

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbf{e}_j) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{e}_k) \)

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \langle \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_i \rangle \cdot \langle \mathbf{e}_k | \mathbf{e}_i \rangle \)

\(\)

\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \delta^j_i \cdot \delta^k_i \)

\(\)

In matrixvorm geschreven:

\(\)

\( \mathfrak{e}_1 \otimes \mathfrak{e}_1 \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

\(\)

\( \mathfrak{e}_2 \otimes \mathfrak{e}_2 \, \widehat{=}\, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

\(\)

\( \mathfrak{e}_3 \otimes \mathfrak{e}_3 \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(\)

Als je die matrices optelt krijg je inderdaad de eenheidsmatrix 1 . Maar wat gebeurt er als je de tensoren optelt die door die matrices gerepresenteerd worden?

De som van N tensoren is ook weer een tensor (zelfde type, uiteraard). Ga maar na m.b.v. de definitie als multilineaire afbeelding.

[Professor Puntje]

Maar levert de som van tensoren ook altijd hetzelfde op als de som van de corresponderende matrices?

[Professor Puntje]

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 [ \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \)

\(\)

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{y}) \)

\(\)

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i( x^j \mathbf{e}_j ) \cdot \mathfrak{e}_i( y^k \mathbf{e}_k ) \)

\(\)

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 ( x^j \mathfrak{e}_i( \mathbf{e}_j ) ) \cdot ( y^k \mathfrak{e}_i( \mathbf{e}_k ) ) \)

\(\)

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 ( x^j \langle \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_i \rangle ) \cdot ( y^k \langle \mathbf{e}_k | \mathbf{e}_i \rangle ) \)

\(\)

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 x^j \delta^j_i \cdot y^k \delta^k_i \)

\(\)

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 x^i y^i \)

\(\)

Voor de componenten van \( \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) ten opzichte van de orthonormale basis {e₁, e₂, e₃ } vinden we:

\(\)

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]_{j,k} \, = \, \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{e}_j \, , \mathbf{e}_k ) \)

\(\)

\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]_{j,k} \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 \delta^i_j \delta^i_k \)

\(\)

\( \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

[flappelap]

Maar levert de som van tensoren ook altijd hetzelfde op als de som van de corresponderende matrices?

De componenten van een som van tensoren is simpelweg de som van de bijbehorende componenten. Dit toon je rechtstreeks aan door de tensoren in een algemene basis te ontwikkelen en de som uit te voeren.

Zou ook niet weten wat er anders uit zou moeten komen.

[Professor Puntje]

@ flappelap
Oh ja - natuurlijk. Was even vergeten dat tensoren ook zelf weer vectoren zijn.

Dan bevat het vraagstuk verder onderstaande formule voor de traagheidstensor:

\(\)

\( \mathrm{I} = \iiint \limits_V \rho( | \mathbf{x} |^2 \mathbf{1} - \mathbf{x} \otimes \mathbf{x} ) \, dV \)

\(\)

Dat begrijp ik niet. Het argument van ρ zou toch een plaatsvector moeten zijn?

[flappelap]

@ flappelap
Oh ja - natuurlijk. Was even vergeten dat tensoren ook zelf weer vectoren zijn.

Dan bevat het vraagstuk verder onderstaande formule voor de traagheidstensor:

\(\)

\( \mathrm{I} = \iiint \limits_V \rho( | \mathbf{x} |^2 \mathbf{1} - \mathbf{x} \otimes \mathbf{x} ) \, dV \)

\(\)

Dat begrijp ik niet. Het argument van ρ zou toch een plaatsvector moeten zijn?

Tensoren zijn geen vectoren, maar multilineaire afbeeldingen, terwijl vectoren lineaire afbeeldingen zijn.

Dat ding tussen haakjes is niet het argument van rho; je vermenigvuldigt rho daarmee, waarbij rho=rho(x). Anders komen je eenheden al niet goed uit.

[Professor Puntje]

Maar tensoren van zeker type vormen toch ook zelf weer vectorruimten?

Juist - die haakjes zijn dan wel heel verwarrend. Ik zou dan eerder een maalteken tussen ρ en (...) verwachten. Maar goed, ik ben een beginner in deze zaken. Als ik het nu goed begrijp wordt daar dus uiteindelijk een integraal van een tensor genomen...? Of van een matrix?

[flappelap]

Maar tensoren van zeker type vormen toch ook zelf weer vectorruimten?

Juist - die haakjes zijn dan wel heel verwarrend. Ik zou dan eerder een maalteken tussen ρ en (...) verwachten. Maar goed, ik ben een beginner in deze zaken. Als ik het nu goed begrijp wordt daar dus uiteindelijk een integraal van een tensor genomen...? Of van een matrix?

Ja, ok, in de context van tensoren lees ik "vector" als 'raakvector'. Dat is wellicht verwarrend.

Je neemt inderdaad de integraal van een tensor, oftewel elke component wordt gegeven door een volume integraal.

[Professor Puntje]

Ik werk graag vanuit definities zodat ik kan volgen wat waarom geldt. Helaas kon ik geen fatsoenlijke link naar de definitie van de volume-integraal van een (r,s)-tensor vinden. Maar voldoet onderstaande zelf bedachte definitie?

\(\)

\( \left [ \iiint\limits_V \mathrm{T} \, dV \right ](\tau^1, ... , \tau^r, x_1, ... , x_s) \,\, = \,\, \iiint\limits_V \mathrm{T}(\tau^1, ... , \tau^r, x_1, ... , x_s) \, dV \,\,\,\,\,\, (1) \)

[flappelap]

Zie b.v. hier,

https://math.stackexchange.com/question ... e-a-tensor

Dat lijkt dus op hetzelfde neer te komen, inderdaad.